Dubbio su una formula riguardante il momento angolare
Ciao a tutti. In un esercizio dove c'è un'asta di massa $ M $ e lunghezza $ l $ inizialmente ferma in un piano orizzontale che viene messa in rotazione da un impulso applicato a distanza $ l/2 $ dal suo centro ( attorno al quale l'asta ruota) mi si chiede di trovare il modulo di questo impulso sapendo che immediatamente dopo questo l'asta entra in rotazione con $ omega_0=8rad xx s^-1 $ . Io ho posto $ l/2xx J=Delta L $ con momento angolare iniziale nullo e finale pari a $ Momega_0l^2/4 $ e quindi automaticamente mi sono trovato $ J $ come $ J=Momega_0l/2 $ ma non viene, pur sembrandomi la formula giusta. Il libro usa la formula $ rxxJ=Iomega_0 $ ma non dovrebbe essere lo stesso dato che $ DeltaL=Iomega_0 $ con primo membro uguale alla variazione di momento angolare? Mi sapete dire dove sta l'errore? Grazie mille
Risposte
Il momento d'inerzia dell'asta che ruota intorno ad un estremo è $1/3 M l^2$ non $1/4$
L'asta sta ruotando infatti attorno al centro, come ho scritto. Ruota attorno al centro anche dopo l'impulso. Poi non vedo dove io debba applicare quanto hai detto, o comunque in che formula dato che nel mio procedimento inerzie non ne ho usate
Scusa, ho letto male. Ma quando trovi il momento angolare finale, come fai senza usare il momento d'inerzia dell'asta?
Il momento di inerzia di un'asta rispetto a un asse baricentrico perpendicolare all'asta vale : $I = 1/(12)Ml^2$
$L = I\omega = J*l/2 $
$L = I\omega = J*l/2 $
"mgrau":
Scusa, ho letto male. Ma quando trovi il momento angolare finale, come fai senza usare il momento d'inerzia dell'asta
Lo trovo usando la definizione, raggio posizione per vettore q. di moto. In questo caso: $ l/2xx p=l/2xx Momega_0l/2=l^2/2omega_0M $ . Questa espressione la eguaglio a $ l/2xxJ $ e semplificando trovo $ J=Momega_0l/2 $ ma non viene gisuto il risultato. Come vedi non mi sono servito dell'inerzia dell'asta. C'è giustamente la formula $ Iomega $ ma dovrebbe essere uguale a $ DeltaL $
"Shackle":
Il momento di inerzia di un'asta rispetto a un asse baricentrico perpendicolare all'asta vale : $I = 1/(12)Ml^2$
$L = I\omega = J*l/2 $
Esattamente, ora, come dicevo nel messaggio, $ Iomega $ non è uguale a $ DeltaL $ ? Dove $ DeltaL $ in questo caso è momento angolare finale meno m. angolare iniziale. Quello iniziale è nullo perché l'asta è inizialmente ferma, quello finale dovrebbe essere quello che ho scritto, ovvero $ Momega_0l^2/2 $ ma facendo i conti il risultato viene sbagliato
@R.Russo: per cortesia elimina dal titolo l'aggettivo "urgente", è contro il regolamento del forum. E magari aggiungi qualcosa che descriva in modo più specifico l'argomento della tua domanda. Grazie per la collaborazione!
Fatto, comunque adesso mi è pure salito il dubbio riguardo la conservazione del m. angolare in questo esercizio ma credo di possa applicare
"R.Russo":
[quote="Shackle"]Il momento di inerzia di un'asta rispetto a un asse baricentrico perpendicolare all'asta vale : $I = 1/(12)Ml^2$
$L = I\omega = J*l/2 $
Esattamente, ora, come dicevo nel messaggio, $ Iomega $ non è uguale a $ DeltaL $ ? Dove $ DeltaL $ in questo caso è momento angolare finale meno m. angolare iniziale. Quello iniziale è nullo perché l'asta è inizialmente ferma, quello finale dovrebbe essere quello che ho scritto, ovvero $ Momega_0l^2/2 $ ma facendo i conti il risultato viene sbagliato[/quote]
Verrà sbagliato fin quando non applichi la formula nel modo giusto . Che cosa è questo $ Momega_0l^2/2 $
Metti il momento di inerzia giusto nella formula .
