Dubbio su relazione tra velocità angolare e lineare
Un saluto a tutti, mi è sorto un dubbio teorico durante la risoluzione del seguente problema:
Un disco uniforme di massa M e raggio R si muove verso un altro disco uniforme di massa 2M e raggio R su
un tavolo liscio (cfr la figura). Il primo disco ha una velocità iniziale v0 ed una velocità angolare ω0 come da figura,
mentre il secondo disco `e inizialmente fermo. I due dischi vengono in contatto in modo radente e istantaneamente
si attaccano insieme ed iniziano a muoversi come un unico oggetto.
a. Quali sono le velocità lineari e angolari del sistema formato dai due dischi, dopo la collisione?
Indicare sia l’ampiezza che la direzione.
b. Per quale valore di ω0 il sistema formato dai due dischi non ruota?
c. In quest’ultimo caso, quanta energia meccanica viene dissipata durante la collisione?
Figura del sistema:
http://imgur.com/a/znuKe
Per trovare la velocità lineare finale del sistema dopo la collisione ho utilizzato la conservazione del momento angolare, rispetto al punto di contatto dei due dischi, sostituendo alla velocità angolare iniziale il rapporto tra v0 e il raggio del disco, e alla velocità angolare finale il rapporto tra la velocità lineare finale e il medesimo raggio, rimanendomi così come incognita la velocità lineare finale e risolvendo semplicemente l'equazione:
Rispetto al punto di contatto:
MRv0 + [(1/2)MR^2 + MR^2]ω0 = 2MRv(f) + MRv(f) + [(1/2)MR^2 + MR^2]ω(f) + [(1/2)2MR^2 + 2MR^2]ω(f)
sostituendo le ω con le rispettive velocità lineari e semplificando Raggio e Massa:
5/2 v0 = 15/2 v(f)
v(f) = v0/3
Che è effettivamente il risultato corretto controllato dalle soluzioni.
Ciò che non mi tornava era la seconda domanda (b), che richiede di trovare la velocità angolare iniziale tale che il sistema, dopo la collisione, non ruoti.
Il mio dubbio è nato dal ragionando sul fatto che il disco in movimento prima della collisione stia scivolando sul piano orizzontale e non rotolando, quindi non mi torna la considerazione che la velocità angolare si possa esprimere come rapporto tra v0 del centro di massa e R. Ho immaginato che anche se il disco ruoti molto lentamente, dunque con una velocità angolare bassa, il disco possa comunque traslare con una velocità molto elevata, comunque non dipendente dalla sua velocità di rotazione.
Cercando infatti di rispondere alla seconda domanda utilizzando ancora la conservazione del momento angolare rispetto al punto di contatto, e sostituendo ω0 con la relazione v0/R per trovare prima la v(f), poi risolvere l'equazione trovando ω0, il risultato finale non è quello scritto nelle soluzioni:
Per la conservazione del momento angolare rispetto al punto di contatto:
MRv0 + [1/2MR^2 + MR^2](v0/R) = MRv(f) + 2MRv(f)
v(f) = (5/6)v0
Risolvendo adesso non sostituendo ω0:
MRv0 + (3/2)MR^2(ω0) = 3MR(5/6)v0
ω0 = v0/R
Ragionando in questo modo il risultato non è corretto. Infatti dalle soluzioni il valore esatto dovrebbe essere ω0 = (8/3)(v0/R).
Sapreste aiutarmi a capire dove sbaglio con il ragionamento?
Ringrazio chiunque abbia la disponibilità di rispondere.
Un disco uniforme di massa M e raggio R si muove verso un altro disco uniforme di massa 2M e raggio R su
un tavolo liscio (cfr la figura). Il primo disco ha una velocità iniziale v0 ed una velocità angolare ω0 come da figura,
mentre il secondo disco `e inizialmente fermo. I due dischi vengono in contatto in modo radente e istantaneamente
si attaccano insieme ed iniziano a muoversi come un unico oggetto.
a. Quali sono le velocità lineari e angolari del sistema formato dai due dischi, dopo la collisione?
Indicare sia l’ampiezza che la direzione.
b. Per quale valore di ω0 il sistema formato dai due dischi non ruota?
c. In quest’ultimo caso, quanta energia meccanica viene dissipata durante la collisione?
