Dubbio interpretazione equazione differenziale dipolo oscillante

[matematicamento]

Ciao,
scrivo per un dubbio sciocco ma da cui non riesco bene a uscire.

Sto affrontando la trattazione di un dipolo oscillante in particolare con l'HP di piccolo smorzamento. Con piccolo smorzamento il Prof. intende che l'escursione dell'oscillazione non varia apprezzabilmente in un periodo.

Da questo imposta una equazione differenziale, sapendo che $H=(m omega^2)/(2q^2p_0^2)$ e dice:

$-(dH)/(dt)=W=(p_0^2omega^4)/(12piepsilon_0c^3)$ l'ipotesi di piccole oscillazioni è utile perché ci permette di assumere $P_0$ fissato a secondo membro e non avere variazioni repentine come $p_0(t)$

Dunque esplicitamente: $-d/(dt)((m omega^2)/(2q^2)p_0^2)=(p_0^2omega^4)/(12piepsilon_0c^3)$ insomma si viene a creare qualcosa del tipo:

$(d(p^2(t)))/(dt)=p(t)$ ma mettiamo anche una eventuale piè sempice caso $(d(p(t)))/(dt)=p(t)$ e questa cosa mi lascia un po' perplesso, non tanto a livello matematico perché la relazione tra funzioni è chiara (la derivata è una semplice altra funzione p'), quanto piuttosto fisicamente: è come se ammettessi che p(t) a sinisra vari in un certo istantino di tempo piccolo però a destra io la medesima p(t) la ritengo costante.

Qundi non capisco bene come vederla intuitivamente e fisicamente parlando: faccio variare p(t) in un tempo e quel valore che ottengo è però uguale al valore di p in un istante t. Mi sembra un controsenso vedere p come variabile e non variabile. Due pesi due misure con questa ipotesi di piccolo smorzamento (perché appunto a dx mi ha aiutato per prendere p costante).

E' una domanda stupida ma mi accorgo solo ora di questo inghippo, ammetto che prima non ci avevo posto molta attenzione ma è estendibile a tutti i casi simili ovviamente (anche meccanici). Qualcuno potrebbe darmi una mano?

[RenzoDF]

Mi chiedo ancora una volta: ma, dopo aver postato, leggete quello che avete scritto e in particolar modo come viene "reso" il vostro codice LaTeX ?

Ti consiglio quindi di correggere le relazioni per H, per W e seguenti.

"matematicamento":... è come se ammettessi che p(t) a sinisra vari in un certo istantino di tempo piccolo però a destra io la medesima p(t) la ritengo costante. ...

No, ovviamente non la ritieni costante, $p_0$ è funzione del tempo.

Ad ogni modo, non capisco quale sia il tuo dubbio; ipotizzando un momento di dipolo $\vec p_0=q\ \vec{d_0}$ e supponendo che nel periodo $T$ associato alla pulsazione $\omega$ la distanza $d_0$ fra le cariche abbia una variazione trascurabile (piccolo smorzamento), mi sembra evidente che si possa uguagliare il decremento dell'energia meccanica $H$ nel tempo $\text{d} t$ alla potenza media irradiata, non credi?

[matematicamento]

Sì, ma ero convinto che dopo invio fosse modificabile . Invece è finito in moderazione e non ho più potuto correggere uscendo dalla mia proprietà


Comunque, il dubbio non è affatto nel punto da te sottolineato, quello è ovviamente possibile. Parlo piuttosto a livello di interpretazione della $-d/(dt)((m omega^2)/(2q^2)p_0^2)=(p_0^2omega^4)/(12piepsilon_0c^3)$
dove mi sembra che ci sia una doppia interpretazione della variazione della $p_0$ a dx e sx dell'equazione, mi spiego: a destra in un intervallino dt ammettiamo una variazione di $p_0$ altrimenti non avrebbe senso la derivata in essere. Ma a destra io sfrutto una formula che esce da una integrazione su un periodo (W si ottiene così) per dipolo non smorzato (per questo si assume piccolo smorzamento ossia $p_0$ fissato).

Ora, a destra mi ritrovo una variazione di p0 in un certo tempo ma a sinistra quel p0 in quel tempo lo ritengo fisso (piccolo smorzamento), mi sembra come dicevo a fine del mio precedente scritto di usare due pesi e due misure per p0 in tal modo.

[RenzoDF]

Ripeto; $p_0$ è funzione del tempo, ma grazie al fatto che la sua variazione nel periodo T è piccola, si puo' ritenere quasi "costante" in quel periodo, al fine di poter usare quella relazione per la potenza media irradiata W.
Ti ricordo che $p_0$ rappresenta l'ampiezza dell'oscillazione, che va a scendere esponenzialmente nel tempo, ovvero

$p_0(t)=P_0 \ e^(-t/\tau)$

[matematicamento]

Ciao, grazie per la risposta!
Uhm, allora, quello che dici lo capisco, cioè: per trovare W io integro sul periodo e se p è p(t) posso appunto pensare a una piccola variazione nel periodo e quindi ritenerlo pressocché "costante".

