Dubbio accelerazione di due blocchi

[Jade25]

Ciao a tutti
Ho quest'esercizio che dice:Un dispositivo è costituito da un blocco di massa M=10g fissato ad un sostegno mediante una fune inestensibile e di massa trascurabile. La fune passa prima su una carrucola fissa C1 e poi su una seconda carrucola mobile C2 entrambe senza attrito e di massa trascurabile. A C2 è appeso un corpo di massa m=78.4g . Il tratto AB del piano ha coefficiente di attrito dinamico µ=0.6 ed è lungo l=20cm. Calcolare l'accelerazione a del blocco M. Calcolare la velocità con cui il blocco M, inizialmente fermo in A, arriva in B.
Allora guardando le soluzioni ho visto che per risolvere il primo quesito è stato impostato un sistema con le seguenti equazioni: $T-Ad=M*a1$; $m*g-2T=m*a2$; $a2=(a1)/2$. Ora non capisco perchè si fa riferimento a due accelerazioni diverse ed in particolare non capisco su quale base una è la metà dell'altra. L'accelerazione non è uguale per entrambi blocchi?

[donald_zeka]

Non si capisce bene, posta una immagine.

[Jade25]

Ecco l'immagine in allegato

[donald_zeka]

Mmh, la relazione tra le accelerazioni dei due corpi dipende dalla relazione tra le posizioni dei rispetti corpi rispetto ad un dato riferimento. Poni un asse $x$ orizzontale orientato positivamente a destra con origine nella posizione iniziale di $M$, e poni un asse $y$ verticale orientato positivamente verso il basso con origine coincidente con la posizione iniziale del centro della carrucola mobile. Sappiamo che il filo è inestensibile e ideale. Supponi ora che la massa $M$ si sposti a destra di una quantità $x$, allora anche il filo avrà diminuito la sua lunghezza sull'asse orizzontale di una quantità x, essendo il filo inestensibile, questo accorciamento sull'asse orizzontale deve aver provocato un allungamento sull'asse verticale della stessa quantità, ma siccome sulla carrucola mobile si può dire che "ci sono due fili", ossia uno a destra e uno a sinistra, significa che ciascun filo scende di una quantità $x/2$ in verticale, infatti se ognuno scende di $x/2$, entrambi scendono di $x/2+x/2=x$, ossia di quanto il filo si è accorciato orizzontalmente, pertanto la relazione tra la variazione della posizione di $M$ e quella di $m$ è $y=x/2$, ossia quando $M$ si sposta di $x$, $m$ scende di $x/2$, derivando due volta la relazione $y=x/2$ si ottiene $ddot(y)=ddot(x)/2$, ossia $a_2=(a_1)/2$

[Jade25]

Ok grazie mille! Ma se invece sulla carrucola mobile avessimo avuto un solo filo, l'accelerazione era uguale per entrambi i blocchi?

[donald_zeka]

In verità quella dei "due fili" era solo un trucco per far capire meglio la cosa, in verità il filo è solo uno, che parte dalla massa M, poi passa sulla carrucola fissa, scende e "ruota" attorno alla carrucola mobile per andare a fissarsi ad un vincolo fisso. Facciamo lo stesso ragionamento di prima, supponi che la massa M si sposti a destra di una quantità $x$, allora, dovendo il filo essere sempre teso, in qualche modo questo accorciarsi del filo orizzontalmente deve aver causato un allungamento orizzontale. Supponiamo che la lunghezza iniziale orizzontale del filo sia $L_1$ e che la lunghezza verticale iniziale sia $L_2$, dopo che $M$ si sposta, quella orizzontale diventa $L_1-x$ e quella verticale dovrà essere $L_2+x$, quella verticale però ha una particolarità, ossia il fatto che ruoti attorno alla carrucola mobile e la tenga sempre verticale (ossia la carrucola mobile non si inclina) pertanto, quando $L_2$ si allunga di una quantità $x$, questo $x$ "passa dalla sinistra della carrucola mobile, ci ruota intorno e riemerge dalla parte destra", ma poiché come detto la carrucola mobile non deve essere obliqua, il filo che ruota attorno alla carrucola mobile dovrà essersi allungato nello stesso modo sia a sinistra prima di ruotarci attorno, sia a destra dopo averci ruotato, quindi essendo il filo che passa sulla carrucola unico, esso in totale si sarà allungato di $x$, ma il filo di destra e sinistra si saranno allungati di $x/2$, ossia la carrucola mobile è scesa in basso di $y=x/2$. Se non ci fosse la carrucola mobile, ma il filo fosse direttamente collegato a $m$, allora ad uno spostamento $x$ di $M$ corrisponderebbe uno spostamento $y=x$ verticale di $m$. In pratica la carrucola mobile è molto vantaggiosa perché in questo caso, se al posto di M ci fossi tu che vorresti tenere in equilibrio m, allora per tenerlo in equilibrio ti basterebbe esercitare una forza $F=(mg)/2$, mentre se non ci fosse la carrucola mobile, dovresti esercitare una forza $F=mg$