Innanzitutto non ho ancora ringraziato per aver risposto, grazie mille ragazzi. Comunque spiego passo passo come procedo. So che l'applicazione di un impulso provoca la variazione di momento angolare, cioè si passa da un $ L_i $ ( m. angolare iniziale) ad un $ L_f $ ( m. angolare finale ) . Ora dato che l'asta da problema è inizialmente ferma io ho posto $ L_i=0 $ . So inoltre che questo impulso $ J $ è applicato ad un estremo dell'asta (lunga $ d $ ) e pertanto a distanza $ d/2 $ dal centro di rotazione ( in questo caso anche il CM) . Il momento dell'impulso $ rxxJ $ è per defizione uguale alla variazione di $ L $ cioè $ rxxJ=L_f-L_i $ . Sapendo che $ L_i=0 $ e che $ L_f=Momega_0l^2/4 $ dato che il momento angolare è definito come vettore posizione, in questo caso l/2 moltiplicato per q. di moto, in questo caso la massa dell'asta ( $ M $ ) moltiplicata per la velocità tangenziale ( il moto è circolare dato che l'asta ruota ) che ho qui espresso come prodotto tra la velocità angolare subito dopo l'impulso ( che è nota per dati ) $ omega_0 $ e il raggio di questa circorferenza descritta dalla rotazione cioè $ l/2 $ ; dunque ho q.di moto uguale a $ Momega_0l/2 $ che devo andare a moltiplicare per il vettore posizione che era $ l/2 $ come scritto sopra. Risultato del $ L_f $ pertanto è $ Momega_0l^2/4 $. Questa espressione l'ho eguagliata al momento dell'impulso $ l/2xxJ $ e mi sono trovato così il modulo di $ J $ come $ J=Momega_0l/2 $ ma come dicevo i conti non tornano. Poco fa ragionavo sul fatto che probabilmente, dato che è un CORPO RIGIDO ad entrare in rotazione successivamente all'impulso la classica formula per il momento angolare $ L=rxxp $ non può essere utilizzato perché inadatta ad esprimere il comportamento del corpo rigido stesso, ma solamente di un punto materiale. Potrebbe essere così? Se c'è qualcosa di poco chiaro dimmi pure
Poco fa ragionavo sul fatto che probabilmente, dato che è un CORPO RIGIDO ad entrare in rotazione successivamente all'impulso la classica formula per il momento angolare L=r×p non può essere utilizzato perché inadatta ad esprimere il comportamento del corpo rigido stesso, ma solamente di un punto materiale. Potrebbe essere così?
Non è che potrebbe essere così, è così. La relazione $vecL=vecrxxvecp$ vale solo per un punto materiale, nel caso di più punti materiali (come nel caso dei corpi rigidi, in cui i punti materiali sono infiniti), bisogna sommare il momento angolare di ogni punto materiale dato da quella relazione...dovresti essere a conoscenza del fatto che nel caso di un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso a velocità angolare $omega$, il momento angolare vale $Iomega$, con $I$ il momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione
Da quello che hai scritto, a cui ha già dato risposta Vulplasir, mi rendo conto che non hai chiaro il concetto di momento angolare, rispetto a un polo o ad un asse, di un corpo rigido. Allora devi fare un passo indietro , e ripassare questa nozione, altrimenti sbaglierai sempre. Un corpo rigido non è un punto! In quanto al teorema dell'impulso :
http://imgur.com/mDWqSlQ
Nel tuo esercizio, hai un impulso $J$ applicato ad $l/2$ dall'asse di rotazione. Il momento di questo impulso rispetto all'asse di rotazione, che si trova a metà lunghezza, vale $J*l/2$ . Questo momento causa una variazione del momento angolare dell'asta , riferito allo stesso asse :
$J*l/2 = \DeltaL = I*\Delta\omega$
in cui devi mettere : $I = 1/(12) Ml^2$ , cioè il momento di inerzia dell'asta rispetto all'asse di rotazione , e non quello che hai messo tu . È chiaro ora ?
http://imgur.com/mDWqSlQ
Nel tuo esercizio, hai un impulso $J$ applicato ad $l/2$ dall'asse di rotazione. Il momento di questo impulso rispetto all'asse di rotazione, che si trova a metà lunghezza, vale $J*l/2$ . Questo momento causa una variazione del momento angolare dell'asta , riferito allo stesso asse :
$J*l/2 = \DeltaL = I*\Delta\omega$
in cui devi mettere : $I = 1/(12) Ml^2$ , cioè il momento di inerzia dell'asta rispetto all'asse di rotazione , e non quello che hai messo tu . È chiaro ora ?
Adesso è tutto chiaro ragazzi, mi sono accorto troppo tardi del fatto che sbagliavo l'applicazione della formula, ma l'importante è che adesso abbia capito, grazie anche a voi e al vostro aiuto, mille grazie davvero!
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