Dubbio formula meccanica quantistica
Ciao a tutti
qualche giorno fa il mio professore di meccanica quantistica ha dato alcuni esercizi da svolgere senza però aver spiegato parte della teoria.
Inoltre studio in tedesco, quindi il cambio di terminologia spesso non aiuta.
Nel testo dell'esercizio mi viene data la formula per calcolare la "larghezza di un pacchetto d'onda" nel seguente modo:
[tex]b_{QM}(t) = b_{QM}(0)\sqrt{1+ \left( \frac{t}{\tau}\right)^{2} }[/tex]
con la costante di tempo
[tex]\tau = \frac{m b_{QM}(0)^2}{2\hbar}[/tex]
dove $m$ è la massa di una particella quantica che si muove in uno spazio unidimensionale
Qualcuno potrebbe spiegarmi esattamente che cosa è la "larghezza di un pacchetto d'onda"?
Potreste anche dirmi a quale argomento si riferiscono questi concetti in modo che io possa cercarmi dei libri su cui studiare?
grazie mille a tutti
qualche giorno fa il mio professore di meccanica quantistica ha dato alcuni esercizi da svolgere senza però aver spiegato parte della teoria.
Inoltre studio in tedesco, quindi il cambio di terminologia spesso non aiuta.
Nel testo dell'esercizio mi viene data la formula per calcolare la "larghezza di un pacchetto d'onda" nel seguente modo:
[tex]b_{QM}(t) = b_{QM}(0)\sqrt{1+ \left( \frac{t}{\tau}\right)^{2} }[/tex]
con la costante di tempo
[tex]\tau = \frac{m b_{QM}(0)^2}{2\hbar}[/tex]
dove $m$ è la massa di una particella quantica che si muove in uno spazio unidimensionale
Qualcuno potrebbe spiegarmi esattamente che cosa è la "larghezza di un pacchetto d'onda"?
Potreste anche dirmi a quale argomento si riferiscono questi concetti in modo che io possa cercarmi dei libri su cui studiare?
grazie mille a tutti
Risposte
Ciao. Supponendo che per $[t=0]$ il pacchetto d'onda abbia una forma gaussiana con varianza [tex]\Delta{x^2}(0)[/tex], studiandone l'evoluzione temporale si può dimostrare che il pacchetto d'onda rimane di forma gaussiana con varianza [tex]\Delta{x^2}(t)[/tex] dipendente dal tempo assegnata dalla seguente relazione:
[tex]\Delta{x^2}(t)=\Delta{x^2}(0)+\frac{\hbar^2t^2}{4m^2\Delta{x^2}(0)}[/tex]
Per larghezza del pacchetto d'onda puoi prendere la grandezza $[2\Deltax(0)]$ al tempo $[t=0]$ e $[2\Deltax(t)]$ al generico tempo $[t]$. Se trasformi algebricamente la relazione di cui sopra dovresti ottenere quella assegnata dal tuo docente. In ogni modo, dal punto di vista fisico la larghezza del pacchetto rappresenta l'incertezza nella posizione unidimensionale della particella. Quando il pacchetto evolve nel tempo aumentando la sua larghezza, anche l'incertezza nella posizione della particella aumenta. Dovresti trovare questo argomento nella maggior parte dei testi sotto il titolo "evoluzione temporale di un pacchetto d'onda". Nel frattempo puoi guardare anche qui:
http://www.roma1.infn.it/~marti/corsi/eserciziI.pdf
[tex]\Delta{x^2}(t)=\Delta{x^2}(0)+\frac{\hbar^2t^2}{4m^2\Delta{x^2}(0)}[/tex]
Per larghezza del pacchetto d'onda puoi prendere la grandezza $[2\Deltax(0)]$ al tempo $[t=0]$ e $[2\Deltax(t)]$ al generico tempo $[t]$. Se trasformi algebricamente la relazione di cui sopra dovresti ottenere quella assegnata dal tuo docente. In ogni modo, dal punto di vista fisico la larghezza del pacchetto rappresenta l'incertezza nella posizione unidimensionale della particella. Quando il pacchetto evolve nel tempo aumentando la sua larghezza, anche l'incertezza nella posizione della particella aumenta. Dovresti trovare questo argomento nella maggior parte dei testi sotto il titolo "evoluzione temporale di un pacchetto d'onda". Nel frattempo puoi guardare anche qui:
http://www.roma1.infn.it/~marti/corsi/eserciziI.pdf
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