Dubbio su un esercizio di Dinamica dei sistemi materiali
Ciao a tutti! Stavo svolgendo questo esercizio ma purtroppo la mia soluzione è diversa dal risultato..
Un'asta omogenea, di lunghezza $l$, massa $m$ e dimensioni trasversali trascurabili, ha un' estremità incernierata senza attrito a un asse verticale attorno al quale ruota con velocità angolare costante $\omega$ formando con esso un angolo $\theta$ costante. Si determini $\theta$ e il modulo della reazione vincolare R.
Io ho proceduto trovando il momento risultante delle forze del sistema e l'ho uguagliato a zero in quanto l'asta rimane in equilibrio.
Un'asta omogenea, di lunghezza $l$, massa $m$ e dimensioni trasversali trascurabili, ha un' estremità incernierata senza attrito a un asse verticale attorno al quale ruota con velocità angolare costante $\omega$ formando con esso un angolo $\theta$ costante. Si determini $\theta$ e il modulo della reazione vincolare R.
Io ho proceduto trovando il momento risultante delle forze del sistema e l'ho uguagliato a zero in quanto l'asta rimane in equilibrio.
Risposte
In particolare ho fatto, considerando come polo l'estremo incernierato dell'asta:
$mgl/2 sen \theta$ + $m(\omega)^2l/2 cos\theta =0$ dove $mgl/2 sen\theta$ è la forza peso applicata al centro dell'asta, mentre $m(\omega)^2 l/2 cos \theta$ è la forza apparente espressa in funzione di $\omega$. Ho qualche dubbio a riguardo: posso considerare la forza apparente "applicata" nel centro dell'asta?oppure dovrei considerarla all'estremo libero dell'asta?E' giusto eguagliare il momento a zero?Io l'ho fatto perchè ho pensato che l'asta, ruotando, rimane in equilibrio di un angolo $\theta$ rispetto l'asse di rotazione e quindi il momento è uguale a zero..Spero che qualcuno possa aiutarmi perchè ne ho davvero bisogno..Grazie:)
$mgl/2 sen \theta$ + $m(\omega)^2l/2 cos\theta =0$ dove $mgl/2 sen\theta$ è la forza peso applicata al centro dell'asta, mentre $m(\omega)^2 l/2 cos \theta$ è la forza apparente espressa in funzione di $\omega$. Ho qualche dubbio a riguardo: posso considerare la forza apparente "applicata" nel centro dell'asta?oppure dovrei considerarla all'estremo libero dell'asta?E' giusto eguagliare il momento a zero?Io l'ho fatto perchè ho pensato che l'asta, ruotando, rimane in equilibrio di un angolo $\theta$ rispetto l'asse di rotazione e quindi il momento è uguale a zero..Spero che qualcuno possa aiutarmi perchè ne ho davvero bisogno..Grazie:)
Il tuo ragionamento non è corretto, perché non puoi calcolare il momento delle forze centrifughe applicando idealmente al centro dell'asta la forza centrifuga totale.
I calcoli vanno fatti su ogni elemento d'asta e integrati sulla sua lunghezza.
Vediamo ad esempio di calcolare separatamente la forza centrifuga totale e il momento totale delle forze centrifughe.
Forza centrifuga:
[tex]{F_c} = \int_0^l {{\omega ^2}r\sin \theta \lambda dr} = \lambda {\omega ^2}\sin \theta \frac{{{l^2}}}{2} = m{\omega ^2}\frac{l}{2}\sin \theta[/tex]
Da qui si vede che realmente la forza centrifuga totale è quella che si avrebbe immaginando concentrata nel centro la massa dell'intera asta. Vediamo invece il momento totale centrifugo:
[tex]{\tau _c} = \int_0^l {{\omega ^2}r\sin \theta \lambda r\cos \theta dr} = \lambda {\omega ^2}\sin \theta \cos \theta \int_0^l {{r^2}dr} = \lambda {\omega ^2}\sin \theta \cos \theta \frac{{{l^3}}}{3} = m{\omega ^2}\frac{{{l^2}}}{3}\sin \theta \cos \theta[/tex]
Come vedi questo è diverso dal momento che si avrebbe applicando al centro dell'asta la forza centrifuga, che invece sarebbe [tex]m{\omega ^2}\frac{l}{2}\sin \theta \frac{l}{2}\cos \theta[/tex]
(con l'occasione noto che nel tuo calcolo avevi comunque tralasciato il termine [tex]\frac{l}{2}\sin \theta[/tex])
Il momento della forza peso è invece (tralascio i segni):
[tex]{\tau _g} = mg\frac{l}{2}\sin \theta[/tex]
Eguagliando il modulo dei due momenti, che sono opposti, ottengo:
[tex]mg\frac{l}{2}\sin \theta = m {\omega ^2}\frac{{{l^2}}}{3}\sin \theta \cos \theta[/tex]
ovvero la soluzione:
[tex]\cos \theta = \frac{{3g}}{{2l{\omega ^2}}}[/tex]
La stessa soluzione si sarebbe trovata anche ragionando con le classiche formule del corpo rigido, ponendoci non nel sistema accelerato e quindi dotato della forza apparente centrifuga, bensì nel sistema fisso, eguagliando il momento della forza peso alla derivata del momento angolare. Riporto i calcoli a titolo di confronto col metodo precedente. Ipotizzo l'asse z come asse di rotazione, l'asse x ortogonale al precedente e giacente sul piano su cui giace anche l'asta e l'asse y ortogonale al piano xz.
