Dubbio concettuale su differenza di potenziale
Non riesco a capire come mai se la differenza di potenziale fra due punti A e B è definita come:
$\DeltaV=V_B -V_A = -\int_{A}^{B} E ds$
quando considero un campo elettrico uniforme difetto lungo l'asse Y negativo e calcolo la differenza di potenziale fra due punti A e B separati da una distanza d( con d parallelo alle linee di forza del campo), il mio libro di testo scrive la seguente equazione:
$\DeltaV=V_A -V_B = -\int_{A}^{B} E ds$
Io ho sempre studiato che per esempio che quando si calcola il delta si prende il punto finale - punto iniziale, così è per la velocità, per una distanza, per l'energia potenziale etc etc.
Anche perchè poi essendo $\V_A-V_B$ io sarei stato portato a "invertire" l'integrale,scrivendolo come $-\int_{B}^{A} E ds$
Forse il ragionamento che faccio è viziato dalla connessione che faccio quando considero il lavoro per unità di carica necessario per portare una carica di prova positiva dall'infinito al punto e in questo caso ho:
assumendo $V_A=0$ a $\infty$
$\DeltaV=V_P -V_A =V_P= -\int_{\infty}^{P} E ds$
Nell'esepio fatto prima il concetto non è sempre quello del lavoro svolto dalle forze del campo per portare una carica di prova dal punto A al punto B?
Vi prego di chiarirmi il concetto e di farmi capire,se ce la fate
, come dovrei ragionare.
Da quello che ho capito leggendo il mio testo mi veniva da pensare che il significato dell'integrale $-\int_{A}^{B} E ds$ riferito alla differenza di potenziale fosse quello del lavoro da fare per portare una carica di prova dal punto A al punto B, e se invece l'integrale fosse scritto $-\int_{B}^{A} E ds$ significasse il lavoro per portare una carica di prova da B ad A.
Ho proprio bisogno di un po' di chiarezza! Help!
$\DeltaV=V_B -V_A = -\int_{A}^{B} E ds$
quando considero un campo elettrico uniforme difetto lungo l'asse Y negativo e calcolo la differenza di potenziale fra due punti A e B separati da una distanza d( con d parallelo alle linee di forza del campo), il mio libro di testo scrive la seguente equazione:
$\DeltaV=V_A -V_B = -\int_{A}^{B} E ds$
Io ho sempre studiato che per esempio che quando si calcola il delta si prende il punto finale - punto iniziale, così è per la velocità, per una distanza, per l'energia potenziale etc etc.
Anche perchè poi essendo $\V_A-V_B$ io sarei stato portato a "invertire" l'integrale,scrivendolo come $-\int_{B}^{A} E ds$
Forse il ragionamento che faccio è viziato dalla connessione che faccio quando considero il lavoro per unità di carica necessario per portare una carica di prova positiva dall'infinito al punto e in questo caso ho:
assumendo $V_A=0$ a $\infty$
$\DeltaV=V_P -V_A =V_P= -\int_{\infty}^{P} E ds$
Nell'esepio fatto prima il concetto non è sempre quello del lavoro svolto dalle forze del campo per portare una carica di prova dal punto A al punto B?
Vi prego di chiarirmi il concetto e di farmi capire,se ce la fate
, come dovrei ragionare.Da quello che ho capito leggendo il mio testo mi veniva da pensare che il significato dell'integrale $-\int_{A}^{B} E ds$ riferito alla differenza di potenziale fosse quello del lavoro da fare per portare una carica di prova dal punto A al punto B, e se invece l'integrale fosse scritto $-\int_{B}^{A} E ds$ significasse il lavoro per portare una carica di prova da B ad A.
Ho proprio bisogno di un po' di chiarezza! Help!
Risposte
Allora partiamo da un po' più indietro: che cos'è il potenziale?
Beh la definizione di potenziale è:
Dicesi potenziale una funzione $U$ tale che $-(delU)/(delx_i) = F_x_i$
In soldoni è una funzione che derivata rispetto allo spazio restituisce la forza. Ma con il segno cambiato!
Allora quando devi considerare il lavoro di una forza su un percorso devi calcolare:
$int_A^B \vecF\vecds$
ok, prendiamo in considerazione la relazione $-(del U)/(delx_i) = F_(x_i) -> int_A^B- (del U)/(delx_i) dx_i = int_A^B F_(x_i)dx_i $
Beh, ma l'integrale a destra non è altro che il lavoro che la forza fa da A a B. A questo punto guardiamo la parte a sinistra dell'equazione.
