Dubbio su un esercizio sui gas.
Premetto che a livello teorico non sono preparato su questa branca, al momento solo qualche abbozzo di teoria.
L'incertezza non riguarda l'esercizio in se', ma soltanto una sua fase.
Un recipiente '' A '' contiene gas ideale alla pressione di '' $5,0*10^5Pa$ '' e alla temperatura di '' $300K$ ''. E' collegato mediante un tubicino a un recipiente '' B '', che ha volume quadruplo di '' A ''. Il recipiente '' B '' contiene la stessa quantita' di gas ideale alla pressione di '' $1,0*10^5Pa$ '' e alla temperatura di '' $400K$ ''. A un certo momento si apre la valvola che collega i due recipienti e la temperatura di ciascun recipiente mantenuta uguale al valore iniziale. Qual e' la pressione finale del sistema?
SOLUZIONE.
Con '' mantenere i recipienti alla temperatura iniziale '' non so cosa si intenda esattamente, ma ragionevolmente considero la temperatura d'equilibrio ( appunto un sistema equivalente ):
$T_e=(T_1V_1+T_2V_2)/(V_1+V_2)=(T_1V_1+4T_2V_1)/(V_1+4V_1)=380K$.
La pressione di equilibrio: $P=((n+n)RT_e)/(V_1+V_2)$.
Pero' possiamo semplificare evidenziando la relazione tra '' $n$ '' e i '' $V$ ''. Ovvero:
$n/V_1=P_1/(RT_1)=200,6$. Da cui:
$n=200,6V_1$.
$n/V_2=n/(4V_1)=P_2/(RT_2)=120,3$. Da cui:
$n=120,3V_1$.
Ecco, il testo impone che le moli di gas nei contenitori siano le stesse, come mai vengono due valori diversi? Che il testo abbia sbagliato?
Proseguendo ( sostituendo ):
$P=((200,6+120,3)V_1RT_e)/(5V_1)=2,03*10^5Pa$.
Per il resto direi che va bene l'esercizio.
L'incertezza non riguarda l'esercizio in se', ma soltanto una sua fase.
Un recipiente '' A '' contiene gas ideale alla pressione di '' $5,0*10^5Pa$ '' e alla temperatura di '' $300K$ ''. E' collegato mediante un tubicino a un recipiente '' B '', che ha volume quadruplo di '' A ''. Il recipiente '' B '' contiene la stessa quantita' di gas ideale alla pressione di '' $1,0*10^5Pa$ '' e alla temperatura di '' $400K$ ''. A un certo momento si apre la valvola che collega i due recipienti e la temperatura di ciascun recipiente mantenuta uguale al valore iniziale. Qual e' la pressione finale del sistema?
SOLUZIONE.
Con '' mantenere i recipienti alla temperatura iniziale '' non so cosa si intenda esattamente, ma ragionevolmente considero la temperatura d'equilibrio ( appunto un sistema equivalente ):
$T_e=(T_1V_1+T_2V_2)/(V_1+V_2)=(T_1V_1+4T_2V_1)/(V_1+4V_1)=380K$.
La pressione di equilibrio: $P=((n+n)RT_e)/(V_1+V_2)$.
Pero' possiamo semplificare evidenziando la relazione tra '' $n$ '' e i '' $V$ ''. Ovvero:
$n/V_1=P_1/(RT_1)=200,6$. Da cui:
$n=200,6V_1$.
$n/V_2=n/(4V_1)=P_2/(RT_2)=120,3$. Da cui:
$n=120,3V_1$.
Ecco, il testo impone che le moli di gas nei contenitori siano le stesse, come mai vengono due valori diversi? Che il testo abbia sbagliato?
Proseguendo ( sostituendo ):
$P=((200,6+120,3)V_1RT_e)/(5V_1)=2,03*10^5Pa$.
Per il resto direi che va bene l'esercizio.
Risposte
Ciao. Francamente direi anch'io che sia impossibile che i due recipienti contengano inizialmente quantità uguali di gas... sei sicuro del testo?
