Dubbio sui fili inestensibili e i corpi rigidi
Ragazzi ho un dubbio su alcuni esercizi riguardo i corpi rigidi collegati da fili inestensibili. Vi faccio un esempio:" abbiamo un disco collegato tramite un filo inestensibile,che passa per una carrucola, ad un pesetto sospeso per aria. Fin quando c'è l'equilibrio e i due corpi sono fermi non ho problemi visto che le accelerazioni dei 2 oggetti sono pari a 0. Il problema sorge quando il pesetto viene lasciato libero di cadere(poiché per esempio è stata eliminata una forza che teneva in equilibrio il sistema). Il mio problema è che non riesco a capire se nelle equazioni delle traslazioni dei 2 oggetti e nell'equazione del momento del disco devo assumere che disco e pesetto abbiano la stessa accelerazione oppure se essi hanno accelerazioni diverse.
Qualcuno sa spiegarmi come devo fare per le accelerazioni? Le devo assumere uguali o diverse? Il dubbio mi è sorto poiché in alcuni esercizi apparentemente identici a volte assumono che i due oggetti in questione hanno la stessa accelerazione e in altri casi scrivono le equazioni con accelerazioni diverse.
Qualcuno sa spiegarmi come devo fare per le accelerazioni? Le devo assumere uguali o diverse? Il dubbio mi è sorto poiché in alcuni esercizi apparentemente identici a volte assumono che i due oggetti in questione hanno la stessa accelerazione e in altri casi scrivono le equazioni con accelerazioni diverse.
Risposte
Le velocità e le accelerazioni sono le stesse in modulo, se i due corpi sono collegati da un filo flessibile ma rigido in senso longitudinale, e questo non si affloscia mai ma resta teso.
Però nota che ho detto "in modulo". Se prendiamo invece le componenti, non è detto che siano le stesse, dipende dalla geometria del sistema, cioè da come il filo collega i due corpi.
Però nota che ho detto "in modulo". Se prendiamo invece le componenti, non è detto che siano le stesse, dipende dalla geometria del sistema, cioè da come il filo collega i due corpi.
"Falco5x":
Le velocità e le accelerazioni sono le stesse in modulo, se i due corpi sono collegati da un filo flessibile ma rigido in senso longitudinale, e questo non si affloscia mai ma resta teso.
Però nota che ho detto "in modulo". Se prendiamo invece le componenti, non è detto che siano le stesse, dipende dalla geometria del sistema, cioè da come il filo collega i due corpi.
Quindi nel caso che ti ho appena allegato in foto le equazioni corrette sono quelle di sinistra? Io penso che le equazioni corrette sono quelle di sinistra ma un professore mi ha segnato come errore il fatto che io non ho scritto le equazioni come a destra(cioè scritte allo stesso modo con le sole accelerazioni che cambiano)
Eh ma questo è un caso diverso.
La mia risposta vale quando i CM dei due corpi sono collegati da filo inestensibile in modo che la loro distanza misurata lungo il filo rimanga la stessa.
In questo caso ciò non è vero. Infatti il filo si svolge dal rocchetto, quindi la distanza tra i CM dei due corpi si allunga progressivamente. Passando alle formule: occorre mettere in relazione la variazione di ascissa del CM del disco con la variazione di ordinata del pesetto.
Supponiamo che la prima sia x e la seconda sia y. Allora:
$$\eqalign{
& dy = dx + rd\theta \cr
& d\theta = \frac{{dx}}
{R} \cr
& dy = dx + dx\frac{r}
{R} = dx\left( {1 + \frac{r}
{R}} \right) \cr} $$
L'angolo theta è quello di rotazione del rocchetto, ovvero del disco.
Allora si ha:
$$\eqalign{
& \frac{{dy}}
{{dt}} = \frac{{dx}}
{{dt}}\left( {1 + \frac{r}
{R}} \right) \cr
& \frac{{{d^2}y}}
{{d{t^2}}} = \frac{{{d^2}x}}
{{d{t^2}}}\left( {1 + \frac{r}
{R}} \right) \cr
& {a_2} = {a_1}\left( {1 + \frac{r}
{R}} \right) \cr} $$
Dunque il tuo prof. ha ragione.
Per risolvere il problema devi aggiungere alle equazioni di destra questa ultima relazione.
La mia risposta vale quando i CM dei due corpi sono collegati da filo inestensibile in modo che la loro distanza misurata lungo il filo rimanga la stessa.
In questo caso ciò non è vero. Infatti il filo si svolge dal rocchetto, quindi la distanza tra i CM dei due corpi si allunga progressivamente. Passando alle formule: occorre mettere in relazione la variazione di ascissa del CM del disco con la variazione di ordinata del pesetto.
Supponiamo che la prima sia x e la seconda sia y. Allora:
$$\eqalign{
& dy = dx + rd\theta \cr
& d\theta = \frac{{dx}}
{R} \cr
& dy = dx + dx\frac{r}
{R} = dx\left( {1 + \frac{r}
{R}} \right) \cr} $$
L'angolo theta è quello di rotazione del rocchetto, ovvero del disco.
Allora si ha:
$$\eqalign{
& \frac{{dy}}
{{dt}} = \frac{{dx}}
{{dt}}\left( {1 + \frac{r}
{R}} \right) \cr
& \frac{{{d^2}y}}
{{d{t^2}}} = \frac{{{d^2}x}}
{{d{t^2}}}\left( {1 + \frac{r}
{R}} \right) \cr
& {a_2} = {a_1}\left( {1 + \frac{r}
{R}} \right) \cr} $$
Dunque il tuo prof. ha ragione.
Per risolvere il problema devi aggiungere alle equazioni di destra questa ultima relazione.
"Falco5x":
Eh ma questo è un caso diverso.
La mia risposta vale quando i CM dei due corpi sono collegati da filo inestensibile in modo che la loro distanza misurata lungo il filo rimanga la stessa.
In questo caso ciò non è vero. Infatti il filo si svolge dal rocchetto, quindi la distanza tra i CM dei due corpi si allunga progressivamente. Passando alle formule: occorre mettere in relazione la variazione di ascissa del CM del disco con la variazione di ordinata del pesetto.
Supponiamo che la prima sia x e la seconda sia y. Allora:
$$\eqalign{
& dy = dx + rd\theta \cr
& d\theta = \frac{{dx}}
{R} \cr
& dy = dx + dx\frac{r}
{R} = dx\left( {1 + \frac{r}
{R}} \right) \cr} $$
L'angolo theta è quello di rotazione del rocchetto, ovvero del disco.
Allora si ha:
$$\eqalign{
& \frac{{dy}}
{{dt}} = \frac{{dx}}
{{dt}}\left( {1 + \frac{r}
{R}} \right) \cr
& \frac{{{d^2}y}}
{{d{t^2}}} = \frac{{{d^2}x}}
{{d{t^2}}}\left( {1 + \frac{r}
{R}} \right) \cr
& {a_2} = {a_1}\left( {1 + \frac{r}
{R}} \right) \cr} $$
Dunque il tuo prof. ha ragione.
Per risolvere il problema devi aggiungere alle equazioni di destra questa ultima relazione.
Grazie mille per le risposte
. Credo di aver finalmente capito 
. Quindi le accelerazioni in questione potevo metterle uguali solo se il filo era collegato al centro di massa del disco? Giusto?
Sì, l'accelerazione è una grandezza che deriva dalla distanza, se questa tra due corpi non varia l'accelerazione è la stessa
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