$- int_A^B (delU)/(delx_i) dx_i = - (U(B) - U(A)) = U(A) - U(B)$
Ecco, abbiamo scoperto che il lavoro che una forza fa per andare da A a B è pari al potenziale di A sottratto quello di B.
Attenzione a non confondere quindi: La differenza di energia potenziale $U(B) - U(A)$ è il lavoro che la forza fa dal punto B al punto A, non il contrario!!
Facciamo un esempio:
Calcoliamo il lavoro della forza di gravità tra $A$ e $B$, scegliendo un riferimento in cui la forza è parallela all'asse y e diretta verso il basso
$F = -mg$
$int_A^B Fdy = -mg(A-B) = mg(A) - mg(B) $
Il potenziale invece è $- int_A^B Fdy = int_A^B mgdy = mg (B) - mg(A) = U(B)-U(A)$
Va da se che il lavoro delle forze da A a B è pari a la differenza di potenziale da A a B. E così per tutti i casi!
P.S Nel caso del campo elettrico ti sei scordato un segno:
$- int_A^B -Edy$
Il campo elettrico va verso il basso, un po' come la forza di gravità. Penso che il libro abbia moltiplicato ambo i membri per $-1$ confondendoti le idee...
$-int_A^B E = int_B^A Edy = 1/q int_B^A qEdy = 1/q int_B^A Fdy$ che è il lavoro che la forza elettrica fratto la carica, ovvero il campo, fa su un percorso che inzia da B e finisce in A
Beh la definizione di potenziale è:
Dicesi potenziale una funzione $U$ tale che $-(delU)/(delx_i) = F_x_i$
In soldoni è una funzione che derivata rispetto allo spazio restituisce la forza. Ma con il segno cambiato!
Allora quando devi considerare il lavoro di una forza su un percorso devi calcolare:
$int_A^B \vecF\vecds$
ok, prendiamo in considerazione la relazione $-(del U)/(delx_i) = F_(x_i) -> int_A^B- (del U)/(delx_i) dx_i = int_A^B F_(x_i)dx_i $
Beh, ma l'integrale a destra non è altro che il lavoro che la forza fa da A a B. A questo punto guardiamo la parte a sinistra dell'equazione.
$- int_A^B (delU)/(delx_i) dx_i = - (U(B) - U(A)) = U(A) - U(B)$
Ecco, abbiamo scoperto che il lavoro che una forza fa per andare da A a B è pari al potenziale di A sottratto quello di B.
Attenzione a non confondere quindi: La differenza di energia potenziale $U(B) - U(A)$ è il lavoro che la forza fa dal punto B al punto A, non il contrario!!
Facciamo un esempio:
Calcoliamo il lavoro della forza di gravità tra $A$ e $B$, scegliendo un riferimento in cui la forza è parallela all'asse y e diretta verso il basso
$F = -mg$
$int_A^B Fdy = -mg(A-B) = mg(A) - mg(B) $
Il potenziale invece è $- int_A^B Fdy = int_A^B mgdy = mg (B) - mg(A) = U(B)-U(A)$
Va da se che il lavoro delle forze da A a B è pari a la differenza di potenziale da A a B. E così per tutti i casi!
P.S Nel caso del campo elettrico ti sei scordato un segno:
$- int_A^B -Edy$
Il campo elettrico va verso il basso, un po' come la forza di gravità. Penso che il libro abbia moltiplicato ambo i membri per $-1$ confondendoti le idee...
$-int_A^B E = int_B^A Edy = 1/q int_B^A qEdy = 1/q int_B^A Fdy$ che è il lavoro che la forza elettrica fratto la carica, ovvero il campo, fa su un percorso che inzia da B e finisce in A
"Zkeggia":
P.S Nel caso del campo elettrico ti sei scordato un segno:
$- int_A^B -Edy$
Il campo elettrico va verso il basso, un po' come la forza di gravità. Penso che il libro abbia moltiplicato ambo i membri per $-1$ confondendoti le idee...
Sinceramente non mi è molto chiaro il perchè E dovrebbe portare un segno negativo davanti...cioè, è chiarissimo che ci sia il segno negativo prima dell'integrale ma non capisco proprio perchè un altro segno - prima di E.
Alla fine mentre nel campo gravitazionale abbiamo il segno - che indica che questo campo è attrattivo , non mi spiego il motivo per cui E dovrebbe portare davanti anch'esso il segno meno.
