Dubbio su Esercizio risolto (caso piano).
Il sistema riportato in figura è composto da un disco rigido omogeneo di massa $m$ e raggio $R$ e da due punti materiali $P_1$ e $P_2$ , situati sul bordo del disco, rispettivamente di massa $m_1 = m$ ed $m_2 = 2m$. Siano $O(x, y, z)$ e $O (x' , y' , z' )$ due sistemi di coordinate cartesiane ortogonali con assi paralleli, centrati rispettivamente su un punto del bordo del disco e nel centro del disco. Le direzioni $OP_1$ e $OP_2$ formano un angolo di $pi/3$ con l’asse $x$, come disegnato in figura. Si chiede di:
1) calcolare la posizione del baricentro;
2) scrivere i momenti d’inerzia e i prodotti d’inerzia rispetto al sistema di riferimento $O(x, y, z)$;
3) determinare la direzione degli assi principali d’inerzia rispetto ad $O$.
4) Si consideri poi un ulteriore punto $P$ , di massa $(msqrt(3))/(2)$, posto anch’esso sul bordo del disco. Determinare le posizioni di $P$ in modo tale che gli assi $x$ e $y$ siano assi principali d’inerzia relativamente ad $O$.
Nella soluzione del punto 1), quello che non sto capendo è come fa a dire che la massa totale del sistema è $4m$
E quando poi calcola la $x_G$ vedo comparire al numeratore $mr(1+ cos(pi/3))$, questo vuol dire che si sommano $mr + mr cos(pi/3)$, ma perchè invece non scrive solo $ mr cos(pi/3)$
Ho pensato che il testo scriva invece $mr + mr cos(pi/3)$ perchè si tratta del tratto di arco che va da $mr$ fino a $mr cos(pi/3)$, è corretto quello che ho detto
Nella soluzione del punto 2) dice che utilizza la proprietà di additività dei momenti d'inerzia, bene, comprendo il seguente:
$I_(Ox) = ..... = 5/2mR^2$
ma non riesco a capire quello che somma in $I_(Oy)$, mi spiego.....
dice che per il disco vale $1/4mR^2 + mR^2$ e io non lo sto capendo, comprendo $1/4mR^2$ ma non capisco perchè somma $mR^2$
dice che per il punto $P_1$ vale $m(R + Rcos ((pi)/(3)))^2$ e non sto capendo la somma, in quanto io direi che vale solo $m(Rcos ((pi)/(3)))^2$, perchè invece scrive $m(R + Rcos ((pi)/(3)))^2$
Idem per il punto $P_2$, perchè fa quella somma
1) calcolare la posizione del baricentro;
2) scrivere i momenti d’inerzia e i prodotti d’inerzia rispetto al sistema di riferimento $O(x, y, z)$;
3) determinare la direzione degli assi principali d’inerzia rispetto ad $O$.
4) Si consideri poi un ulteriore punto $P$ , di massa $(msqrt(3))/(2)$, posto anch’esso sul bordo del disco. Determinare le posizioni di $P$ in modo tale che gli assi $x$ e $y$ siano assi principali d’inerzia relativamente ad $O$.
Nella soluzione del punto 1), quello che non sto capendo è come fa a dire che la massa totale del sistema è $4m$
E quando poi calcola la $x_G$ vedo comparire al numeratore $mr(1+ cos(pi/3))$, questo vuol dire che si sommano $mr + mr cos(pi/3)$, ma perchè invece non scrive solo $ mr cos(pi/3)$
Ho pensato che il testo scriva invece $mr + mr cos(pi/3)$ perchè si tratta del tratto di arco che va da $mr$ fino a $mr cos(pi/3)$, è corretto quello che ho detto
Nella soluzione del punto 2) dice che utilizza la proprietà di additività dei momenti d'inerzia, bene, comprendo il seguente:
$I_(Ox) = ..... = 5/2mR^2$
ma non riesco a capire quello che somma in $I_(Oy)$, mi spiego.....