Anche a me non torna. Se si scrivono le due equazioni per i due contenitori prima di aprire la valvola, si trova un assurdo.
Si', il testo e' proprio quello. Magari e' un errore di traduzione ( di sviste del genere ne ho trovate altre ). Il libro e' '' Halliday, Resnick, Krane: Fisica '' 1 '' ''. L'esercizio: pag.516, n°18.
Quindi convenite con me che non ci sarebbero problemi se non ci fosse quella condizione.
Vi ringrazio.
Inoltre ho commesso un errorino: siccome la concentrazione di gas nei due contenitori non e' omogenea, non posso ricavare la temperatura d'equilibrio in quel modo. Si ricava cosi':
$T_e=(T_1n_1+T_2n_2)/(n_1+n_2)=337,5K$.
La pressione finale: $P=1,8*10^5Pa$.
Questo e' quanto.
$T_e=(T_1n_1+T_2n_2)/(n_1+n_2)=337,5K$.
La pressione finale: $P=1,8*10^5Pa$.
Questo e' quanto.
Non credo sia corretto cercare una temperatura di equilibrio, visto che il testo dice che ognuno dei due recipienti viene mantenuto alla propria temperatura iniziale. Ma mi pare che del testo non ci si possa fidare granchè...
Effettivamente dovevo chiamarla temperatura media. Ormai sappiamo ( dalle nostre soluzioni ) che le moli di gas nei recipienti sono necessariamente diverse.
Ho provato in questo modo e giungo allo stesso risultato.
Consideriamo le pressioni parziali '' $P_a,P_b$ '' dei gas sul volume totale '' $V=V_1+V_2=5V_1$ ''; la pressione finale sara' quindi: $P=P_a+P_b$. Le pressioni iniziali invece sono '' $P_1=5*10^5Pa,P_2=10^5Pa$ ''.
Il gas in '' A '' si espande in un volume '' $5$ '' volte superiore, quindi ( a causa della temperatura costante ) la pressione diventa '' $1/5$ ''. Quindi '' $P_a=10^5Pa$ ''.
Il gas in '' B '' si espande in un volume '' $5/4$ '' volte superiore, quindi la pressione diventa '' $4/5$ '', da cui '' $P_b=0,8*10^5Pa$ ''. Quindi:
$P=1,8*10^5Pa$.
Ma dal momento che non ho ancora studiato la teoria, potrei aver commesso qualche errore in un'assunzione.
Anche se il metodo mi sembra corretto.
Ho provato in questo modo e giungo allo stesso risultato.
Consideriamo le pressioni parziali '' $P_a,P_b$ '' dei gas sul volume totale '' $V=V_1+V_2=5V_1$ ''; la pressione finale sara' quindi: $P=P_a+P_b$. Le pressioni iniziali invece sono '' $P_1=5*10^5Pa,P_2=10^5Pa$ ''.
Il gas in '' A '' si espande in un volume '' $5$ '' volte superiore, quindi ( a causa della temperatura costante ) la pressione diventa '' $1/5$ ''. Quindi '' $P_a=10^5Pa$ ''.
Il gas in '' B '' si espande in un volume '' $5/4$ '' volte superiore, quindi la pressione diventa '' $4/5$ '', da cui '' $P_b=0,8*10^5Pa$ ''. Quindi:
$P=1,8*10^5Pa$.
Ma dal momento che non ho ancora studiato la teoria, potrei aver commesso qualche errore in un'assunzione.
Anche se il metodo mi sembra corretto.
Per curiosità, hai il risultato del libro? A me per altra via risulta esattamente $2*10^5 Pa$, ma ammetto di aver fatto i conti un po' in fretta.
Purtroppo e' un esercizio pari, e il testo mette le soluzioni numeriche dei dispari soltanto ( forse e' un'idiozia pero' e' cosi' ).
Se hai voglia puoi postarmi la tua soluzione algebrica.