Però il mio problema è piuttosto quando imbastisco l'eq. differenziale non per il calcolo di W. Quando procedo a uguagliare (tralasciando costanti varie ho qualcosa del tipo): $(d(p^2(t)))/(dt)=p(t)$ a destra ho p che varia nel tempo ma p(t) no perché è la condizione per cui sono riuscito a calcolare W a destra dell'uguale.


[EDIT]
Allora, forse ci sono arrivato con ritardo, in effetti è vero che ritengo p(t) costante nel calcolo di W, però p(t) è costante nel tempo del periodo, mentre quando scrivo $(d(p^2(t)))/(dt)$ io sto considerando un rapporto di infinitesimi e quindo anche a destra dell'uguale è corretto p(t) vari, perché sono in un dt<
Spero non passi qualche matematico, però fisicamente dovrebbe essere giusto? O sto dicendo cavolate? Perché ora mi pare di esserci abbastanza.
Grazie!

[RenzoDF]

Scusa ma non capisco perché non consideri l'eq. differenziale che hai in precedenza indicato (nel tuo secondo messaggio), che porta ad una forma

$\frac{\text{d} p_0(t)}{\text {d} t}=-k \ p_0(t)$

ti ricordo poi che $p_0(t)$ è semplicemente l'ampiezza dell'oscillazione, mentre con $p(t)$ si indica di solito il momento di dipolo, che sarà invece rappresentato da una funzione cosinusoidale smorzata, del tipo

$p(t)=p_0(t) \cdot cos(wt)$

"matematicamento":... perché sono in un dt<
No, la condizione, come ti ho già più volte ricordato, non è quella, ma la seguente

\(\tau \gg T\)

dove

$\tau=1/k$

Giusto per fare un esempio numerico, con $\tau=1\ \text{s}\quad$ e $\quad T=0.1\ \text{s}$

[matematicamento]

No, la condizione, come ti ho già più volte ricordato, non è quella, ma la seguente

τ≫T

Certo, ma infatti io sto chiedendo un'altra cosa nel mio precedente post . Quella da te riferita è la condizione di piccolo smorzamento, in buona sostanza. Ma il mio dubbio non è sul ricavare W, ma quando scrivo l'eq. in sé.

Io (invece) sto chiedendo come possano coesistere a livello di eq. differenziale il fatto che riteniamo $p_0(t)$ come costante sul periodo di integrazione, ma poi quando svolgiamo la derivazione $(dp_0(t))/(dt)$ lo ammettiamo variabile $p_0(t)$ in un intervallino dt. Per quello scrivevo:

[EDIT]
Allora, forse ci sono arrivato con ritardo, in effetti è vero che ritengo $p_0(t$) costante nel calcolo di W, però p_0(t) è costante nel tempo del periodo, mentre quando scrivo $(d(p_ 0^2(t)))/(dt)$ io sto considerando un rapporto di infinitesimi e quindo anche a destra dell'uguale è corretto p(t) vari, perché sono in un dt<non come condizione di piccolo smorzamento, ma per capire perché po(t) vari in un intervallino dt, e quindi possa derivare].

E' un po' questo a intortarmi.

[RenzoDF]

Visto che non riesco a capire quale sia il tuo dubbio, faccio un'ultimo tentativo per chiarire cosa intendevo dire.

Facendo riferimento al caso particolare in precedenza indicato, rappresentato nella seguente figura,



ovvero per \(\tau \gg T \), (rispettivamente pari a 1s e 0.1s), avremo che $p_0(t)=e^(-t)$, ampiezza del momento di dipolo[nota]$p(t)$, rappresentato dalla oscillazione in giallo[/nota] rappresentata dalla curva blu, nell'intervallo 0.3al fine di poter semplificare il calcolo che porta alla potenza irradiata W via Poynting (estraendola dall'integrale dell'intensità), possiamo scrivere l'equazione differenziale in quella forma semplificata; questo non toglie il fatto che $p_0(t)$ sia sempre e comunque una funzione del tempo, e non potrebbe essere altrimenti per una oscillazione smorzata.

Chiaramente l'approssimazione sarà tanto migliore quanto maggiore è il rapporto \(\tau/T\).

[matematicamento]

@RenzoDF.
Ho aspettato un po' per vedere se riuscivo a comprenderlo con il tempo. Proseguendo nello studio credo di capire che questo fatto nelle equazioni differenziali non mi è ancora chiarissimo. Io matematicamente lo capisco ma non riesco a intuirlo nell'applicazione fisica. Volevo portarti in esame quest'altro esempio che ho trovato per serendipità nelle pagine di questo forum e credo spieghi bene i miei dubbi.

Il mio dubbio è questo: sappiamo che all'incremento di I corrisponde una I opposta per Lenz. Nell'equazione differenziale è formalizzata dalla derivata $(dI)/(dt)$ questa variazione di I, e in particolare ho una forza contro-elettromotrice $-L(dI)/(dt)$

Si imposta l'equazione differenziale $E - Ri - L (di)/(dt) = 0 $. Cerco di spiegare, perché il mio dubbio è più intuitivo che formale (formalmente ogni passaggio è corretto, però va capito anche il perché)

Mi soffermo sul termine $L (di)/(dt)$ dell'equazione riportata sopra. Esso esprime la corrente che si oppone (per Lenz segno meno) alla corrente che scorre positivamente nel circuito.

