Dubbio risoluzione esercizio dinamica del corpo rigido
Vorrei capire se ho correttamente decifrato la soluzione al seguente problema.
Un'automobile sta viaggiando alla velocità $v_0=100 (km)/h$. Ciascuna ruota è assimilabile a un disco uniforme di massa $m=26 kg$ e raggio $r=32 cm$. Calcolare:
a) il momento della quantità di moto $L$ di una ruota rispetto al suo asse di rotazione.
b) il momento $M$ della forza esercitata sulla ruota quando l'auto alla stessa velocità $v_0$ affronta una curva di raggio $R=90m$
La risoluzione del primo punto è banale. Per quanto riguarda il secondo, il libro scrive: poiché $L$ cambia solo di direzione $M=(dL)/dt=Lomega'=Lv_0/R$
Dunque ho un sistema fisso con centro nella circonferenza di raggio $90m$ e un sistema mobile che ruota attorno al proprio asse di simmetria descrivendo una circonferenza.
Ora, non avendo mai visto questa formula ho cercato di ricavarla un po' da quelle che sapevo.
So che $vec(M)=(dvec(L))/dt=(d(Lvec(u)))/dt$ dove $vec(u)$ è un versore. Allora
$vec(M)=(dL)/dt vec(u)+L (dvec(u))/dt=Ialphavec(u)+L*(d(theta))/dt*vec(u_N)$ con $vec(u_N)$ versore ortogonale a $vec(u)$
Nel dettaglio $L*omega*vec(u_N)=L(vec(omega) xx vec(u))$ non so se posso fare questa cosa ma so che $vec(L)=L*vec(u)$ dunque $vec(u)=vec(L)/L$ quindi sostituendo $L(vec(omega) xx vec(L)/L)=L/L(vec(omega)xxvec(L))$
Quindi
$vec(M)=I*vec(alpha)+vec(omega)xxvec(L)$
Poiché varia solo in direzione $I*vec(alpha)=0$ quindi $vec(M)=vec(omega)xxvec(L)$
E' corretto? Vi ringrazio per il vostro tempo
Un'automobile sta viaggiando alla velocità $v_0=100 (km)/h$. Ciascuna ruota è assimilabile a un disco uniforme di massa $m=26 kg$ e raggio $r=32 cm$. Calcolare:
a) il momento della quantità di moto $L$ di una ruota rispetto al suo asse di rotazione.
b) il momento $M$ della forza esercitata sulla ruota quando l'auto alla stessa velocità $v_0$ affronta una curva di raggio $R=90m$
La risoluzione del primo punto è banale. Per quanto riguarda il secondo, il libro scrive: poiché $L$ cambia solo di direzione $M=(dL)/dt=Lomega'=Lv_0/R$
Dunque ho un sistema fisso con centro nella circonferenza di raggio $90m$ e un sistema mobile che ruota attorno al proprio asse di simmetria descrivendo una circonferenza.
Ora, non avendo mai visto questa formula ho cercato di ricavarla un po' da quelle che sapevo.
So che $vec(M)=(dvec(L))/dt=(d(Lvec(u)))/dt$ dove $vec(u)$ è un versore. Allora
$vec(M)=(dL)/dt vec(u)+L (dvec(u))/dt=Ialphavec(u)+L*(d(theta))/dt*vec(u_N)$ con $vec(u_N)$ versore ortogonale a $vec(u)$
Nel dettaglio $L*omega*vec(u_N)=L(vec(omega) xx vec(u))$ non so se posso fare questa cosa ma so che $vec(L)=L*vec(u)$ dunque $vec(u)=vec(L)/L$ quindi sostituendo $L(vec(omega) xx vec(L)/L)=L/L(vec(omega)xxvec(L))$
Quindi
$vec(M)=I*vec(alpha)+vec(omega)xxvec(L)$
Poiché varia solo in direzione $I*vec(alpha)=0$ quindi $vec(M)=vec(omega)xxvec(L)$
E' corretto? Vi ringrazio per il vostro tempo
Risposte
Questo è più un quesito di meccanica razionale e in effetti è uno dei concetti che al tempo (quanto tempo fa!), mi ha dato più problemi di digestione.
Appena riesco ti rispondo, se qualcuno non mi avrà preceduto.
Appena riesco ti rispondo, se qualcuno non mi avrà preceduto.
D'accordo! Fa con calma, non ho urgenza di avere risposta.
Premetto però che sto preparando fisica 1 e di fisica matematica non credo di sapere nulla.
Premetto però che sto preparando fisica 1 e di fisica matematica non credo di sapere nulla.
