Dubbio su un moto rotatorio
Ciao
1) Un'asta omogenea di lunghezza $l$, massa $m$ e dimensioni trascurabili, ha un'estremità incernierata senza attrito a un asse verticale attorno al quale ruota con velocità angolare costante $\omega$ formando con esso un angolo $theta$ costante. Si determini $\theta$ e il modulo della reazione vincolare $R$.
Considero un riferimento solidale all'asta con l'origine $O$ in corrispondenza del perno, poichè il corpo è fissato in un perno non può traslare ma solamente ruotare (modificando l'angolo $\theta$). Allora devo imporre che il momento delle forze rispetto al polo $O$ sia nullo. Nel sistema considerato agiscono soltanto due forze, la forza di gravità e la forza centrifuga, chiamo $M_g$ e $M_c$ i rispettivi momenti. Allora $M_g=l/2 \times mg=-frac{lmg sin(\theta)}{2}$, $M_c=\int l\times(l\omega^2 sin(\theta) )dm=\intl^2 sin \theta cos \theta \omega^2 dm$. Ora, se $\delta$ è la densità dell'asta si ha $l\delta=m$, sostituendo $l$ con $m$ nell'integrale si ha $M_c=-sin\theta cos \theta \omega^2 \frac 1 3 \frac{m^3}{\delta^2} $. Imponendo $M_g+M_c=0$ si ottiene $\theta=\arcos(\frac{3lg\delta^2}{2m^2\omega^2})=\arcos(\frac{3g}{2l\omega^2})$.
Per il secondo punto non so come procedere-
C'è qualche strada più rapida per il primo punto?
Grazie
1) Un'asta omogenea di lunghezza $l$, massa $m$ e dimensioni trascurabili, ha un'estremità incernierata senza attrito a un asse verticale attorno al quale ruota con velocità angolare costante $\omega$ formando con esso un angolo $theta$ costante. Si determini $\theta$ e il modulo della reazione vincolare $R$.
Considero un riferimento solidale all'asta con l'origine $O$ in corrispondenza del perno, poichè il corpo è fissato in un perno non può traslare ma solamente ruotare (modificando l'angolo $\theta$). Allora devo imporre che il momento delle forze rispetto al polo $O$ sia nullo. Nel sistema considerato agiscono soltanto due forze, la forza di gravità e la forza centrifuga, chiamo $M_g$ e $M_c$ i rispettivi momenti. Allora $M_g=l/2 \times mg=-frac{lmg sin(\theta)}{2}$, $M_c=\int l\times(l\omega^2 sin(\theta) )dm=\intl^2 sin \theta cos \theta \omega^2 dm$. Ora, se $\delta$ è la densità dell'asta si ha $l\delta=m$, sostituendo $l$ con $m$ nell'integrale si ha $M_c=-sin\theta cos \theta \omega^2 \frac 1 3 \frac{m^3}{\delta^2} $. Imponendo $M_g+M_c=0$ si ottiene $\theta=\arcos(\frac{3lg\delta^2}{2m^2\omega^2})=\arcos(\frac{3g}{2l\omega^2})$.
Per il secondo punto non so come procedere-
C'è qualche strada più rapida per il primo punto?
Grazie
Risposte
Riguardo al punto uno, una strada leggermente più rapida (ma neanche tanto) è di scrivere l'energia potenziale di un tratto infinitesimo di sbarra (la forza centrifuga è conservativa con potenziale $-\frac{m}{2} (\omega \times x)^2$), in funzione di $\theta$, integrare su tutta la sbarra, e cercare un minimo rispetto a $\theta$. Così facendo mi risulta, come a te, $cos(\theta) = \frac{3}{2} \frac{g}{\omega^2 l}$
Per il secondo punto, nota che la sbarra è in equilibrio (nel sistema rotante), dunque la reazione vincolare sarà l'opposto della risultante delle forze agenti; siccome ti serve il modulo, e le due forze sono ortogonali, allora avrai $R = \sqrt(F_p^2 + F_c^2)$ dove gli ultimi due sono i moduli della forza peso e della forza centrifuga, per il secondo dei quali dovrai fare un integralino.
Per il secondo punto, nota che la sbarra è in equilibrio (nel sistema rotante), dunque la reazione vincolare sarà l'opposto della risultante delle forze agenti; siccome ti serve il modulo, e le due forze sono ortogonali, allora avrai $R = \sqrt(F_p^2 + F_c^2)$ dove gli ultimi due sono i moduli della forza peso e della forza centrifuga, per il secondo dei quali dovrai fare un integralino.
Grazie! tutto chiaro!
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