dice che per il disco vale $1/4mR^2 + mR^2$ e io non lo sto capendo, comprendo $1/4mR^2$ ma non capisco perchè somma $mR^2$
dice che per il punto $P_1$ vale $m(R + Rcos ((pi)/(3)))^2$ e non sto capendo la somma, in quanto io direi che vale solo $m(Rcos ((pi)/(3)))^2$, perchè invece scrive $m(R + Rcos ((pi)/(3)))^2$
Idem per il punto $P_2$, perchè fa quella somma
Risposte
"Antonio_80":
quello che non sto capendo è come fa a dire che la massa totale del sistema è $4m$
E quando poi calcola la $x_G$ vedo comparire al numeratore $mr(1+ cos(pi/3))$, questo vuol dire che si sommano $mr + mr cos(pi/3)$, ma perchè invece non scrive solo $ mr cos(pi/3)$
Ho pensato che il testo scriva invece $mr + mr cos(pi/3)$ perchè si tratta del tratto di arco che va da $mr$ fino a $mr cos(pi/3)$, è corretto quello che ho detto
Andiamo per ordine.
Innanzitutto banalmente la massa dell'intero sistema è la somma di tutte le masse dei corpi che lo costituiscono
$m_(disco)+m_(P_1)+m_(P_2)$
Per quanto riguarda il calcolo dei momenti di inerzia noto che fai un po' di confusione con gli assi di riferimento, ma niente paura, vedrai che è facile.
L'esercizio ti chiede espressamente il calcolo dei momenti rispetto alla terna $O(x,y,z)$ (quella con origine sul bordo del disco!!!)
Quindi rifai il disegno per agevolarti la comprensione eliminando l'altra terna di riferimento.
Quando si vanno a calcolare i momenti di inerzia è sempre conveniente soffermarsi un attimo per valutare eventuali simmetrie.
Nota che se i punti materiali avessero avuto la stessa massa, data la simmetria rispetto all'asse $x$ allora la coordinata $y$ sarebbe stata pari a $0$, ma non è questo il caso perché $m_1=m$ ed $m_2=2m$ quindi intuitivamente già dobbiamo immaginarci che la coordinata $y$ sia spostata verso il basso rispetto all'asse $x$.
Anche per il calcolo del baricentro possiamo avvalerci della proprietà additiva (difatti è una vera e propria media ponderata!). Dobbiamo scrivere tutti i contributi del disco e dei due punti.
Ogni contributo è del tipo $text{massa}*(text{distanza del baricentro del corpo dall'asse di riferimento})$
il tutto diviso la sommatoria delle masse che abbiamo visto essere $4m$
Per l'asse $y$
-il disco ha massa $m$ il suo baricentro si trova nel centro del disco e dista $R$ dall'asse $y$
-$P_1$ ha massa $m$, essendo un punto il baricentro coincide col punto ed esso dista da $y$ $\bar OO' + R*cos(pi/3)$
$\bar OO'=R$! dunque...
-$P_2$ ha massa $2m$ e valgono le stesse considerazioni per $P_1$ sulla distanza.
Per l'asse $x$ è poco poco più facile perchè la distanza del baricentro del disco dall'asse $x$ è nulla.
Concludi tu. Se hai problemi, avvisa tranquillamente
Veniamo a noi.
Mi sembra di capire che non ti sia ben chiaro il teorema di Hyugens-Steiner o teorema degli assi paralleli, che permette di calcolare il momento di inerzia rispetto ad un asse parallelo a quello passante per il baricentro così come $y$ è parallelo a $y'$ che è baricentrico per il disco.
Come ben sai il momento di inerzia gode della proprietà additiva
Il momento di inerzia del disco rispetto agli assi $x'$ o $y'$ è uguale (per ovvie ragioni di simmetria) e vale $1/4mR^2$
Per il teorema degli assi paralleli possiamo valutarlo rispetto a $y$ attraverso la somma di un aliquota detto termine di trasporto.
Essa è del tipo $text{massa}*(text{distanza del baricentro del corpo dall'asse di riferimento})^2$
Quindi il momento di inerzia del disco calcolato rispetto a $y$ vale proprio $1/4 mR^2 + m*R^2$
Per quanto riguarda i punti essi hanno momento di inerzia pari a $0$ rispetto a una terna di assi baricentrici.
Quindi l'unico contributo che danno è dato dal termine di trasporto $text{massa}* (text{distanza})^2$
Le masse le conosci.
Le distanze sono sempre quelle.