La cosa importante è scegliere bene il sistema di riferimento rispetto a cui si scrive il vettore momento angolare.
In questo cosa fondamentale da capire (a suo tempo io ci ho messo parecchio a comprenderlo) è che scrivere il momento angolare in un certo sistema di riferimento NON significa che sto scrivendo l'equazione cardinale della quantità di moto in quel riferimento (se fosse così avrei anche le forze apparenti), ma solo che sto esprimendo le equazioni in funzione dei versori di quel certo riferimento.
Ora in questo problema conviene scegliere un riferimento con origine al centro dell'arco di curva descritta dalla ruota e che si muove a velocità angolare tale per cui il centro della ruota appare fermo.
Supponiamo quindi che questo sistema abbia velocità angolare $vec Omega = [0, -Omega, 0]$ con $Omega=v_0/R$ (scegliendo come asse $y$ l'asse attorno cui ruota il riferimento).
In questo sistema di riferimento la velocità angolare della ruota può essere espressa in questo modo $vec omega = [omega, -Omega, 0]$
con $omega=v_0/r$.
Il momento angolare allora, scritto in questo riferimento sarà $vec L = [I_1 omega, -I_2 Omega, 0]$
con $I_1 = 1/2 m r^2$ e $I_2=mR^2+1/4mr^2$
Il vettore $vec L$ ora possiamo derivarlo rispetto al tempo:
$\frac{d vec L}{dt} = vec M_E = vec Omega \times vec L = [0, 0, I_1 Omega omega]$
infatti il vettore momento angolare in pratica è solidale al sistema di riferimento rotante scelto.
Pertanto il momento esterno da applicare risulta diretto come il terzo asse della terna rotante scelta e sarà "fermo" in tale terna.
In questo cosa fondamentale da capire (a suo tempo io ci ho messo parecchio a comprenderlo) è che scrivere il momento angolare in un certo sistema di riferimento NON significa che sto scrivendo l'equazione cardinale della quantità di moto in quel riferimento (se fosse così avrei anche le forze apparenti), ma solo che sto esprimendo le equazioni in funzione dei versori di quel certo riferimento.
Ora in questo problema conviene scegliere un riferimento con origine al centro dell'arco di curva descritta dalla ruota e che si muove a velocità angolare tale per cui il centro della ruota appare fermo.
Supponiamo quindi che questo sistema abbia velocità angolare $vec Omega = [0, -Omega, 0]$ con $Omega=v_0/R$ (scegliendo come asse $y$ l'asse attorno cui ruota il riferimento).
In questo sistema di riferimento la velocità angolare della ruota può essere espressa in questo modo $vec omega = [omega, -Omega, 0]$
con $omega=v_0/r$.
Il momento angolare allora, scritto in questo riferimento sarà $vec L = [I_1 omega, -I_2 Omega, 0]$
con $I_1 = 1/2 m r^2$ e $I_2=mR^2+1/4mr^2$
Il vettore $vec L$ ora possiamo derivarlo rispetto al tempo:
$\frac{d vec L}{dt} = vec M_E = vec Omega \times vec L = [0, 0, I_1 Omega omega]$
infatti il vettore momento angolare in pratica è solidale al sistema di riferimento rotante scelto.
Pertanto il momento esterno da applicare risulta diretto come il terzo asse della terna rotante scelta e sarà "fermo" in tale terna.
Ti ringrazio per la risposta.
Non mi è chiara la scrittura di $vec(omega)=[omega,-Omega,0]$. E non so se mi è chiara la matematica che c'è dietro.
$vec(omega)$ è un vettore che giace nel piano $xy$ che forma un angolo $theta=arctan(-Omega/omega)$ ?
In base a cosa ha queste coordinate?
Poi $vec(L)=( ( I_1 , 0 , 0 ),( 0 , I_2 , 0 ),( 0 , 0 , I_3 ) ) *((omega),(-Omega),(0))$ ?
Le derivate temporali sono state calcolate come ho fatto nel primo messaggio? Cioè
$(dvec(L))/dt=[d(I_1omega)/dt,-d(I_2Omega)/dt,0]$ ? Però se il sistema di riferimento è rotante né $Omega$ né $omega$ descrivono angoli.
Il prodotto vettoriale che hai scritto l'ho tradotto in questi determini. E' quel vettore tale che comunque scelto $z=[z_1,z_2,z_3]$ ho che
$"="det(x" "y" "z)"="| ( 0 , I_1omega , z_1 ),(-Omega , I_2Omega , z_2 ),( 0 , 0 , z_3 ) | = I_1omegaOmegaz_3$ dove $<,>$ è un prodotto scalare
Quella scrittura di $vec(M_E)$ è il risultato della derivata che ho scritto nel primo messaggio?
