Dubbio su relazione tra momento angolare e momento delle forze
Salve a tutti: stavo studiando il corpo rigido, in particolare la relazione che lega momento angolare, momento delle forze e momento d'inerzia. Per spiegavi bene cito il testo (Mazzoldi): Il momento angolare risulta certamente parallelo all'asse di rotazione e quindi a \(\displaystyle \boldsymbol{\omega} \) quando l'asse di rotazione è un asse di simmetria del corpo [...] In tali condizioni: \(\displaystyle \mathbf{L}=I_z \boldsymbol{\omega} \), \(\displaystyle L=L_z \). Un moto come quello più generale di \(\displaystyle \mathbf{L} \), che ruota attorno all'asse di simmetria si chiama moto di precessione. In questo caso anche \(\displaystyle \mathbf{L} \) è costante in modulo e si ha:
\(\displaystyle \mathbf{M} = \frac{d \mathbf{L}}{dt} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{L} \)
Più avanti il testo dice:
Nel caso più semplice in cui \(\displaystyle \mathbf{L} \) è parallelo a \(\displaystyle \boldsymbol{\omega} \):
\(\displaystyle \frac{d \mathbf{L}}{dt} =\frac{d}{dt} (I_z \boldsymbol{\omega})=I_z \frac{d \boldsymbol{\omega}}{dt}=I_z \boldsymbol{\alpha} \)
quindi si scrive:
\(\displaystyle \mathbf{M}=I_z \boldsymbol{\alpha} \).
Qui sorgono i miei dubbi: volevo capire perchè se \(\displaystyle \mathbf{L} \) e \(\displaystyle \boldsymbol{\omega} \) sono paralleli allora il momento risulta \(\displaystyle I_z \boldsymbol{\alpha} \) e non nullo dato che lo stesso momento possiamo scriverlo come \(\displaystyle \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{L} \) e quindi per il prodotto scalare tra due vettori paralleli risulterebbe nullo...
\(\displaystyle \mathbf{M} = \frac{d \mathbf{L}}{dt} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{L} \)
Più avanti il testo dice:
Nel caso più semplice in cui \(\displaystyle \mathbf{L} \) è parallelo a \(\displaystyle \boldsymbol{\omega} \):
\(\displaystyle \frac{d \mathbf{L}}{dt} =\frac{d}{dt} (I_z \boldsymbol{\omega})=I_z \frac{d \boldsymbol{\omega}}{dt}=I_z \boldsymbol{\alpha} \)
quindi si scrive:
\(\displaystyle \mathbf{M}=I_z \boldsymbol{\alpha} \).
Qui sorgono i miei dubbi: volevo capire perchè se \(\displaystyle \mathbf{L} \) e \(\displaystyle \boldsymbol{\omega} \) sono paralleli allora il momento risulta \(\displaystyle I_z \boldsymbol{\alpha} \) e non nullo dato che lo stesso momento possiamo scriverlo come \(\displaystyle \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{L} \) e quindi per il prodotto scalare tra due vettori paralleli risulterebbe nullo...
Risposte
Allora come modulo vale appunto $ I_Zα $
Come direzione è quella perpendicolare a $ ω $ e $ L $
Nel caso siano paralleli vale zero
Come direzione è quella perpendicolare a $ ω $ e $ L $
Nel caso siano paralleli vale zero
Ti do alcuni link a discussioni da leggere :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... le#p950879
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8445544
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8444909
È un prodotto vettoriale, non scalare. Quando i due vettori sono paralleli, il momento di forze esterne $vecM$ può far cambiare il momento angolare solo facendo cambiare la velocità angolare, visto che per un corpo rigido il momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione è costante. Ma c’è tutto un discorso molto più lungo da fare, perché in generale si ha :
$vecL = vec omega$
e $ $ è la matrice di inerzia del corpo rigido, rispetto al riferimento scelto.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... le#p950879
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8445544
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8444909
... $vecomegatimes vecL$ e quindi per il prodotto scalare tra due vettori paralleli risulterebbe nullo...
È un prodotto vettoriale, non scalare. Quando i due vettori sono paralleli, il momento di forze esterne $vecM$ può far cambiare il momento angolare solo facendo cambiare la velocità angolare, visto che per un corpo rigido il momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione è costante. Ma c’è tutto un discorso molto più lungo da fare, perché in generale si ha :
$vecL = vec omega$
e $ $ è la matrice di inerzia del corpo rigido, rispetto al riferimento scelto.
Penso che la relazione
\[
\overrightarrow{M}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{L}
\]
si riferisca semplicemente al caso il cui il moto di precessione è uniforme (velocità angolare costante), quindi è ovvio che risulti
\[
\overrightarrow{M}=\overrightarrow{0}
\]
in quel caso...
\[
\overrightarrow{M}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{L}
\]
si riferisca semplicemente al caso il cui il moto di precessione è uniforme (velocità angolare costante), quindi è ovvio che risulti
\[
\overrightarrow{M}=\overrightarrow{0}
\]
in quel caso...
No li non c è moto di precessione
È una trottola
È una trottola
@Buraka
discussioni sul momento angolare ne trovi a migliaia. Leggi anche questa, e i link riportati :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8441929
discussioni sul momento angolare ne trovi a migliaia. Leggi anche questa, e i link riportati :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8441929
"Lucacs":
No li non c è moto di precessione
È una trottola
Affermazione contraddittoria... la trottola è caratterizzata dalla precessione!!! Penso sia il primo esempio che viene in mente per spiegarla...