Distanza dall'asse $y$
$R+Rcos(pi/3)$
Distanza dall'asse $x$
$Rsin(pi/3)$
"fhabbio":
Per l'asse $y$
-il disco ha massa $m$ il suo baricentro si trova nel centro del disco e dista $R$ dall'asse $y$
-$P_1$ ha massa $m$, essendo un punto il baricentro coincide col punto ed esso dista da $y$ $\bar OO' + R*cos(pi/3)$
$\bar OO'=R$! dunque...
-$P_2$ ha massa $2m$ e valgono le stesse considerazioni per $P_1$ sulla distanza.
Mi sembra che qui c'è un po di confusione! Mi sembra come se hai invertito i ragionamenti tra $x$ ed $y$! Non sto capendo cosa vuoi dire quando dici:
$P_1$ ha massa $m$, essendo un punto il baricentro coincide col punto ed esso dista da $y$ $\bar OO' + R*cos(pi/3)$
$\bar OO'=R$! dunque...
Perdonami, se non ti sto capendo, sarà per colpa mia!
Dammi conferma in merito a quanto sto per dire!
Se ho il centro degli assi in $O$, per la $x_G$ le coordinate del punto $P_1$ lungo la $x$ sono date da $R + Rcos((pi)/3)$, dove $Rcos((pi)/3)$ è la proiezione sull'asse $x$ di $R$ nel punto $P_1$
Idem ragionamento per la $y_G$
"fhabbio":
Le masse le conosci.
Le distanze sono sempre quelle.
Distanza dall'asse $y$
$R+Rcos(pi/3)$
Distanza dall'asse $x$
$Rsin(pi/3)$
Qui ho compreso quello che vuoi dire! Ti ringrazio!
Adesso però non mi è chiaro quando dice che: Per calcolare i prodotti d’inerzia, notiamo che l’asse x `e asse principale d’inerzia per il solo disco in quanto asse di simmetria materiale.
Cosa vuol dire?
E poi perchè dice che di conseguenza il contributo del disco al prodotto d’inerzia $I_(Oxy)$ è nullo
Io sono abituato a vedere il seguente integrale per il calcolo del prodotto d'inerzia $I_(yx) = -rho int_0^y ydy int_0^x xdx$, mi sembra che $I_(yx)= I_(xy)$, vero?
Il punto 4) non lo sto proprio capendo:
4) Si consideri poi un ulteriore punto $P$ , di massa $(msqrt(3))/(2)$, posto anch’esso sul bordo del disco. Determinare le posizioni di $P$ in modo tale che gli assi $x$ e $y$ siano assi principali d’inerzia relativamente ad $O$.
Help!
Ok...ti spiego tutto passo passo
Consideriamo un punto materiale $P$ di massa $m$ e un asse distante $d$ dal punto.
Definiamo momento di inerzia del punto rispetto all'asse
$I=m*d^2$
esso lo puoi interpretarlo in maniera fisica come la resistenza offerta dal corpo alla rotazione rispetto all'asse in considerazione.
Difatti l'esperienza ci conferma quanto descritto dalla formula perché sarà capitato anche a te di far roteare un oggetto attaccato a una corda e di sicuro avrai notato che riducendo la distanza dall'asse di rotazione si fa meno fatica nel far roteare l'oggetto.
Detto questo, possiamo estendere il concetto di momento di inerzia a un sistema costituito da $N$ punti materiali ed ecco che avremo
$I=\sum_{k=1}^N m_kd_k^2$
e passando dal discreto al continuo
$I=int_V rho*d^2*dV$ dove $rho$ è la densità del materiale ([kg/m^3]).
$d$ è la distanza di un elemento infinitesimo generico del corpo rispetto all'asse di rotazione.
bada bene che ora stiamo parlando di volumi, ma nulla cambia se consideriamo corpi di spessore trascurabile, in tal caso avremo
$I=int_S sigma*d^2*dS$ dove $sigma$ è la densità superficiale del materiale ([kg/m^2]).
Questa è la formula usata per il calcolo del momento di inerzia del disco, infatti lo spessore viene trascurato.
Fissiamo ora una terna di riferimento e calcoliamo il momento di inerzia proprio rispetto agli assi $x$,$y$ e $z$ di un corpo di spessore trascurabile come ad esempio il disco.