Non credo di aver capito molto, perdonami e perdona le mille mila domande.
Non mi è chiara la scrittura di $vec(omega)=[omega,-Omega,0]$. E non so se mi è chiara la matematica che c'è dietro.
$vec(omega)$ è un vettore che giace nel piano $xy$ che forma un angolo $theta=arctan(-Omega/omega)$ ?
In base a cosa ha queste coordinate?
Poi $vec(L)=( ( I_1 , 0 , 0 ),( 0 , I_2 , 0 ),( 0 , 0 , I_3 ) ) *((omega),(-Omega),(0))$ ?
Le derivate temporali sono state calcolate come ho fatto nel primo messaggio? Cioè
$(dvec(L))/dt=[d(I_1omega)/dt,-d(I_2Omega)/dt,0]$ ? Però se il sistema di riferimento è rotante né $Omega$ né $omega$ descrivono angoli.
Il prodotto vettoriale che hai scritto l'ho tradotto in questi determini. E' quel vettore tale che comunque scelto $z=[z_1,z_2,z_3]$ ho che
$
Quella scrittura di $vec(M_E)$ è il risultato della derivata che ho scritto nel primo messaggio?
Non credo di aver capito molto, perdonami e perdona le mille mila domande.
"paolo1712":
Ti ringrazio per la risposta.
Non mi è chiara la scrittura di $vec(omega)=[omega,-Omega,0]$. E non so se mi è chiara la matematica che c'è dietro.
$vec(omega)$ è un vettore che giace nel piano $xy$ che forma un angolo $theta=arctan(-Omega/omega)$ ?
In base a cosa ha queste coordinate?
Sì quelle sono semplicemente le coordinate del vettore nel riferimento specificato, si intende che il vettore è applicato nell'origine. Non è importante per il vettore velocità angolare applicarlo in un punto particolare infatti.
Quei valori delle componenti sono tali per definizione di vettore velocità angolare, visto che la ruota gira attorno al proprio asse e descrive inoltre nel suo moto una curva con un certo raggio, quindi ruota attorno agli assi x e y del sistema che ho scelto.
"paolo1712":
Poi $vec(L)=( ( I_1 , 0 , 0 ),( 0 , I_2 , 0 ),( 0 , 0 , I_3 ) ) *((omega),(-Omega),(0))$ ?
Sì esatto, non ho specificato perché non so se hai nozioni di calcolo matriciale, in particolare del prodotto matriciale, comunque al fatto che il momento angolare sia quello ci si arriva anche intuitivamente.
"paolo1712":
Le derivate temporali sono state calcolate come ho fatto nel primo messaggio? Cioè
$(dvec(L))/dt=[d(I_1omega)/dt,-d(I_2Omega)/dt,0]$ ? Però se il sistema di riferimento è rotante né $Omega$ né $omega$ descrivono angoli.
La derivata di quel momento angolare si trova applicando la relazione di Poisson sulla derivazione nel tempo di un vettore solidale ad una terna di riferimento, data la velocità angolare (come vettore) della terna di riferimento, in questo caso $vec Omega$.
La regola su come calcolare il prodotto vettoriale tra due vettori la trovi facilmente, è una definizione (valida per vettori in uno spazio tridimensionale).
A me questo comunque sembra più un problema di meccanica razionale piuttosto che di fisica generale, benché in tal senso non è impossibile.
Fortunatamente è solo un esame arretrato che però poco digerisco perché distante nel metodo da tutti gli altri preparati a matematica.
E' un esercizio del Mazzoldi di Fisica 1, non saprei. Mi accontento di questa spiegazione, anche se mi urta che il libro non tratti lontanamente (almeno per quanto ho visto) casi simili dal punto di vista teorico. In generale lo trovo fastidioso perché da poco spazio alla matematica che c'è dietro, però pazienza.
Grazie ancora!
"Faussone":
A me questo comunque sembra più un problema di meccanica razionale piuttosto che di fisica generale, benché in tal senso non è impossibile.
E' un esercizio del Mazzoldi di Fisica 1, non saprei. Mi accontento di questa spiegazione, anche se mi urta che il libro non tratti lontanamente (almeno per quanto ho visto) casi simili dal punto di vista teorico. In generale lo trovo fastidioso perché da poco spazio alla matematica che c'è dietro, però pazienza.
Grazie ancora!
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