Dubbio su esercizio filo-carrucola
Ciao a tutti!
Sono nuovo, innanzitutto vorrei farvi i complimenti per il forum: grazie alle domande di altri utenti sono riuscito spesso a chiarire i miei dubbi.
Ora scrivo perché ho qualche problema con fili e carrucole: ad esempio prendiamo in considerazione il problema di trovare la forza di reazione vincolare che agisce sul perno della carrucola in figura (considerando il filo inestensibile e di massa trascurabile e la carrucola di massa e dimensioni trascurabili):
Come si vede in figura il filo è tirato da una forza $F$, e ovviamente il sistema rimane fermo. Mi pare di aver capito che a questo punto tutti i libri di fisica "tagliano" idealmente il filo nei punti dove inizia il contatto con la carrucola, e considerano il filo lungo la carrucola come un tutt'uno con la carrucola stessa: quindi sulla carrucola agiranno due forze di tensione, una diretta verticalmente e l'altra orizzontalmente, entrambe di modulo $F$ poiché il filo è inestensibile e di massa trascurabile. La reazione vincolare avrà quindi direzione $45°$ e modulo $sqrt(2)F$.
Ora mi chiedo: sarebbe possibile giungere allo stesso risultato scrivendo l'equilibrio per un tratto di filo infinitesimo e andando a sommare tutti i relativi contributi infinitesimi alla reazione vincolare? È una cosa che ha senso o no?
Sono nuovo, innanzitutto vorrei farvi i complimenti per il forum: grazie alle domande di altri utenti sono riuscito spesso a chiarire i miei dubbi.
Ora scrivo perché ho qualche problema con fili e carrucole: ad esempio prendiamo in considerazione il problema di trovare la forza di reazione vincolare che agisce sul perno della carrucola in figura (considerando il filo inestensibile e di massa trascurabile e la carrucola di massa e dimensioni trascurabili):
Come si vede in figura il filo è tirato da una forza $F$, e ovviamente il sistema rimane fermo. Mi pare di aver capito che a questo punto tutti i libri di fisica "tagliano" idealmente il filo nei punti dove inizia il contatto con la carrucola, e considerano il filo lungo la carrucola come un tutt'uno con la carrucola stessa: quindi sulla carrucola agiranno due forze di tensione, una diretta verticalmente e l'altra orizzontalmente, entrambe di modulo $F$ poiché il filo è inestensibile e di massa trascurabile. La reazione vincolare avrà quindi direzione $45°$ e modulo $sqrt(2)F$.
Ora mi chiedo: sarebbe possibile giungere allo stesso risultato scrivendo l'equilibrio per un tratto di filo infinitesimo e andando a sommare tutti i relativi contributi infinitesimi alla reazione vincolare? È una cosa che ha senso o no?
Risposte
"moonmadness":
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Ora mi chiedo: sarebbe possibile giungere allo stesso risultato scrivendo l'equilibrio per un tratto di filo infinitesimo e andando a sommare tutti i relativi contributi infinitesimi alla reazione vincolare?
Si.
È una cosa che ha senso o no?
No, è inutile.
Grazie della risposta. Potrei sapere come si fa? Io ci ho provato ma non arrivo da nessuna parte, quindi pensavo che fosse concettualmente sbagliato. Lo so che è un esempio stupido, ma l'ho pensato apposta per provare ad applicare quell'idea. Ai fini di questo esempio è inutile ma vorrei capire il metodo per poterlo applicare a casi più complessi.
Prendi un pezzettino $ds$ di filo, che giace a contatto della puleggia, a cominciare da quello a destra dove il filo si stacca dalla puleggia e diventa verticale . Quali sono le forze agenti su questo pezzetto di filo, supposto isolato? Ci sono 3 forze, che devono equilibrarsi: le due tensioni nelle sezioni estreme, e la reazione della puleggia.
In questo caso non si muove nulla. Ma ti dirò : questo tipo di approccio si usa in meccanica delle macchine, per studiare la trasmissione del moto mediante cinghie.
In questo caso non si muove nulla. Ma ti dirò : questo tipo di approccio si usa in meccanica delle macchine, per studiare la trasmissione del moto mediante cinghie.
"navigatore":
Prendi un pezzettino $ds$ di filo, che giace a contatto della puleggia, a cominciare da quello a destra dove il filo si stacca dalla puleggia e diventa verticale . Quali sono le forze agenti su questo pezzetto di filo, supposto isolato? Ci sono 3 forze, che devono equilibrarsi: le due tensioni nelle sezioni estreme, e la reazione della puleggia.
Fin qui c'ero arrivato, in pratica ho scritto l'equazione $ \vec{T_1} + \vec{T_2} + d\vec{N} = \vec{0}$, nella quale $\vec{T_1}$ e $\vec{T_2}$ hanno entrambi modulo $F$, ma non so andare avanti...
Se fai questo lavoro per tutto il filo, su ogni sezione di taglio del filo la forza che il pezzo a sinistra esercita su quello a destra è uguale e contraria a quella che il secondo esercita sul primo, sono forze interne e si elidono a due a due. Ala fine resta la prima e l'ultima.
Invece il risultante delle forze applicate dalla puleggia agli elementi di filo è la reazione totale della puleggia.
Invece il risultante delle forze applicate dalla puleggia agli elementi di filo è la reazione totale della puleggia.
Forse ho capito come fare quello che volevo fare...
Fisso come origine degli angoli la retta orizzontale passante per il perno della carrucola, quindi trovo \(\displaystyle \vec{T}={T \sin(\theta) \choose -T \cos(\theta)} \).
Quindi l'equilibrio per un tratto infinitesimo diventa: \(\displaystyle \vec{T}(\theta)-\vec{T}(\theta+d\theta)+d\vec{N}=\vec{0} \)
Dunque: \(\displaystyle d\vec{N}={-T \sin(\theta)+T \sin(\theta+d\theta) \choose T \cos(\theta)-T\cos(\theta+d\theta)}\approx{T \cos(\theta)d\theta \choose T \sin(\theta)d\theta}\)
dove nell'ultimo passaggio ho approssimato al prim'ordine.
Quindi \(\displaystyle \vec{N}={\int_0^{\pi/2} T \cos(\theta)d\theta\choose \int_0^{\pi/2}T\sin(\theta)d\theta}={T \choose T} ={F \choose F} \)
che è quello che mi aspettavo... booooh magari scrivo ovvietà, ma almeno spero che il procedimento sia giusto...
Fisso come origine degli angoli la retta orizzontale passante per il perno della carrucola, quindi trovo \(\displaystyle \vec{T}={T \sin(\theta) \choose -T \cos(\theta)} \).
Quindi l'equilibrio per un tratto infinitesimo diventa: \(\displaystyle \vec{T}(\theta)-\vec{T}(\theta+d\theta)+d\vec{N}=\vec{0} \)
Dunque: \(\displaystyle d\vec{N}={-T \sin(\theta)+T \sin(\theta+d\theta) \choose T \cos(\theta)-T\cos(\theta+d\theta)}\approx{T \cos(\theta)d\theta \choose T \sin(\theta)d\theta}\)
dove nell'ultimo passaggio ho approssimato al prim'ordine.
Quindi \(\displaystyle \vec{N}={\int_0^{\pi/2} T \cos(\theta)d\theta\choose \int_0^{\pi/2}T\sin(\theta)d\theta}={T \choose T} ={F \choose F} \)
che è quello che mi aspettavo... booooh magari scrivo ovvietà, ma almeno spero che il procedimento sia giusto...
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