$I_x=int_Ssigma*y^2*dS$
mettiamo $y^2$ perché la distanza che intercorre tra un punto $P$ di coordinate $(x,y)$ e l'asse $x$ (che ricordiamo avere equazione $y=0$) vale
$d=y-0=y$
detto questo ti sarà chiaro anche il calcolo di $I_y$ che è il duale del precedente
$I_y=int_S sigma*x^2*dS$
[asvg]width=250;
height=250;
axes();
dot( [1,2] );
line( [0, 0] , [1, 2] );[/asvg]
Per quanto riguarda l'asse $z$ invece la distanza la trovi col teorema di pitagora!
$I_z=int_S sigma(sqrt(x^2+y^2))^2dS=int_S sigma(x^2+y^2)dS=int_S sigmax^2dS+int_S sigmay^2dS=I_x+I_y$
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Consideriamo un punto materiale $P$ di massa $m$ e un asse distante $d$ dal punto.
Definiamo momento di inerzia del punto rispetto all'asse
$I=m*d^2$
esso lo puoi interpretarlo in maniera fisica come la resistenza offerta dal corpo alla rotazione rispetto all'asse in considerazione.
Difatti l'esperienza ci conferma quanto descritto dalla formula perché sarà capitato anche a te di far roteare un oggetto attaccato a una corda e di sicuro avrai notato che riducendo la distanza dall'asse di rotazione si fa meno fatica nel far roteare l'oggetto.
Detto questo, possiamo estendere il concetto di momento di inerzia a un sistema costituito da $N$ punti materiali ed ecco che avremo
$I=\sum_{k=1}^N m_kd_k^2$
e passando dal discreto al continuo
$I=int_V rho*d^2*dV$ dove $rho$ è la densità del materiale ([kg/m^3]).
$d$ è la distanza di un elemento infinitesimo generico del corpo rispetto all'asse di rotazione.
bada bene che ora stiamo parlando di volumi, ma nulla cambia se consideriamo corpi di spessore trascurabile, in tal caso avremo
$I=int_S sigma*d^2*dS$ dove $sigma$ è la densità superficiale del materiale ([kg/m^2]).
Questa è la formula usata per il calcolo del momento di inerzia del disco, infatti lo spessore viene trascurato.
Fissiamo ora una terna di riferimento e calcoliamo il momento di inerzia proprio rispetto agli assi $x$,$y$ e $z$ di un corpo di spessore trascurabile come ad esempio il disco.
$I_x=int_Ssigma*y^2*dS$
mettiamo $y^2$ perché la distanza che intercorre tra un punto $P$ di coordinate $(x,y)$ e l'asse $x$ (che ricordiamo avere equazione $y=0$) vale
$d=y-0=y$
detto questo ti sarà chiaro anche il calcolo di $I_y$ che è il duale del precedente
$I_y=int_S sigma*x^2*dS$
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Per quanto riguarda l'asse $z$ invece la distanza la trovi col teorema di pitagora!
$I_z=int_S sigma(sqrt(x^2+y^2))^2dS=int_S sigma(x^2+y^2)dS=int_S sigmax^2dS+int_S sigmay^2dS=I_x+I_y$
Vediamo ora alcune peculiarità per il calcolo del momento di inerzia.
Bisogna definire il concetto di assi baricentrici e principali di inerzia.
Definiamo assi baricentrici di un corpo gli assi di una QUALUNQUE terna di riferimento con origine nel baricentro.
Essi sono importantissimi perché, come intuitivamente potremmo aspettarci, qualsiasi asse non baricentrico mi dà un momento di inerzia maggiore (ovvero la resistenza alla rotazione aumenta!).
[asvg]width=250;
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axes();
rect( [-1, -2] , [1, 2] );[/asvg]
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rect( [-1, 0] , [1, 4] );[/asvg]
Un bel guadagno se ci pensi. Molto meno faticoso far ruotare il rettangolo nel disegno rispetto all'asse $x$ ponendoci come nel CASO 1 piuttosto che in qualsiasi altro, per es CASO 2!
Se un corpo ha un asse di simmetria, si può dimostrare che esso è anche baricentrico (ma non obbligatoriamente principale di inerzia, se vuoi ti farò vedere qualche esempio)
SE UNA FIGURA PIANA HA DUE ASSI DI SIMMETRIA PERPENDICOLARI TRA LORO, ALLORA GLI ASSI DI SIMMETRIA SONO ASSI PRINCIPALI DI INERZIA E LA LORO INTERSEZIONE E' IL BARICENTRO
Definiamo assi principali di inerzia di un corpo gli assi della terna di riferimento con origine nel baricentro ma che minimizzano il momento di inerzia! Questa terna è UNICA.
