Dubbio su relazione potenziale-campo
Se abbiamo due cariche uguali e opposte, separate da una certa distanza d, il potenziale su un punto P posto sull'asse del segmento che collega le due cariche è nullo.
Da ciò dovrebbe seguire che anche il campo elettrico in P è nullo,il che è falso.
Perché c'è questa contraddizione?
Da ciò dovrebbe seguire che anche il campo elettrico in P è nullo,il che è falso.
Perché c'è questa contraddizione?
Risposte
Il valore del potenziale in un punto non ha alcun significato fisico. Infatti, il campo è il gradiente del potenziale cambiato di segno. In pratica, il valore del campo è in relazione con la variazione del potenziale per unità di lunghezza.
"speculor":
Infatti, il campo è il gradiente del potenziale cambiato di segno.
Appunto. Il potenziale in P è 0.
Il gradiente di 0 è 0, ma il campo non è 0.
Non devi calcolare il potenziale in un punto prima di valutare il gradiente nello stesso punto. Prima calcoli il gradiente, facendo le derivate, quindi sostituisci il punto interessato. Altrimenti tutte le derivate sarebbero sempre nulle, evidentemente.
Aspetta, non riesco a seguirti. Per calcolare il gradiente di V devo necessariamente prima calcolare V.
$ V=\frac {1}{4\pi \epsilon _0 } (\frac {q}{\sqrt {h^2+\frac {d^2}{4}}}-\frac {q}{\sqrt {h^2+\frac {d^2}{4}}})=0$
Tu come dici invece?
$ V=\frac {1}{4\pi \epsilon _0 } (\frac {q}{\sqrt {h^2+\frac {d^2}{4}}}-\frac {q}{\sqrt {h^2+\frac {d^2}{4}}})=0$
Tu come dici invece?
Tu hai calcolato il potenziale solo nei punti appartenenti all'asse. Siccome lungo l'asse il potenziale è costante, in particolare nullo ma non è importante, puoi solamente dire che il campo in questi punti non ha componenente nella direzione dell'asse, in pratica è perpendicolare all'asse. Infatti è così, per evidenti condizioni di simmetria. Se proprio vuoi calcolare il campo derivandolo dal potenziale, devi esprimere il potenziale in un generico punto $P(x,y)$ del piano, farne il gradiente cambiato di segno, quindi calcolarlo nei punti dell'asse.
"speculor":
Siccome lungo l'asse il potenziale è costante, in particolare nullo ma non è importante, puoi solamente dire che il campo in questi punti non ha componenente nella direzione dell'asse, in pratica è perpendicolare all'asse.
E perchèin questo caso dà solo informazioni su una sola componente e non si può dire nulla sulle altre componenti? Cioè la relazione tra campo e potenziale non dovrebbe valere sempre?
Ti scrivo la formula che devi utilizzare:
$V(x,y)=1/(4\pi\epsilon_0)(q/(sqrt((x-d/2)^2+y^2))-q/(sqrt((x+d/2)^2+y^2)))$
$\{(E_x=-(delV)/(delx)),(E_y=-(delV)/(dely)):}$
Quindi calcoli il campo nel punto che ti interessa. Tornando alla tua obiezione, per le proprietà del gradiente, se vuoi calcolare la componente del campo in un punto lungo una certa direzione, devi derivare il potenziale lungo quella direzione e cambiare di segno. Le direzioni che possono essere spiccate da un punto sono infinite. Quindi, per avere campo nullo, bisognerebbe che queste derivate direzionali si annullassero per qualsiasi direzione. Per fortuna ne bastano due, solitamente l'asse x e l'assey, anche perchè se il campo ha componente nulla rispetto ad entrambi gli assi, il campo stesso è nullo. Il tuo procedimento è parziale in quanto hai calcolato il campo solo lungo una direzione, fissato il punto sull'asse, la direzione dell'asse y. Così facendo non puoi calcolare il campo lungo almeno un'altra direzione, visto che non hai la dipendenza funzionale rispetto ad entrambe le variabili x e y.
