Dubbio potenziale cariche ai vertici di un qudrato
Vorrei calcolare il potenziale all'interno di un quadrato le cui cariche sono poste ai quattro vertici.
A me verrebbe semplicemente da calcolare il potenziale per ogni carica nei vertici e sommarli: prendendo l'origine degli assi nel centro del quadrato ottengo
$V_1(x, y) = \frac {-k} {\sqrt{(x - \sqrt(2)l/2)^2 + (y - \sqrt(2)l/2)^2}}$
$V_2(x, y) = \frac {-k} {\sqrt{(x - \sqrt(2)l/2)^2 + (y + \sqrt(2)l/2)^2}}$
$V_3(x, y) = \frac {-k} {\sqrt{(x + \sqrt(2)l/2)^2 + (y +\sqrt(2)l/2)^2}}$
$V_4(x, y) = \frac {-k} {\sqrt{(x + \sqrt(2)l/2)^2 + (y - \sqrt(2)l/2)^2}}$
(sono partito a numerare dal vertice in basso a sinistra e ho continuato in senso orario)
dunque $V_{t} = \sum V_i(x, y)$.
A me sembra intuitivamente corretto, ma credo debba essere sbagliato. A meno di errori nel codice, ho plottato quella funzione e mi risulta abbia un massimo nel centro del quadrato. Ma ciò non può essere vero: se prendo una superficie circolare racchiusa nel quadrato (quindi all'interno della quale non ho cariche) posso scrivere l'equazione di laplace
$$\Delta V = 0$$
ma una proprietà dell'equazione di Laplace è che le sue soluzioni non ammettono massimi e mini locali: se esistono massimi o minimo devono trovarsi sulla superficie di contorno. Questo è in contrasto con la soluzione che avrei intuitivamente trovato sommando i contributi dei potenziali.
A me verrebbe semplicemente da calcolare il potenziale per ogni carica nei vertici e sommarli: prendendo l'origine degli assi nel centro del quadrato ottengo
$V_1(x, y) = \frac {-k} {\sqrt{(x - \sqrt(2)l/2)^2 + (y - \sqrt(2)l/2)^2}}$
$V_2(x, y) = \frac {-k} {\sqrt{(x - \sqrt(2)l/2)^2 + (y + \sqrt(2)l/2)^2}}$
$V_3(x, y) = \frac {-k} {\sqrt{(x + \sqrt(2)l/2)^2 + (y +\sqrt(2)l/2)^2}}$
$V_4(x, y) = \frac {-k} {\sqrt{(x + \sqrt(2)l/2)^2 + (y - \sqrt(2)l/2)^2}}$
(sono partito a numerare dal vertice in basso a sinistra e ho continuato in senso orario)
dunque $V_{t} = \sum V_i(x, y)$.
A me sembra intuitivamente corretto, ma credo debba essere sbagliato. A meno di errori nel codice, ho plottato quella funzione e mi risulta abbia un massimo nel centro del quadrato. Ma ciò non può essere vero: se prendo una superficie circolare racchiusa nel quadrato (quindi all'interno della quale non ho cariche) posso scrivere l'equazione di laplace
$$\Delta V = 0$$
ma una proprietà dell'equazione di Laplace è che le sue soluzioni non ammettono massimi e mini locali: se esistono massimi o minimo devono trovarsi sulla superficie di contorno. Questo è in contrasto con la soluzione che avrei intuitivamente trovato sommando i contributi dei potenziali.
Risposte
"dRic":
ho plottato quella funzione e mi risulta abbia un massimo nel centro del quadrato.
Come fa ad avere un massimo nel centro? E' chiaro che il potenziale va all'infinito nei quattro vertici del quadrato...
Ora mi rimetto a fare i conti a modo, ma penso di aver risolto. Stavo per cancellare il post ma mi hai preceduto 
No ok, scherzavo continua a non tornarmi...
Io ho fatto così (predo il lato uguale a 2):
- i vertici sono nelle posizioni
$\mathbf r_1 = (-\sqrt(2), -\sqrt(2))$
$\mathbf r_2 =(-\sqrt(2), +\sqrt(2))$
$\mathbf r_3 =(+\sqrt(2), +\sqrt(2))$
$\mathbf r_4 =(+\sqrt(2), -\sqrt(2))$
- i potenziali i-esimi sono:
$V_i(x, y) = -\frac k |\mathbf r - \mathbf r_i|$
e plottando mi viene sta roba:
che ha palesemente un massimo...
Io ho fatto così (predo il lato uguale a 2):
- i vertici sono nelle posizioni
$\mathbf r_1 = (-\sqrt(2), -\sqrt(2))$
$\mathbf r_2 =(-\sqrt(2), +\sqrt(2))$
$\mathbf r_3 =(+\sqrt(2), +\sqrt(2))$
$\mathbf r_4 =(+\sqrt(2), -\sqrt(2))$
- i potenziali i-esimi sono:
$V_i(x, y) = -\frac k |\mathbf r - \mathbf r_i|$
e plottando mi viene sta roba:
che ha palesemente un massimo...
"dRic":
se prendo una superficie circolare racchiusa nel quadrato (quindi all'interno della quale non ho cariche) posso scrivere l'equazione di laplace
$$\Delta V = 0$$
ma una proprietà dell'equazione di Laplace è che le sue soluzioni non ammettono massimi e minimi locali: se esistono massimi o minimo devono trovarsi sulla superficie di contorno.
Giusto. Ma tu hai considerato una circonferenza concentrica al quadrato, non una sfera. In questo caso troveresti il massimo sul contorno della sfera, nei due punti più lontani dal piano del quadrato. Almeno, mi pare...
Non ti seguo. In due dimensioni superficie di contorno = perimetro. Ho usato la dicitura 3D ma se sono in 2D allora il teorema dice che i massimi o minimi devono stare sul perimetro.
Qualche idea ? Perché a me proprio non torna...
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