Se una terna di assi è principale di inerzia allora è una terna baricentrica, ma ovviamente non si può dire il contrario!!!
Per questo motivo su qualsiasi formulario troverai i momenti di inerzia calcolati rispetto agli assi PRINCIPALI DI INERZIA perché essi danno i momenti minimi!
In più è anche facile trovare all'occorrenza i momenti di inerzia rispetto a qualsiasi altro asse di rotazione parallelo a uno degli assi della terna!
Si chiama in causa il teorema di Hyugens-Steiner!
Ma di questo ne abbiamo già parlato.
Gli assi principali di inerzia hanno un'altra caratteristica importantissima.
Tutti i momenti misti o centrifughi $I_(xy)$, $I_(yz)$ e $I_(xz)$ valgono $0$
I momenti misti in generale si calcolano
$I_(xy)=int_SsigmaxydS$
$I_(xz)=int_SsigmaxzdS$
$I_(yz)=int_SsigmayzdS$
e descrivono (detto terra terra) la tendenza del corpo a ruotare rispetto all'intersezione degli assi di riferimento.
Ma di questo ne potremo parlare in post successivi.
Sappi però che quell'integrale che hai scritto tu vale solo per rettangoli con i lati paralleli a $x$ e $y$ e con vertice nell'origine!
Per ora l'importante è sapere che quando senti parlare di assi principali di inerzia allora i momenti misti sono certamente nulli!
Ora che sai tutte queste cose, prova a riguardare i punti 1,2 e 3 vedrai che non avrai problemi.
Per quanto riguarda il quarto punto, c'è da fare solo una considerazione non troppo complicata ma ne potremmo parlare più avanti.
Bisogna definire il concetto di assi baricentrici e principali di inerzia.
Definiamo assi baricentrici di un corpo gli assi di una QUALUNQUE terna di riferimento con origine nel baricentro.
Essi sono importantissimi perché, come intuitivamente potremmo aspettarci, qualsiasi asse non baricentrico mi dà un momento di inerzia maggiore (ovvero la resistenza alla rotazione aumenta!).
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Un bel guadagno se ci pensi. Molto meno faticoso far ruotare il rettangolo nel disegno rispetto all'asse $x$ ponendoci come nel CASO 1 piuttosto che in qualsiasi altro, per es CASO 2!
Se un corpo ha un asse di simmetria, si può dimostrare che esso è anche baricentrico (ma non obbligatoriamente principale di inerzia, se vuoi ti farò vedere qualche esempio)
SE UNA FIGURA PIANA HA DUE ASSI DI SIMMETRIA PERPENDICOLARI TRA LORO, ALLORA GLI ASSI DI SIMMETRIA SONO ASSI PRINCIPALI DI INERZIA E LA LORO INTERSEZIONE E' IL BARICENTRO
Definiamo assi principali di inerzia di un corpo gli assi della terna di riferimento con origine nel baricentro ma che minimizzano il momento di inerzia! Questa terna è UNICA.
Se una terna di assi è principale di inerzia allora è una terna baricentrica, ma ovviamente non si può dire il contrario!!!
Per questo motivo su qualsiasi formulario troverai i momenti di inerzia calcolati rispetto agli assi PRINCIPALI DI INERZIA perché essi danno i momenti minimi!
In più è anche facile trovare all'occorrenza i momenti di inerzia rispetto a qualsiasi altro asse di rotazione parallelo a uno degli assi della terna!
Si chiama in causa il teorema di Hyugens-Steiner!
Ma di questo ne abbiamo già parlato.
Gli assi principali di inerzia hanno un'altra caratteristica importantissima.
Tutti i momenti misti o centrifughi $I_(xy)$, $I_(yz)$ e $I_(xz)$ valgono $0$
I momenti misti in generale si calcolano
$I_(xy)=int_SsigmaxydS$
$I_(xz)=int_SsigmaxzdS$
$I_(yz)=int_SsigmayzdS$
e descrivono (detto terra terra) la tendenza del corpo a ruotare rispetto all'intersezione degli assi di riferimento.
Ma di questo ne potremo parlare in post successivi.
Sappi però che quell'integrale che hai scritto tu vale solo per rettangoli con i lati paralleli a $x$ e $y$ e con vertice nell'origine!