$V(x,y)=1/(4\pi\epsilon_0)(q/(sqrt((x-d/2)^2+y^2))-q/(sqrt((x+d/2)^2+y^2)))$
$\{(E_x=-(delV)/(delx)),(E_y=-(delV)/(dely)):}$
Quindi calcoli il campo nel punto che ti interessa. Tornando alla tua obiezione, per le proprietà del gradiente, se vuoi calcolare la componente del campo in un punto lungo una certa direzione, devi derivare il potenziale lungo quella direzione e cambiare di segno. Le direzioni che possono essere spiccate da un punto sono infinite. Quindi, per avere campo nullo, bisognerebbe che queste derivate direzionali si annullassero per qualsiasi direzione. Per fortuna ne bastano due, solitamente l'asse x e l'assey, anche perchè se il campo ha componente nulla rispetto ad entrambi gli assi, il campo stesso è nullo. Il tuo procedimento è parziale in quanto hai calcolato il campo solo lungo una direzione, fissato il punto sull'asse, la direzione dell'asse y. Così facendo non puoi calcolare il campo lungo almeno un'altra direzione, visto che non hai la dipendenza funzionale rispetto ad entrambe le variabili x e y.
Ok, quindi in generale per avere informazioni su tutte le componenti del campo elettrico occorre esprimere il potenziale in funzione di tutte le variabili. Se per un generico punto il potenziale non dipende da una determinata variabile, ad esempio x, allora possiamo dire che il campo non ha componenti lungo x.
Se invece per un punto particolare troviamo che il potenziale non dipende ad esempio da x, dobbiamo prendere altri due punti in modo tale che i tre non siano allineati e valutarne il potenziale.
Solo se per entrambi il potenziale è ancora indipendente da x allora possiamo effettivamente dire che il campo non ha componente lungo la direzione x, altrimenti no.
Giusto? Ho capito bene?
Se invece per un punto particolare troviamo che il potenziale non dipende ad esempio da x, dobbiamo prendere altri due punti in modo tale che i tre non siano allineati e valutarne il potenziale.
Solo se per entrambi il potenziale è ancora indipendente da x allora possiamo effettivamente dire che il campo non ha componente lungo la direzione x, altrimenti no.
Giusto? Ho capito bene?
"albireo":
Se invece per un punto particolare troviamo che il potenziale non dipende ad esempio da x, dobbiamo prendere altri due punti in modo tale che i tre non siano allineati e valutarne il potenziale. Solo se per entrambi il potenziale è ancora indipendente da x allora possiamo effettivamente dire che il campo non ha componente lungo la direzione x, altrimenti no.
Si può esprimere il concetto in diversi modi. Il tuo lascia molto a desiderare, in quanto sembri dimenticare che nel calcolo differenziale si considerano grandezze infinitesime. Questo aspetto delle tue argomentazioni rende, nella migliore delle ipotesi, tutto molto più complicato. In ogni modo, dopo aver determinato il potenziale come funzione del punto di osservazione, nel caso più generale $V=V(x,y,z)$, applicando la formula ottieni il campo:
$vecE=-(delV)/(delx)veci-(delV)/(dely)vecj-(delV)/(delz)veck$
Questo è quanto. Tra l'altro, si tratta di un aspetto più strettamente matematico che fisico: se ragioni in termini di calcolo differenziale in uno spazio multidimensionale, il concetto diventa quasi banale.
"speculor":
Si può esprimere il concetto in diversi modi.Il tuo lascia molto a desiderare [...]Tra l'altro, si tratta di un aspetto più strettamente matematico che fisico: se ragioni in termini di calcolo differenziale in uno spazio multidimensionale, il concetto diventa quasi banale.
Ok, se non chiedo troppo mi piacerebbe approfondire come formalizzare in modo rigoroso questo concetto, per poterlo meglio comprendere.
In ogni caso ti ringrazio per le risposte che sinora mi hai dato.
Hai dato Analisi 2?
Si...
Allora dovresti avere tutti gli strumenti per formalizzare: derivate parziali, derivate direzionali, gradiente, campi conservativi e potenziale. Inoltre, esistono diversi manuali di Fisica che trattano il problema in modo più che esaustivo.
ok, ci proverò
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