Dubbio generico su problema di meccanica analitica
Il mio dubbio riguarda la parametrizzazione di un disco che è vincolato a traslare lungo l'asse di simmetria perpendicolare ad esso e che è libero di ruotare attorno ad esso.
Prendiamo un sistema di riferimento rotante ($\omega=\text{cost.}$) attorno all'asse z e che quest'ultimo coincida con l'asse di simmetria suddetto; come coordinate lagrangiane prendiamo $z$ che indica la posizione del centro $C$ del disco e $\vartheta$ che indica l'angolo che un raggio $CA$ del disco, essendo $A$ un punto assegnato del bordo del disco, forma con una retta parallela ad uno degli altri due assi e passante per $C$.
Per parametrizzare il disco, mi trovo davanti a due scelte:
$$P=(\rho\cos[\vartheta(t) + \alpha], \rho\sin[\vartheta(t)+\alpha], z(t))\quad 0\leq \rho\leq r;\,0\leq\alpha\leq2\pi$$
oppure
$$P=(\rho\cos\alpha,\rho\sin\alpha,z(t))\quad 0\leq \rho\leq r;\,0\leq\alpha\leq2\pi$$
Usando quest'ultima, se voglio trovare la derivata temporale farei finta che $\alpha$ dipenda dal tempo ed avrei $\dot{\alpha}=\dot{\vartheta}$
Mi rendo conto che così sembra un problema inutile ma in realtà il mio problema sorge quando voglio calcolare le sollecitazioni date dalla forza di Coriolis rispetto a $\vartheta$:
$$Q_{\vartheta}=\int \vec{a}_{Coriolis}\cdot\frac{\partial P}{\partial \theta}\,dm=-2\int (\vec{\omega}\wedge \dot{P})\cdot \frac{\partial P}{\partial \theta} \,dm=0$$
Allora entrambi i modi sembrano "giusti" perché danno lo stesso risultato, ma è un puro caso legato a questo esempio specifico o in generale vanno bene entrambe le parametrizzazioni?
Prendiamo un sistema di riferimento rotante ($\omega=\text{cost.}$) attorno all'asse z e che quest'ultimo coincida con l'asse di simmetria suddetto; come coordinate lagrangiane prendiamo $z$ che indica la posizione del centro $C$ del disco e $\vartheta$ che indica l'angolo che un raggio $CA$ del disco, essendo $A$ un punto assegnato del bordo del disco, forma con una retta parallela ad uno degli altri due assi e passante per $C$.
Per parametrizzare il disco, mi trovo davanti a due scelte:
$$P=(\rho\cos[\vartheta(t) + \alpha], \rho\sin[\vartheta(t)+\alpha], z(t))\quad 0\leq \rho\leq r;\,0\leq\alpha\leq2\pi$$
oppure
$$P=(\rho\cos\alpha,\rho\sin\alpha,z(t))\quad 0\leq \rho\leq r;\,0\leq\alpha\leq2\pi$$
Usando quest'ultima, se voglio trovare la derivata temporale farei finta che $\alpha$ dipenda dal tempo ed avrei $\dot{\alpha}=\dot{\vartheta}$
Mi rendo conto che così sembra un problema inutile ma in realtà il mio problema sorge quando voglio calcolare le sollecitazioni date dalla forza di Coriolis rispetto a $\vartheta$:
$$Q_{\vartheta}=\int \vec{a}_{Coriolis}\cdot\frac{\partial P}{\partial \theta}\,dm=-2\int (\vec{\omega}\wedge \dot{P})\cdot \frac{\partial P}{\partial \theta} \,dm=0$$
Sostanzialmente nel primo caso avrei che è nulla a seguito del calcolo del prodotto misto (si semplificano i termini), mentre nel secondo caso è nulla semplicemente perché $\frac{\partial P}{\partial \theta}=0$ visto che non appare la coordinata lagrangiana.
Allora entrambi i modi sembrano "giusti" perché danno lo stesso risultato, ma è un puro caso legato a questo esempio specifico o in generale vanno bene entrambe le parametrizzazioni?
Risposte
Anche lavorando con le coordinate lagrangiane non va perso di vista il significato di forze fittizie alias apparenti alias inerziali: la forza di Coriolis va considerata o no soltanto a seconda del sistema di riferimento che usi, se stai lavorando in un sistema inerziale (quindi la posizione del corpo è riferita ad un sistema "fisso assoluto"), la forza di Coriolis non va considerata. Punto e basta. Non dipende dalle coordinate lagrangiane che scegli nè da come le interpreti.
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