[tex]\begin{array}{l}
L = \int_0^l {\omega r\sin \theta r\lambda dr} = \lambda \omega \sin \theta \int_0^l {{r^2}dr} = \lambda \omega \sin \theta \frac{{{l^3}}}{3} \\
{L_x} = L\cos \theta \\
{L_z} = L\sin \theta \\
\frac{{d\vec L}}{{dt}} = \omega {L_x}{{\vec u}_y} = \omega L\cos \theta {{\vec u}_y} = \lambda {\omega ^2}\frac{{{l^3}}}{3}\sin \theta \cos \theta {{\vec u}_y} \\
\vec \tau = mg\frac{l}{2}\sin \theta {{\vec u}_y} \\
mg\frac{l}{2}\sin \theta = \lambda {\omega ^2}\frac{{{l^3}}}{3}\sin \theta \cos \theta \\
\cos \theta = \frac{{3g}}{{2l{\omega ^2}}} \\
\end{array}[/tex]
I calcoli vanno fatti su ogni elemento d'asta e integrati sulla sua lunghezza.
Vediamo ad esempio di calcolare separatamente la forza centrifuga totale e il momento totale delle forze centrifughe.
Forza centrifuga:
[tex]{F_c} = \int_0^l {{\omega ^2}r\sin \theta \lambda dr} = \lambda {\omega ^2}\sin \theta \frac{{{l^2}}}{2} = m{\omega ^2}\frac{l}{2}\sin \theta[/tex]
Da qui si vede che realmente la forza centrifuga totale è quella che si avrebbe immaginando concentrata nel centro la massa dell'intera asta. Vediamo invece il momento totale centrifugo:
[tex]{\tau _c} = \int_0^l {{\omega ^2}r\sin \theta \lambda r\cos \theta dr} = \lambda {\omega ^2}\sin \theta \cos \theta \int_0^l {{r^2}dr} = \lambda {\omega ^2}\sin \theta \cos \theta \frac{{{l^3}}}{3} = m{\omega ^2}\frac{{{l^2}}}{3}\sin \theta \cos \theta[/tex]
Come vedi questo è diverso dal momento che si avrebbe applicando al centro dell'asta la forza centrifuga, che invece sarebbe [tex]m{\omega ^2}\frac{l}{2}\sin \theta \frac{l}{2}\cos \theta[/tex]
(con l'occasione noto che nel tuo calcolo avevi comunque tralasciato il termine [tex]\frac{l}{2}\sin \theta[/tex])
Il momento della forza peso è invece (tralascio i segni):
[tex]{\tau _g} = mg\frac{l}{2}\sin \theta[/tex]
Eguagliando il modulo dei due momenti, che sono opposti, ottengo:
[tex]mg\frac{l}{2}\sin \theta = m {\omega ^2}\frac{{{l^2}}}{3}\sin \theta \cos \theta[/tex]
ovvero la soluzione:
[tex]\cos \theta = \frac{{3g}}{{2l{\omega ^2}}}[/tex]
La stessa soluzione si sarebbe trovata anche ragionando con le classiche formule del corpo rigido, ponendoci non nel sistema accelerato e quindi dotato della forza apparente centrifuga, bensì nel sistema fisso, eguagliando il momento della forza peso alla derivata del momento angolare. Riporto i calcoli a titolo di confronto col metodo precedente. Ipotizzo l'asse z come asse di rotazione, l'asse x ortogonale al precedente e giacente sul piano su cui giace anche l'asta e l'asse y ortogonale al piano xz.
[tex]\begin{array}{l}
L = \int_0^l {\omega r\sin \theta r\lambda dr} = \lambda \omega \sin \theta \int_0^l {{r^2}dr} = \lambda \omega \sin \theta \frac{{{l^3}}}{3} \\
{L_x} = L\cos \theta \\
{L_z} = L\sin \theta \\
\frac{{d\vec L}}{{dt}} = \omega {L_x}{{\vec u}_y} = \omega L\cos \theta {{\vec u}_y} = \lambda {\omega ^2}\frac{{{l^3}}}{3}\sin \theta \cos \theta {{\vec u}_y} \\
\vec \tau = mg\frac{l}{2}\sin \theta {{\vec u}_y} \\
mg\frac{l}{2}\sin \theta = \lambda {\omega ^2}\frac{{{l^3}}}{3}\sin \theta \cos \theta \\
\cos \theta = \frac{{3g}}{{2l{\omega ^2}}} \\
\end{array}[/tex]
Scusa ma non ho ben compreso una parte del primo procedimento: perché i due momenti sono opposti? La forza centrifuga non è perpendicolare alla forza peso?
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