Figura del sistema:
http://imgur.com/a/znuKe
Per trovare la velocità lineare finale del sistema dopo la collisione ho utilizzato la conservazione del momento angolare, rispetto al punto di contatto dei due dischi, sostituendo alla velocità angolare iniziale il rapporto tra v0 e il raggio del disco, e alla velocità angolare finale il rapporto tra la velocità lineare finale e il medesimo raggio, rimanendomi così come incognita la velocità lineare finale e risolvendo semplicemente l'equazione:
Rispetto al punto di contatto:
MRv0 + [(1/2)MR^2 + MR^2]ω0 = 2MRv(f) + MRv(f) + [(1/2)MR^2 + MR^2]ω(f) + [(1/2)2MR^2 + 2MR^2]ω(f)
sostituendo le ω con le rispettive velocità lineari e semplificando Raggio e Massa:
5/2 v0 = 15/2 v(f)
v(f) = v0/3
Che è effettivamente il risultato corretto controllato dalle soluzioni.
Ciò che non mi tornava era la seconda domanda (b), che richiede di trovare la velocità angolare iniziale tale che il sistema, dopo la collisione, non ruoti.
Il mio dubbio è nato dal ragionando sul fatto che il disco in movimento prima della collisione stia scivolando sul piano orizzontale e non rotolando, quindi non mi torna la considerazione che la velocità angolare si possa esprimere come rapporto tra v0 del centro di massa e R. Ho immaginato che anche se il disco ruoti molto lentamente, dunque con una velocità angolare bassa, il disco possa comunque traslare con una velocità molto elevata, comunque non dipendente dalla sua velocità di rotazione.
Cercando infatti di rispondere alla seconda domanda utilizzando ancora la conservazione del momento angolare rispetto al punto di contatto, e sostituendo ω0 con la relazione v0/R per trovare prima la v(f), poi risolvere l'equazione trovando ω0, il risultato finale non è quello scritto nelle soluzioni:
Per la conservazione del momento angolare rispetto al punto di contatto:
MRv0 + [1/2MR^2 + MR^2](v0/R) = MRv(f) + 2MRv(f)
v(f) = (5/6)v0
Risolvendo adesso non sostituendo ω0:
MRv0 + (3/2)MR^2(ω0) = 3MR(5/6)v0
ω0 = v0/R
Ragionando in questo modo il risultato non è corretto. Infatti dalle soluzioni il valore esatto dovrebbe essere ω0 = (8/3)(v0/R).
Sapreste aiutarmi a capire dove sbaglio con il ragionamento?
Ringrazio chiunque abbia la disponibilità di rispondere.
Risposte
Devi conservare la quantità di moto:
$[Mv_0=3Mv_G] rarr [v_G=1/3v_0]$
e il momento angolare, per semplicità, rispetto al centro di massa:
$[1/2MR^2\omega_0-4/3Mv_0R=(1/2MR^2+16/9MR^2+MR^2+8/9MR^2)\omega] rarr [\omega=3/25\omega_0-8/25v_0/R]$
Insomma, il sistema dopo l'urto non ruota se e solo se $[\omega_0=8/3v_0/R]$. Dai un'occhiata a questa discussione: viewtopic.php?f=19&t=169906&hilit=assolute#p8253530
Una volta determinate la velocità del centro di massa e la velocità angolare del sistema dopo l'urto, può essere istruttivo interrogarsi sul centro istantaneo di rotazione dopo l'urto.
Al netto delle improbabili argomentazioni che ti hanno spinto a scrivere il secondo membro di quell'equazione, il primo membro è senz'altro sbagliato.
$[Mv_0=3Mv_G] rarr [v_G=1/3v_0]$
e il momento angolare, per semplicità, rispetto al centro di massa:
$[1/2MR^2\omega_0-4/3Mv_0R=(1/2MR^2+16/9MR^2+MR^2+8/9MR^2)\omega] rarr [\omega=3/25\omega_0-8/25v_0/R]$
Insomma, il sistema dopo l'urto non ruota se e solo se $[\omega_0=8/3v_0/R]$. Dai un'occhiata a questa discussione: viewtopic.php?f=19&t=169906&hilit=assolute#p8253530
"espoice":
... non mi torna la considerazione che la velocità angolare si possa esprimere come rapporto tra ...
Una volta determinate la velocità del centro di massa e la velocità angolare del sistema dopo l'urto, può essere istruttivo interrogarsi sul centro istantaneo di rotazione dopo l'urto.
"espoice":
Rispetto al punto di contatto ...
Al netto delle improbabili argomentazioni che ti hanno spinto a scrivere il secondo membro di quell'equazione, il primo membro è senz'altro sbagliato.
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