Dubbio integrale del periodo di oscillazione di un pendolo cicloidale

[adrianoft9189]

Salve a tutti, avrei bisogno di un piccolo chiarimento visto che su internet ho trovato qualcosa ma tutti procedimenti diversi da quelli che il nostro prof ci ha proposto:
cercando di dimostrare la non-dipendenza del periodo di oscill dall'ampiezza di oscill di un pendolo cicloidale arrivo ad un'erspressione del periodo del tipo:
\[ \tau = 4\int_0^{y_0} \frac {dy}{\sqrt{y(y_0-y)}}\]
y_0 altezza massima y altezza attuale, ma il problema è un altro: dopo il cambio di variabile
$\eta=y/y_0$
l'integrale diventa:
\[ \tau = 4\int_0^1 \frac {d\eta}{\sqrt{\eta(1-\eta)}}\]
e l'unico commento è: "come si vede, l'integrale non dipende dalla posizione finale y0" ma io non vedo proprio niente purtroppo xD. Scommetto che è una banalità ma non riesco a capire, potreste illuminarmi per favore?
Chiedo scusa se ho sbagliato la sezione ma non sapevo se era più appropriato qui o Analisi

[anonymous_af8479]

$y_0$ non e' presente ne' nell'integrando ne' negli estremi di integrazione, quindi il risultato e' costante.

[adrianoft9189]

Ma $eta$ è definito su $y_0$, cambia $y_0$ allora cambia anche $eta$ non capisco...vabbeh mi accontenterò di un "l'integrale fa $pi$"

[anonymous_af8479]

Non devi credere ciecamente ... se cambi variabile, il risultato dell'integrale definito non cambia ! Se risolvi il primo integrale e poi il secondo, troverai lo stesso risultato ! Prendi un programma di calcolo qualsiasi e prova cambiando $y_0$ ...

[adrianoft9189]

Per crederci ci credo ma pensavo ci fosse qualcosa di più comprensibile sotto. Almeno ora ho capito che non ci sono cose che dovrei capire ma che non comprendo. Mi ha sviato il "come si vede" del prof, pensavo ci fosse qualcosa di evidente che mi ero perso. Gracias anche se in fondo non ho capito molto di nuovo è stato utile comunque