Dubbio su un esercizio di damica dei sistemi
Salve a tutti!
Ho avuto qualche difficoltà con la risoluzione di questo problema in quanto stento a capire come indicare le masse all'interno della relazione che esprime la conservazione dell'energia meccanica. In poche parole, non riesco a capire quando le due masse vanno sommate o sottratte. Ecco la traccia del problema in questione:
Due piccole sfere di masse m1 = m e m2 = 2m sono fissate all'estremità di un'asta di lunghezza l = 80 cm e massa trascurabile; l'asta è incernierata, in un punto distante l/3 dalla sferetta di massa minore, ad un asse orizzontale attorno al quale può ruotare con attrito trascurabile. L'asta, lasciata libera con velocità nulla nella posizione orizzontale, sotto l'azione della forza peso, ruota intorno all'asse di sospensione. Si calcolino i moduli V1 e V2 delle velocità delle sfere all'istante in cui l'asta passa per la posizione verticale.
Io ho risolto il problema ricavandomi la velocità della prima massa mediante la relazione:
$1/2$ (m+2m) $v^2$ = (2m-m)g $l/3$
Dopo ho pensato che la velocità angolare è la stessa per le due masse e quindi ho ricavato la velocità della seconda massa così:
$(v1)^2/(l/3)$=$(v2)^2/(2l/3)$.
Ecco il risultato è corretto però ripeto che non ho capito bene quando sommare o sottrarre le masse. Spero che qualcuno mi possa aiutare:) Grazie mille!
Ho avuto qualche difficoltà con la risoluzione di questo problema in quanto stento a capire come indicare le masse all'interno della relazione che esprime la conservazione dell'energia meccanica. In poche parole, non riesco a capire quando le due masse vanno sommate o sottratte. Ecco la traccia del problema in questione:
Due piccole sfere di masse m1 = m e m2 = 2m sono fissate all'estremità di un'asta di lunghezza l = 80 cm e massa trascurabile; l'asta è incernierata, in un punto distante l/3 dalla sferetta di massa minore, ad un asse orizzontale attorno al quale può ruotare con attrito trascurabile. L'asta, lasciata libera con velocità nulla nella posizione orizzontale, sotto l'azione della forza peso, ruota intorno all'asse di sospensione. Si calcolino i moduli V1 e V2 delle velocità delle sfere all'istante in cui l'asta passa per la posizione verticale.
Io ho risolto il problema ricavandomi la velocità della prima massa mediante la relazione:
$1/2$ (m+2m) $v^2$ = (2m-m)g $l/3$
Dopo ho pensato che la velocità angolare è la stessa per le due masse e quindi ho ricavato la velocità della seconda massa così:
$(v1)^2/(l/3)$=$(v2)^2/(2l/3)$.
Ecco il risultato è corretto però ripeto che non ho capito bene quando sommare o sottrarre le masse. Spero che qualcuno mi possa aiutare:) Grazie mille!
Risposte
"Lory_91":
Io ho risolto il problema ricavandomi la velocità della prima massa mediante la relazione:
$1/2$ (m+2m) $v^2$ = (2m-m)g $l/3$
Dopo ho pensato che la velocità angolare è la stessa per le due masse e quindi ho ricavato la velocità della seconda massa così:
$(v1)^2/(l/3)$=$(v2)^2/(2l/3)$.
Non mi tornano alcune cose.
Perchè nella prima equazione usi la stessa velocità per entrambe le sfere? Inoltre, perchè usi la stessa quota $l/3$?
Scriverei: $1/2*m*v_1^2+1/2*2m*v_2^2=2m*g*2/3*l-m*g*1/3*l$.
Nella seconda equazione non capisco perchè le velocità compaiano al quadrato.
si scusa intendevo la velocità angolare, quindi nella seconda relazione non va il quadrato alle velocità. Per quanto riguarda la prima equazione non ho capito il perchè del segno meno dell'energia potenziale della massa uno..
Se ho compreso bene l'esercizio, inizialmente le due masse sono alla stessa quota. Quando l'asta ruota per assumere la posizione verticale, l'unica forza che compie lavoro positivo è la forza peso che agisce su $m_2$ che scende di $2/3l$. Quindi la variazione di energia potenziale di $m_2$ diventa energia cinetica per $m_1$ e $m_2$ ed energia potenziale acquistata da $m_1$ che sale di $1/3l$. Si potrebbe scrivere: $2m*g*2/3l=mg*1/3l+1/2mv_1^2+1/2*2mv_2^2$.
Avendo visto lo stesso esercizio sul mio eserciziario (Rosati) ho cercato di svolgerlo e mi chiedevo: ma l'energia potenziale non va misurata da terra più che dall'origine? Con "terra" intendo la posizione più "bassa" che la massa 2 raggiunge in posizione verticale. Perchè considerare l'altezza di m1 (quando la sbarretta è in posizione verticale) uguale a l/3 invece che l (distanza da m2)? Spero di essermi spiegato...
"daniele91":
Avendo visto lo stesso esercizio sul mio eserciziario (Rosati) ho cercato di svolgerlo e mi chiedevo: ma l'energia potenziale non va misurata da terra più che dall'origine? Con "terra" intendo la posizione più "bassa" che la massa 2 raggiunge in posizione verticale. Perchè considerare l'altezza di m1 (quando la sbarretta è in posizione verticale) uguale a l/3 invece che l (distanza da m2)? Spero di essermi spiegato...
Chiaro. La quota di riferimento uno se la sceglie in base al tipo di approccio al problema. Va benissimo anche quella che hai suggerito tu. Su questa base vediamo le energie in gioco nelle due situazioni (asta orizzontale e verticale):
1) $E_i= m_1*g*2/3*l + m_2*g*2/3*l$
2) $E_f=1/2*m_1*v_1^2+1/2*m_2*v_2^2+m_1*g*l+m_2*g*0$
Per il principio della conservazione dell'energia, $E_i=E_f$, vedi cosa ottieni.
Ok tutto chiaro ora! Mi ero un pò ingarbugliato con le relazioni 
Grazie!
Grazie!
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