Dubbio dimostrazione teorema energia cinetica

[ivelios75]

Seguendo tutta la dimostrazione fino alla fine(compresi integrali e tutto) l'unica mio dubbio è questo:



Stiamo parlando di una derivata composta se non erro,ma non ben compreso come si sviluppino tutti i punti della prima riga,
so che l'accelerazione si sviluppa così,ma ancora non capisco come si sviluppino tutte le funzioni al suo interno.
$ a=\frac{d}{dt}v(x(t))=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx} $

Grazie in anticipo,per le pazienti risposte.

[mathbells]

"ivelios":....ma ancora non capisco come si sviluppino tutte le funzioni al suo interno.
$ a=\frac{d}{dt}v(x(t))=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx} $

Praticamente ti sei risposto da solo, non capisco cosa non ti sia chiaro. E' appunto la derivata rispetto al tempo della funzione composta

\(\displaystyle v(x(t)) \)

Naturalmente la forma della funzione velocità vista come funzione della posizione \(\displaystyle v(x) \) non è la stessa della funzione velocità vista come funzione del tempo \(\displaystyle v(t) \) anche se per semplicità si usa sempre il simbolo \(\displaystyle v \). Per essere rigorosi dal punto di vista matematico si dovrebbero usare simboli diversi...ma tra fisici ci si intende
Ti faccio l'esempio del moto rettilineo uniformemente accelerato. Consideriamo per semplicità un corpo che parta da fermo. Le leggi orarie sono \(\displaystyle x(t)=x_0+\frac{1}{2}at^2 \) e \(\displaystyle v(t)=at \). Da queste ricavi \(\displaystyle t(x)=\sqrt{\frac{2}{a}(x-x_0)} \) e quindi \(\displaystyle v(x)=\sqrt{2a(x-x_0)} \).

Qui si vede appunto che la forma matematica della funzione \(\displaystyle v(t) \) (polinomio di primo grado) è diversa dalla funzione \(\displaystyle v(x) \) (funzione irrazionale) quindi a rigore è errato usare lo stesso simbolo v.

Passando ai calcoli, se ora calcoli \(\displaystyle \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} \) e sostituisci la \(\displaystyle t(x) \) di sopra, trovi proprio l'accelerazione.

[ivelios75]

Non so come si sviluppi la derivata di tale funzione composta (V(x(t)), purtroppo ho sempre dei dubbi banali quando faccio qualcosa di nuovo.

[fabio.mandalari]

Ti consiglio di leggere questo articolo:
http://www.****.it/lezioni/fisica/di ... etica.html

Personalmente lo trovo ben fatto.

[professorkappa]

"ivelios":Non so come si sviluppi la derivata di tale funzione composta (V(x(t)), purtroppo ho sempre dei dubbi banali quando faccio qualcosa di nuovo.

Ma c'e' scritto sopra: la derivata di ${dv(x(t))}/[dt]=[dv]/[dx][dx]/[dt]$
Te lo ha spiegato Mathbells e il testo stesso

Altro esempio:

$v=3x^2+x$
$x=4t+5$

$[dv]/[dx]=6x+1$

$[dx]/[dt]=4$

allora ${dv(x(t))}/[dt]=[dv]/[dx][dx]/[dt]=4(6x+1)=4(24t+31)$

[donald_zeka]

Non mi piace mica tanto questa dimostrazione...nel teorema dell'energia cinetica non si fa nessuna ipotesi su quali variabili dipendono la forza e la velocità...la velocità è incognita, non sappiamo da quali variabili dipende. Il teorema fatto per bene dice solo che:

$W=(dT)/(dt)$

Ossia che la potenza della forza è pari alla variazione temporale dell'energia cinetica, niente di più, l'integrazione di quell'uguaglianza non è sempre possibile e dipende da quali variabili dipende la forza F.

[ivelios75]

"professorkappa":[quote="ivelios"]Non so come si sviluppi la derivata di tale funzione composta (V(x(t)), purtroppo ho sempre dei dubbi banali quando faccio qualcosa di nuovo.

Ma c'e' scritto sopra: la derivata di ${dv(x(t))}/[dt]=[dv]/[dx][dx]/[dt]$
Te lo ha spiegato Mathbells e il testo stesso

Altro esempio:

$v=3x^2+x$
$x=4t+5$

$[dv]/[dx]=6x+1$

$[dx]/[dt]=4$

allora ${dv(x(t))}/[dt]=[dv]/[dx][dx]/[dt]=4(6x+1)=4(24t+31)$[/quote]

Scusate mi sono espresso male,ho capito tutto il ragionamento che c'è dietro .
Mi manca solo questo piccolo tassello:
il perché questo:$ {dv(x(t))}/[dt] $
Diventi questo:$ [dv]/[dx][dx]/[dt] $
nel rigoroso concetto matematico ,non fisico.

Grazie per la pazienza