Il fatto che il campo elettrico vada verso il basso, verso l'alto, verso destra o sinistra, non dovrebbe influenzare il segno di E, al limite penso che il segno possa modificarsi a seconda che una particella si muova nella stessa direzione del campo o in direzione opposta...
Mi è chiaro tutto il ragionamento che hai fatto e te ne sono grato, ma mi sfugge ancora questa faccenda del - davanti ad E!
Nel sistema di riferimento che hai preso $E$ va verso il basso mi pare, giusto? quindi se hai una carica positiva il lavoro della forza sarà $int_A^B q*(-E)ds = int_B^A q*Eds = q*E(A-B)$
mentre se la carica è negativa il lavoro sarà $q*E(B-A)$.
Ora, il potenziale si è detto che deve essere uguale a $-L$ della forza, quindi:
$DeltaV=-int_A^B -Eds = E(B)-E(A)$
L'energia potenziale si ottiene dalla differenza di potenziale moltiplicando per q, e si ha:
$DeltaU = q*E (B) - q*e(A)$
Se q è positiva si ha che il lavoro fatto dalla forza da A a B è $q*E (A-B) = - DeltaU$
Se q è negativa si ha invece che il lavoro è $q*E(B-A) = - DeltaU$
E tutto torna.
Più fisicamente hai che se il campo elettrico è diretto verso il basso una carica positiva sarà spinta verso il basso, mentre una negativa verso l'alto. Se invece E è diretto verso l'alto si ha che le cariche positive tenderanno a salire mentre quelle negative a scendere. Anche intuitivamente si ha che il lavoro che il primo campo fa per far scendere una carica di un'altezza h il secondo lo fa per farla salire. I due lavori sono opposti dunque.
mentre se la carica è negativa il lavoro sarà $q*E(B-A)$.
Ora, il potenziale si è detto che deve essere uguale a $-L$ della forza, quindi:
$DeltaV=-int_A^B -Eds = E(B)-E(A)$
L'energia potenziale si ottiene dalla differenza di potenziale moltiplicando per q, e si ha:
$DeltaU = q*E (B) - q*e(A)$
Se q è positiva si ha che il lavoro fatto dalla forza da A a B è $q*E (A-B) = - DeltaU$
Se q è negativa si ha invece che il lavoro è $q*E(B-A) = - DeltaU$
E tutto torna.
Più fisicamente hai che se il campo elettrico è diretto verso il basso una carica positiva sarà spinta verso il basso, mentre una negativa verso l'alto. Se invece E è diretto verso l'alto si ha che le cariche positive tenderanno a salire mentre quelle negative a scendere. Anche intuitivamente si ha che il lavoro che il primo campo fa per far scendere una carica di un'altezza h il secondo lo fa per farla salire. I due lavori sono opposti dunque.
Dico la mia opinione sul segno meno nell'equazione
$V(B)-V(A)=-int_{A}^{B} vec E cdot "d" vec s$;
sperando di non creare confusione con i (giusti) interventi di Zkeggia.
Io direi che è tutta questione di energia. Infatti il potenziale elettrostatico è per definizione l'energia potenziale elettrostatica della carica unitaria (positiva). Se questa carica, immersa nel campo elettrostatico, fosse lasciata a se stessa, le forze del campo spenderebbero lavoro su di essa nel portarla dalla posizione $A$ alla posizione $B$, quindi l'integrale a secondo membro dovrà essere positivo. In mancanza di altre interazioni, l'energia necessaria a questo lavoro non può che essere fornita dall'energia potenziale elettrostatica, ovvero (parliamo della carica unitaria positiva) dal potenziale elettrostatico, che deve diminuire. Da qui il segno meno.
$V(B)-V(A)=-int_{A}^{B} vec E cdot "d" vec s$;
sperando di non creare confusione con i (giusti) interventi di Zkeggia.
Io direi che è tutta questione di energia. Infatti il potenziale elettrostatico è per definizione l'energia potenziale elettrostatica della carica unitaria (positiva). Se questa carica, immersa nel campo elettrostatico, fosse lasciata a se stessa, le forze del campo spenderebbero lavoro su di essa nel portarla dalla posizione $A$ alla posizione $B$, quindi l'integrale a secondo membro dovrà essere positivo. In mancanza di altre interazioni, l'energia necessaria a questo lavoro non può che essere fornita dall'energia potenziale elettrostatica, ovvero (parliamo della carica unitaria positiva) dal potenziale elettrostatico, che deve diminuire. Da qui il segno meno.
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