Dubbio su "Moto Armonico (semplice)"

[mikelozzo]

Esercizio:

Scrivere l'equazione del moto armonico di un punto che, dopo un tempo $t=(1/8)T$ dall'inizio del moto, ha elongazione $x=2$, velocita $x'=-4$ e accelerazione $x''=-8$

$t=T/8=(2(pi)/ω)/8= (pi)/(ω4)$

ora... domanda: utilizzare

$x=Asin(ωt+φ)$
$x'=ωAcos(ωt+φ)$
$x''=-ω^2Asin(ωt+φ)$

o

$x=Acos(ωt+φ)$
$x'=-ωAsin(ωt+φ)$
$x''=-ω^2Acos(ωt+φ)$

è del tutto indifferente?

Spiego perchè:

questo è quello che fa il libro http://oi58.tinypic.com/awe4i.jpg
e questo è quello che ho fatto io http://oi61.tinypic.com/302nton.jpg (l'ultimo passaggio ha A non 4...sorry)

ho notato che se usassi la prima formulazione (quella che ho usato io) alla fine seno e coseno escono differenti (uno 2/A e l'altro -2/A) mentre se usassi la seconda seno e coseno avrebbero entrambi valore 2/A (il che sarebbe comodo per ragionare in questi termini: quando seno e coseno sono uguali? solo quando l'angolo è $pi/4$ ovvero quando φ è 0 - ragionamento che non trovo più giusto quando seno e coseno hanno valore opposto)

Quindi alla luce di tutto ciò, mi chiedo: c'è qualche differenza tra le due formulazioni del moto armonico? E se si, quando conviene usare una o l'altra?

Grazie.

[sapo931]

Sono indifferenti con l'accorgimento di usare l'angolo di fase corretto (per passare da una formulazione all'altra).

Questo in quanto per le formule degli angoli complementari hai:

$cos(pi/2 - a) = sin(a)$

$sin(pi/2 - a) = cos(a)$

[professorkappa]

Nessuna differenza, ne' nessuna convenienza.
Coseno e seno sono la stessa funzione a meno della sfasamento tra le due funzioni, che vale $\varphi=\pi\/2$.

Scelta una delle due per la risoluzione, la $\varphi_1$ dipende dalle condizioni iniziali.

Se si scegliesse l'altra soluzione, A rimarrebbe la stessa, ma in questo caso la $\varphi_2$ diventerebbe $\varphi_1\pm\ \pi\/2$

[mikelozzo]

"professorkappa":Nessuna differenza, ne' nessuna convenienza.
Coseno e seno sono la stessa funzione a meno della sfasamento tra le due funzioni, che vale $\varphi=\pi\/2$.

ok, e su questo sono d'accordo.. ma allora seguendo i miei calcoli, come farei quindi ad arrivare alla deduzione (partendo da $(pi)/4 + varphi$) che $varphi=0$? Perchè qui non ho un angolo noto di $(pi)/2$, bensì di $(pi)/4$

[professorkappa]

Se sviluppi i tuoi calcoli, per la discordanza del segno, ti viene
\( cos\varphi=-sin\varphi \)

verificata per $\varphi\ = -\pi\/4$.

La differenza tra le due fasi nelle due soluzioni e' esattamente $\pi\/2$, cioe' la differenza di fase tra seno e coseno