Non proprio, se ha una ω grande non la vedi proprio
\overrightarrow{\omega} grande... "non la vedo"... cosa vuol dire?? E cosa c'entra questo con la questione trottola-precessione?
@Buraka
Come ho accennato, la questione del momento angolare di un corpo rigido non è semplice. Vanno considerati essenzialmente tre possibili casi : il corpo rigido libero, quello con un asse fisso , quello con un punto fisso. A partire dalla definizione di momento angolare di un punto materiale di massa $m$ rispetto ad un polo dato, si arriva alla definizione di momento angolare nei casi detti, tenendo ben presente il concetto di momento di inerzia e di matrice di inerzia , rispetto a un asse o a un punto o, in generale, ad un sistema di riferimento. Se un libro o una dispensa semplifica troppo la questione e dà delle formule senza spiegarne le origini fa danno, a mio parere. Ad esempio, è vero che se un asse di rotazione è asse di simmetria i vettori $vecomega$ ed $vecL$ sono paralleli, ma non è questo il solo caso; basta che l’asse di rotazione sia asse principale di inerzia, anche non di simmetria. E in questo caso, i due vettori sono paralleli , quindi il loro prodotto vettoriale è nullo. Ma questo non significa che un momento di forze esterne non possa causare variazione del momento angolare del corpo rispetto al detto asse, come stabilito dalla seconda equazione cardinale della dinamica. Nei link dati queste problematiche sono accennate, ma è bene riferirsi ad un buon libro di meccanica razionale per un inquadramento corretto del problema.
Nel caso della trottola pesante simmetrica, l’asse di simmetria è asse di rotazione propria (spin) , ma a causa del momento della forza peso rispetto al punto di appoggio sul piano si ha la precessione di tale asse rispetto all’asse verticale , perciò la velocità angolare totale della trottola non è solo quella di spin. È la derivata temporale del momento angolare, ad essere uguale al momento della forza peso.
Come ho accennato, la questione del momento angolare di un corpo rigido non è semplice. Vanno considerati essenzialmente tre possibili casi : il corpo rigido libero, quello con un asse fisso , quello con un punto fisso. A partire dalla definizione di momento angolare di un punto materiale di massa $m$ rispetto ad un polo dato, si arriva alla definizione di momento angolare nei casi detti, tenendo ben presente il concetto di momento di inerzia e di matrice di inerzia , rispetto a un asse o a un punto o, in generale, ad un sistema di riferimento. Se un libro o una dispensa semplifica troppo la questione e dà delle formule senza spiegarne le origini fa danno, a mio parere. Ad esempio, è vero che se un asse di rotazione è asse di simmetria i vettori $vecomega$ ed $vecL$ sono paralleli, ma non è questo il solo caso; basta che l’asse di rotazione sia asse principale di inerzia, anche non di simmetria. E in questo caso, i due vettori sono paralleli , quindi il loro prodotto vettoriale è nullo. Ma questo non significa che un momento di forze esterne non possa causare variazione del momento angolare del corpo rispetto al detto asse, come stabilito dalla seconda equazione cardinale della dinamica. Nei link dati queste problematiche sono accennate, ma è bene riferirsi ad un buon libro di meccanica razionale per un inquadramento corretto del problema.
Nel caso della trottola pesante simmetrica, l’asse di simmetria è asse di rotazione propria (spin) , ma a causa del momento della forza peso rispetto al punto di appoggio sul piano si ha la precessione di tale asse rispetto all’asse verticale , perciò la velocità angolare totale della trottola non è solo quella di spin. È la derivata temporale del momento angolare, ad essere uguale al momento della forza peso.
"Pierlu11":
Penso che la relazione
\[
\overrightarrow{M}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{L}
\]
si riferisca semplicemente al caso il cui il moto di precessione è uniforme (velocità angolare costante), quindi è ovvio che risulti
\[
\overrightarrow{M}=\overrightarrow{0}
\]
in quel caso...
Un grosso polverone su una semplice incomprensione di ciò che il testo (il Mazzoldi) voleva dire...
Ricordo a tutti gli interessati che la relazione :
$(dvecL)/(dt) = vecomega times vec L $
è valida, qualunque sia il vettore $vecL$ rotante con velocità angolare $vecomega$, quando il modulo di $vecL$ è costante. Ad esempio è valida per i versori degli assi mobili :
$(dhati)/(dt) = vecomega times hati$ ( e simili)
è valida per un vettore $vecr$, di modulo costante, posizione di un punto di corpo rigido $P$ rispetto a un punto origine $O$, rotante con velocità angolare $vecomega$:
$(dvecr)/(dt) = vecomegatimesvecr$
e in questo caso rappresenta il vettore velocità istantanea di $P$ nel riferimento fisso, in generale inerziale, con origine in $O$, rispetto al quale il corpo ruota.
E cosi via .
$(dvecL)/(dt) = vecomega times vec L $
è valida, qualunque sia il vettore $vecL$ rotante con velocità angolare $vecomega$, quando il modulo di $vecL$ è costante. Ad esempio è valida per i versori degli assi mobili :
$(dhati)/(dt) = vecomega times hati$ ( e simili)
è valida per un vettore $vecr$, di modulo costante, posizione di un punto di corpo rigido $P$ rispetto a un punto origine $O$, rotante con velocità angolare $vecomega$:
$(dvecr)/(dt) = vecomegatimesvecr$
e in questo caso rappresenta il vettore velocità istantanea di $P$ nel riferimento fisso, in generale inerziale, con origine in $O$, rispetto al quale il corpo ruota.
E cosi via .
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