Per ora l'importante è sapere che quando senti parlare di assi principali di inerzia allora i momenti misti sono certamente nulli!
Ora che sai tutte queste cose, prova a riguardare i punti 1,2 e 3 vedrai che non avrai problemi.
Per quanto riguarda il quarto punto, c'è da fare solo una considerazione non troppo complicata ma ne potremmo parlare più avanti.
Faccio i miei complimenti in merito alle spiegazioni, sei stato chiarissimo! 
Adesso vorrei capire il punto 4)
4) Si consideri poi un ulteriore punto $P$ , di massa $(msqrt(3))/(2)$, posto anch’esso sul bordo del disco. Determinare le posizioni di $P$ in modo tale che gli assi $x$ e $y$ siano assi principali d’inerzia relativamente ad $O$.
Noto anche che quando calcola $I_(O'x'y')$ compare al numeratore un $cos((pi)/(3))sin((pi)/(3))$, ma da dove salta fuori?
E poi vorrei capire tutto di questo punto!
Help!
Adesso vorrei capire il punto 4)
4) Si consideri poi un ulteriore punto $P$ , di massa $(msqrt(3))/(2)$, posto anch’esso sul bordo del disco. Determinare le posizioni di $P$ in modo tale che gli assi $x$ e $y$ siano assi principali d’inerzia relativamente ad $O$.
Noto anche che quando calcola $I_(O'x'y')$ compare al numeratore un $cos((pi)/(3))sin((pi)/(3))$, ma da dove salta fuori?
E poi vorrei capire tutto di questo punto!
Help!
Il momento misto per un punto materiale posto su una terna di riferimento $O(x,y,z)$ è del tipo
$I_(xy)=m*xy$
Se ci fai caso $x*y$ non è altro che l'area del rettangolo che ha due vertici diagonalmente opposti uno nell'origine e uno nel punto materiale stesso.
E così via per $I_(xz)$ e $I_(yz)$.
Per un corpo rigido invece la formula è l'integrale di cui ti ho parlato nel post precedente.
Occhio.
Qui le distanze non sono al quadrato quindi la posizione rispetto all'asse è importante poiché potremo avere $x$ o $y$ negative.
Vediamo ora il caso in esame.
Innanzitutto noto che hai sbagliato a trascrivere la traccia perché dalla soluzione si evince che il calcolo va fatto in modo che gli assi $x'$ e $y'$ siano principali di inerzia relativamente ad $O'$ (non $x$ e $y$!) PER TUTTO IL SISTEMA (il disco inclusi i 3 punti materiali!).
Chiarito l'equivoco diventa facile capire perché il testo definisce $x'$ e $y'$ assi principali di inerzia per il disco.
Il disco è assialsimmetrico quindi nel centro del cerchio si ha il baricentro e qualunque terna baricentrica è anche principale di inerzia ($x'$ e $y'$ passano per il centro!)
(Prima ho detto che la terna di assi principali di inerzia è unica. Ciò non vale nel caso di corpo assialsimmetrico! In tal caso sono principali di inerzia gli infiniti assi con origine nel baricentro e asse $z$ perpendicolare al piano della figura)
Per definizione di assi principali di inerzia, il momento misto è nullo per il disco.
Quindi non ci resta che andare a valutare i contributi dati dai tre punti materiali.
Applichiamo la formula vista in precedenza
$I_(i,x'y')=m_i*x_i'y_i'$
Per $P_1$
$x'=Rcos(pi/3)$
$y'=Rsin(pi/3)$
non sono altro che le coordinate del punto rispetto alla terna di riferimento $O'(x',y',z')$
Per $P_2$ cambia solo il segno della $y$
Per quanto riguarda il terzo punto dobbiamo prima di tutto definirne la posizione generica.
Sappiamo che è sulla circonferenza (quindi dista $R$ dal centro)
Detto $alpha$ l'angolo formato dal nuovo punto e il semiasse positivo delle $x$ avremo che
$x'=Rcos(alpha)$
$y'=Rsin(alpha)$
$alpha$ è il nostro parametro che dobbiamo far variare in modo tale che la somma di tutti i contributi si annulli così che $x'$ e $y'$ siano principali di inerzia.
Ora occhio alle masse.
Bisogna moltiplicare le distanze per le rispettive masse,
Sommare algebricamente (attenzione ai segni),
Porre uguale a $0$,
Risolvere l'equazione nell'incognita $alpha$.