A livello di derivata a numeratore io prendo $di$ varizione dell'intensità di corrente in quell'istante $dt$, ora nell'equazione di kirchhoff questo $L (di)/(dt)$ è il termine da sottrarre (dovuto alla corrente contraria) alla ddp positiva (garantita dal generatore). Soffermiamoci sulle correnti: $L(di)/(dt)$ sembra un valore da sottrarre a posteriori, voglio dire: calcolo la derivata di quanto varia $i$ che circola per via del generatore, nel tempo dt e quello è quanto diminuisce la ddp nel circuito dopo quella variazione in quel tempo dt, ma dt deve passare come istante per farne il calcolo.
Però nell'equazione differenziale scritta si perde questa causalità perché la i(t) che compare nelle derivate e nelle non derivate è la i(t) nel medesimo istante di tempo t per tutti gli addendi nell'equazione.
Quindi in realtà nell'equazione differenziale il valore i(t) istante per istante è il valore di $i$ dovuto al generatore già sottratto di un valore $i'$, cioè quello che esce dalla derivata e di segno contrario (questo appunto in ogni istante dt). Allora quando calcolo $(di)/(dt)$ in realtà sto calcolando una variazione di $i$ già sottratta dell'$i'$ opposta dovuta all'induzione del circuito, ma è un assurdo perché la variazione è dovuta alla stessa derivata che sto calcolando e in un istante t non è ancora calcolabile, deve passare un dt...

Questi sono paro paro i miei dubbi che torvavo nella questione precedente. Forse espressi in questo nuovo esempio sono più chiari e dato che vedo che sei un esperto in tal senso spero finalmente di poterli appianare con il tuo enorme aiuto. Rimango in attesa sperando in una tua risposta, magari cambiando esempio si capisce meglio quale era il mio dubbio perché ho l'impressione che prima la piccola oscillazione abbia fuorviato sul reale punto che mi confonde e che vorrei DAVVERO tanto capire.

[Noodles1]

Visto che l'equazione differenziale è dello stesso tipo:

$m(dv)/(dt)=mg-kv$

mi chiedevo se avresti gli stessi dubbi nel caso della caduta libera di un corpo in presenza di un mezzo viscoso. Ad ogni modo, ridotti all'osso, ho l'impressione che tu faccia fatica a concepire una causa:

$-L(di)/(dt)$

che dipenda dalla derivata dell'effetto:

$i$

[matematicamento]

Certamente sì, hai afferrato il dubbio. E' sulla causa-effetto! Semplicemente con il primo corso non mi ero accorto di questa cosa, non so se perché era per me tutto nuovo e mi era sfuggita o se perché fossi stato superficiale nella comprensione. Poi però, come spesso (mi) accade procedendo trovo dubbi che non avevo avuto in passato (col senno di poi). Non so se sia normale (?) ma mi capita . Ma ovviamente sì, è un discorso diciamo generale per cui vorrei trovare una pezza da metterci dato che basilare e utile.

[RenzoDF]

"matematicamento":... credo di capire che questo fatto nelle equazioni differenziali non mi è ancora chiarissimo. ...

Direi che non ti è proprio per nulla chiaro, in quanto ti ricordo che la derivata[nota]Limite del rapporto incrementale \(\Delta f/\Delta t\) per $\Delta t -> 0$.[/nota] di una funzione $f(t)$ rappresenta la rapidità di variazione della stessa in quel preciso (generico) istante $t$, ne anteriore ne posteriore

"matematicamento":...
Mi soffermo sul termine $L (di)/(dt)$ dell'equazione riportata sopra. Esso esprime la corrente che si oppone ... alla corrente che scorre positivamente nel circuito...

Assolutamente no, il termine $L (di)/(dt)$ rappresenta la fem indotta nell'induttore $L$ a causa della rapidità di variazione (=derivata) della corrente (e quindi del flusso conc.) in quel preciso istante $t$, fem che va a sommarsi algebricamente alla fem del generatore $e(t)$ in quello stesso preciso istante $t$

Non c'è da considerare nessun "prima" e nessun "dopo".

[matematicamento]

Il fatto è che matematicamente mi è molto chiaro, però in fisica si usa sempre un dt visto come "intervallino" e quindi sì in quel caso mi sembra di vedere un prima e dopo proprio nei punti che hai quotato. Cioè non riesco a vedere come ci sia una opposizione $L(di)/dt$ nello stesso istante in cui ho i(t) dato che $L(di)/dt$ mi sembra una causa di una "varizione" e non riesco a vederci "contemporaneità".

non so se mi spiego . Ripeto matematicamente ci sono, se le vedo come funzioni è chiarissimo, ma passando alla fisica ho questi inghippi.