[Jade25]

Ho capito il tuo ragionamento e ti ringrazio molto per la tua chiarissima spiegazione. Però oggi mi sono imbattuta in altri due esercizi molto simili a questo. Il primo (immagine1) mi chiede di trovare l'accelerazione con cui si mette in moto la massa m se la fune che collega M2 ad M si rompe. Nello svolgimento viene impostato il seguente sistema di equazioni $mg-T1=m(2a)$ ; $T1+As=Ma$ ; $(T1-As)R=I*(a/R)$.
Il secondo esercizio dice: Un corpo di massa m1=1kg è posto su un piano orizzontale liscio. Il corpo è collegato mediante una fune ideale ed una carrucola liscia ad un secondo corpo di massa m2=50g libero di scorrere in verticale. Si determini la variazione della tensione della fune quando il sistema è lasciato libero di scorrere. Anche qui viene impostato un sistema con $(m1)a=T$; $(m2)a=m2g-T$.
Il mio dubbio è sempre quello...anche nel secondo esercizio i corpi sono collegati con una carrucola, però in questo caso si fa riferimento sempre alla stessa accelerazione. Quindi mi chiedo qual è la differenza principale? Cioè come faccio a capire in quale caso si hanno accelerazioni diverse?

[donald_zeka]

La carrucola del primo esercizio è un caso particolare perchè è appunto una "carrucola mobile", le carrucole mobili sono sempre vantaggiose come ti ho detto prima. In questi casi invece quelle carrucole sono fisse, il loro compito non è altro che quello di far deviare il filo da orizzontale a verticale, e basta, non comportano nessun vantaggio o svantaggio, quindi il filo ci scorre attorno e se il corpo si sposta di x orizzontalmente, il corpo appeso scende di y=x verticalmente. Riguardo all'esercizio dell'immagine, cosa non ti torna?

[Jade25]

Ok quindi se abbiamo una carrucola fissa l'accelerazione è sempre la stessa visto che i corpi subiscono lo stesso spostamento. Allora perché nel primo esercizio che ho scritto qui sopra si hanno due accelerazioni diverse? anche qui la carrucola è fissa

[donald_zeka]

Lì hai un disco che rotola. Il filo è attaccato nell'estremo superiore del disco, se hai studiato il rotolamento puro, sai che se $ddot(x)$ è l'accelerazione del centro del disco, il punto più in alto del disco ha accelerazione $2ddot(x)$ e dato che il filo è attaccato nel punto più alto del disco e non al suo centro, la sua accelerazione sarà uguale a quella di quel punto, ossia $2ddot(x)$.

[donald_zeka]

Non esiste una regola generale per determinare gli spostamenti in sistemi compositi, quella del $y=x$ vale per corpi assimilabili a punti materiali, quando invece come nel caso del disco che rotola questa approssimazione del punto materiale non si può fare, bisogna fare dei ragionamenti caso per caso

[Jade25]

Ok ora ho capito tutto!! Grazie mille davvero sei stato chiarissimo