Dubbio differenza di potenziale e campo elettrico
Stavo studiando il legame che intercorre tra la d.d.p. tra due punti A e B ed il campo elettrico, nel caso in cui questo sia uniforme.
la situazione è quella in figura:
Il prof. ha diviso la traiettoria AB, in tanti piccoli tratti $\Delta \vec{r_i}$ e detto che la differenza di potenziale tra A e B vale:
$\Delta V_{AB} = \sum_{i=1}^n - \vec{E}\cdot \Delta \vec{r_i}$
Ho compreso il motivo per cui la d.d.p. non dipende dalla particolare traiettoria ma solo dal punto iniziale e finale.
Ma non capisco il perchè alla fine il prof. conclude dicendo che al limite per $n \rightarrow +\infty$:
$\Delta V = - |E| \Delta x$ indicando con $\Delta x$ la distanza tra A e B.
La quantità all'interno della sommatoria non è un prodotto scalare? quindi non dovrei dire:
$\Delta V = - |E| \Delta x cos(\alpha)$ avendo indicato con $\alpha$ l'angolo tra il vettore AB ed il campo elettrico?
la situazione è quella in figura:
Il prof. ha diviso la traiettoria AB, in tanti piccoli tratti $\Delta \vec{r_i}$ e detto che la differenza di potenziale tra A e B vale:
$\Delta V_{AB} = \sum_{i=1}^n - \vec{E}\cdot \Delta \vec{r_i}$
Ho compreso il motivo per cui la d.d.p. non dipende dalla particolare traiettoria ma solo dal punto iniziale e finale.
Ma non capisco il perchè alla fine il prof. conclude dicendo che al limite per $n \rightarrow +\infty$:
$\Delta V = - |E| \Delta x$ indicando con $\Delta x$ la distanza tra A e B.
La quantità all'interno della sommatoria non è un prodotto scalare? quindi non dovrei dire:
$\Delta V = - |E| \Delta x cos(\alpha)$ avendo indicato con $\alpha$ l'angolo tra il vettore AB ed il campo elettrico?
Risposte
Quel coseno ti dice solo che dello spostamento $Deltar$ devi prendere la componente parallela al campo $E$, o viceversa.
Quindi la quantita in sommatoria é lo scalare $E*x_i$.
$E$ é costante, lo tiri fuori dalla sommatoria, e la sommatoria all'infinito degli $x_i$ ti dá $Deltax$
L'ultima formula che scrivi é sbagliata, deve essere $DeltaV=-EDeltarcos(alpha)$ che equivale, appunto a $E*x_i$
Quindi la quantita in sommatoria é lo scalare $E*x_i$.
$E$ é costante, lo tiri fuori dalla sommatoria, e la sommatoria all'infinito degli $x_i$ ti dá $Deltax$
L'ultima formula che scrivi é sbagliata, deve essere $DeltaV=-EDeltarcos(alpha)$ che equivale, appunto a $E*x_i$
"professorkappa":
Quel coseno ti dice solo che dello spostamento $Deltar$ devi prendere la componente parallela al campo $E$, o viceversa.
Quindi la quantita in sommatoria é lo scalare $E*x_i$.
$E$ é costante, lo tiri fuori dalla sommatoria, e la sommatoria all'infinito degli $x_i$ ti dá $Deltax$
L'ultima formula che scrivi é sbagliata, deve essere $DeltaV=-EDeltarcos(alpha)$ che equivale, appunto a $E*x_i$
Quindi, se ho capito bene, scrivere $DeltaV=-E \Delta x$ (che è quello che ha scritto il prof., indicando con $\Delta x$ la distanza tra A e B) è corretto?
non mi è chiaro però questo passaggio:
"professorkappa":
e la sommatoria all'infinito degli $x_i$ ti dá $Deltax$
Tanti, infiniti, pezzettini di x, sommati, ti danno la $Deltax$ totale. Ë la parte piú semplice del ragionamento, cosa non ti torna?
"professorkappa":
Tanti, infiniti, pezzettini di x, sommati, ti danno la $Deltax$ totale. Ë la parte piú semplice del ragionamento, cosa non ti torna?
Mi sa che mi sfugge cosa stiamo indicando con $x_i$.
Partendo dalla sommatoria:
$ \Delta V_{AB} = \sum_{i=1}^n - \vec{E}\cdot \Delta \vec{r_i} $
con $\Delta \vec{r_i} $ l'iesimo piccolo vettore spostamento.
La precedente sommatoria corrisponde a:
$ \Delta V_{AB} = \sum_{i=1}^n - E \Delta r_i cos(\alpha) $
Quindi con $x_i = r_i cos(\alpha)$? che, se ho ben capito, sarebbe poi la componente dello spostamento parallela al campo elettrico.
Ora portando fuori $E$ che è uniforme, rimane $ \Delta V_{AB} = - E \sum_{i=1}^n x_i $
Se fin qui è tutto corretto, qui mi perdo.
Non riesco a capire perchè questa somma corrisponde alla distanza tra A e B in azzurro in figura.
Scegliendo come asse x un'asse nella direzione di E. quella sommatoria non dovrebbe essere la differenza tra le ascisse di A e B?
Fin li e tutto corretto.
Ma la sommatoria NON corrisponde alla distanza tra A e B in azzurro in figura.
Corrisponde alla proiezione della linea azzurra sulla direzione delle linee di campo.
In altre parole, gli spostamenti ortognali non partecipano, solo gli spostamenti paralleli al campo contribuiscono al lavoro. Quindi il lavoro é dato da $E*AB*cos(a)$ dove $ABcos(alpha)$ é proprio $Deltax$ se prendi un sistema di riferimento x-y con la x parallela ad E
Ma la sommatoria NON corrisponde alla distanza tra A e B in azzurro in figura.
Corrisponde alla proiezione della linea azzurra sulla direzione delle linee di campo.
In altre parole, gli spostamenti ortognali non partecipano, solo gli spostamenti paralleli al campo contribuiscono al lavoro. Quindi il lavoro é dato da $E*AB*cos(a)$ dove $ABcos(alpha)$ é proprio $Deltax$ se prendi un sistema di riferimento x-y con la x parallela ad E
"professorkappa":
Fin li e tutto corretto.
Ma la sommatoria NON corrisponde alla distanza tra A e B in azzurro in figura.
Corrisponde alla proiezione della linea azzurra sulla direzione delle linee di campo.
In altre parole, gli spostamenti ortognali non partecipano, solo gli spostamenti paralleli al campo contribuiscono al lavoro. Quindi il lavoro é dato da $E*AB*cos(a)$ dove $ABcos(alpha)$ é proprio $Deltax$ se prendi un sistema di riferimento x-y con la x parallela ad E
Chiarissimo, il mio dubbio era sorto perchè sugli appunti del prof. indicava proprio la distanza in azzurro, probabilmente un errore di scrittura
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