Comunque il tuo risultato e' molto vicino a quello della mia precedente soluzione ( '' $2,03*10^5Pa$ '' ), che pero' ho scartato a causa dell'errore di aver considerato omogenee le concentrazioni dei gas nei contenitori ( non possono essere tali a causa delle particolari pressioni e temperature diverse ).
Magari abbiamo approssimato in maniera diversa i conti dell'esercizio.
Se hai voglia puoi postarmi la tua soluzione algebrica.
Comunque il tuo risultato e' molto vicino a quello della mia precedente soluzione ( '' $2,03*10^5Pa$ '' ), che pero' ho scartato a causa dell'errore di aver considerato omogenee le concentrazioni dei gas nei contenitori ( non possono essere tali a causa delle particolari pressioni e temperature diverse ).
Magari abbiamo approssimato in maniera diversa i conti dell'esercizio.
I numeri di moli iniziali nei due contenitori sono: $n_A=(p_A*V_A)/(RT_A)$__e__$n_B=(p_B*V_B)/(RT_B)=(4*p_B*V_A)/(RT_B)$
(diverse tra loro, questo mi pare assodato);
detta $p$ la pressione finale comune ai due recipienti ed $nu_A$ , $nu_B$ i rispettivi numeri di moli finali, considerando che le
temperature restano inalterate hai: $nu_A=p*V_A/(RT_A)$__e__$nu_B=p*V_B/(RT_B)=p*(4*V_A)/(RT_B)$ ;
uguagliando: $n_A+n_B=nu_A+nu_B$__e semplificando il volume $V_A$ ricavi per $p$ il valore che ti ho detto, salvo errori miei.
(diverse tra loro, questo mi pare assodato);
detta $p$ la pressione finale comune ai due recipienti ed $nu_A$ , $nu_B$ i rispettivi numeri di moli finali, considerando che le
temperature restano inalterate hai: $nu_A=p*V_A/(RT_A)$__e__$nu_B=p*V_B/(RT_B)=p*(4*V_A)/(RT_B)$ ;
uguagliando: $n_A+n_B=nu_A+nu_B$__e semplificando il volume $V_A$ ricavi per $p$ il valore che ti ho detto, salvo errori miei.
Si', viene '' $2*10^5Pa$ ''.
Pero' mi chiedo questo: quando la valvola e' chiusa le concentrazioni non sono omogenee. I risultati non coincidono, eppure le concentrazioni dovrebbero diventare omogenee quando si apre la valvola, da cui il mio tentativo basato sulle pressioni parziali, prima esposto.
Pero' mi chiedo questo: quando la valvola e' chiusa le concentrazioni non sono omogenee. I risultati non coincidono, eppure le concentrazioni dovrebbero diventare omogenee quando si apre la valvola, da cui il mio tentativo basato sulle pressioni parziali, prima esposto.
Il testo originale del problema dice che in $B$ c'è lo stesso gas ideale, non la stessa quantità di gas ideale ....
Ah ecco! Grazie, @chiaraotta!
Grazie!
Quella non e' l'edizione sulla quale mi sto esercitando, forse si tratta di uno di quei libri con le soluzioni del testo.
Comunque ho capito che il mio errore consisteva nel ritenere a priori che la concentrazione dei gas nei contenitori dovesse essere omogenea. Insomma, aveva ostacolato l'esercizio proprio questo fatto.
Quella non e' l'edizione sulla quale mi sto esercitando, forse si tratta di uno di quei libri con le soluzioni del testo.
Comunque ho capito che il mio errore consisteva nel ritenere a priori che la concentrazione dei gas nei contenitori dovesse essere omogenea. Insomma, aveva ostacolato l'esercizio proprio questo fatto.
"_GaS_":
Quella non e' l'edizione sulla quale mi sto esercitando, forse si tratta di uno di quei libri con le soluzioni del testo.
Il testo del problema è preso da qui:
Ah, roba nuovissima a quanto pare! 
Ti ringrazio.
Ti ringrazio.
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