N.B.
Nella soluzione, il testo considera tutti i momenti misti col segno cambiato, ma non cambia niente ai fini del calcolo.
Lo fa perché se dovessi costruire il tensore di inerzia (do you know "tensore"?) bisogna mettere i momenti misti col segno $-$(meno) davanti.
$I_(xy)=m*xy$
Se ci fai caso $x*y$ non è altro che l'area del rettangolo che ha due vertici diagonalmente opposti uno nell'origine e uno nel punto materiale stesso.
E così via per $I_(xz)$ e $I_(yz)$.
Per un corpo rigido invece la formula è l'integrale di cui ti ho parlato nel post precedente.
Occhio.
Qui le distanze non sono al quadrato quindi la posizione rispetto all'asse è importante poiché potremo avere $x$ o $y$ negative.
Vediamo ora il caso in esame.
Innanzitutto noto che hai sbagliato a trascrivere la traccia perché dalla soluzione si evince che il calcolo va fatto in modo che gli assi $x'$ e $y'$ siano principali di inerzia relativamente ad $O'$ (non $x$ e $y$!) PER TUTTO IL SISTEMA (il disco inclusi i 3 punti materiali!).
Chiarito l'equivoco diventa facile capire perché il testo definisce $x'$ e $y'$ assi principali di inerzia per il disco.
Il disco è assialsimmetrico quindi nel centro del cerchio si ha il baricentro e qualunque terna baricentrica è anche principale di inerzia ($x'$ e $y'$ passano per il centro!)
(Prima ho detto che la terna di assi principali di inerzia è unica. Ciò non vale nel caso di corpo assialsimmetrico! In tal caso sono principali di inerzia gli infiniti assi con origine nel baricentro e asse $z$ perpendicolare al piano della figura)
Per definizione di assi principali di inerzia, il momento misto è nullo per il disco.
Quindi non ci resta che andare a valutare i contributi dati dai tre punti materiali.
Applichiamo la formula vista in precedenza
$I_(i,x'y')=m_i*x_i'y_i'$
Per $P_1$
$x'=Rcos(pi/3)$
$y'=Rsin(pi/3)$
non sono altro che le coordinate del punto rispetto alla terna di riferimento $O'(x',y',z')$
Per $P_2$ cambia solo il segno della $y$
Per quanto riguarda il terzo punto dobbiamo prima di tutto definirne la posizione generica.
Sappiamo che è sulla circonferenza (quindi dista $R$ dal centro)
Detto $alpha$ l'angolo formato dal nuovo punto e il semiasse positivo delle $x$ avremo che
$x'=Rcos(alpha)$
$y'=Rsin(alpha)$
$alpha$ è il nostro parametro che dobbiamo far variare in modo tale che la somma di tutti i contributi si annulli così che $x'$ e $y'$ siano principali di inerzia.
Ora occhio alle masse.
Bisogna moltiplicare le distanze per le rispettive masse,
Sommare algebricamente (attenzione ai segni),
Porre uguale a $0$,
Risolvere l'equazione nell'incognita $alpha$.
N.B.
Nella soluzione, il testo considera tutti i momenti misti col segno cambiato, ma non cambia niente ai fini del calcolo.
Lo fa perché se dovessi costruire il tensore di inerzia (do you know "tensore"?) bisogna mettere i momenti misti col segno $-$(meno) davanti.
"fhabbio":
Innanzitutto noto che hai sbagliato a trascrivere la traccia perché dalla soluzione si evince che il calcolo va fatto in modo che gli assi $x'$ e $y'$ siano principali di inerzia relativamente ad $O'$ (non $x$ e $y$!) PER TUTTO IL SISTEMA (il disco inclusi i 3 punti materiali!).
Ecco la traccia:
Ho dimenticato i segni $'$, penso che ti riferisci a questo?
Hai ragione, ecco la versione corretta:
4) Si consideri poi un ulteriore punto $P$ , di massa $(msqrt(3))/(2)$, posto anch’esso sul bordo del disco. Determinare le posizioni di $P$ in modo tale che gli assi $x'$ e $y'$ siano assi principali d’inerzia relativamente ad $O'$.
Ho semplicemente trascritto quello che dice la traccia, dove ho sbagliato?
Per tutto il resto adesso è tutto chiaro!
Ti ringrazio!
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