Dubbio 1a equazione di Maxwell
Ciao a tutti...oggi mentre leggevo una dispensa di campi elettromagnetici mi sono imbattuto in un dubbio atroce e spero che qualcuno di voi possa darmi una mano. Parliamo di equazioni di Maxwell. Detti $\barE(\bar r,t)$ e $\barB(\bar r,t)$ rispettivamente il vettore campo elettrico e il vettore induzione magnetica. Tenendo in considerazione le seguenti:
1) La legge di Faraday: $oint_{delS}\barE*d\bar r=-d/(dt)int_S \bar B *d\barS$
2) Il teorema del rotore (o di Kelvin-Stokes):$int_S (\bar \nabla xx\ bar E) *d\bar S=oint_{delS}\barE*d\bar r$
3) Il teorema della divergenza: $int_{V}(\bar\nabla*\barB)*dV=oint_{delV} \bar B *d\barS$
4) Una proprietà dell'operatore $\nabla$: per ogni campo vettoriale $\bar A$, $\text{div}(rot\barA)=0$ ovvero $\bar\nabla*(\bar\nablaxx\barA)=0$
Uguagliando il primo membro della (2) con il secondo membro della (1), supponendo la superficie $S$ costante nel tempo, si ottiene la prima equazione di Maxwell in forma locale ovvero: $\bar \nabla xx\ bar E=-(d\barB)/(dt)$ (5).
Applichiamo ad ambo i membri della (5) l'operatore $\text{div}(*)=\bar\nabla*(*)$.
Per la proprietà (4) si ottiene $\bar\nabla*((d\barB)/(dt))=d/(dt)(\bar\nabla*(\barB))=0$ da cui $\bar\nabla*(\barB)=\text{costante}$
Supponendo che esista un istante remoto $t_0$ per cui per $t
In tal modo si annulla il primo membro della (3) che in particolare vale anche quando $\delV-=S$, per cui si annulla anche il secondo membro della (1) e la (5) diventa $\bar \nabla xx\ bar E=0$.
Chiaramente nel ragionamento c'è qualcosa che non va perchè significherebbe che il campo elettrico sarebbe irrotazionale indipendentemente dall'andamento nel tempo di $B$...idee?
1) La legge di Faraday: $oint_{delS}\barE*d\bar r=-d/(dt)int_S \bar B *d\barS$
2) Il teorema del rotore (o di Kelvin-Stokes):$int_S (\bar \nabla xx\ bar E) *d\bar S=oint_{delS}\barE*d\bar r$
3) Il teorema della divergenza: $int_{V}(\bar\nabla*\barB)*dV=oint_{delV} \bar B *d\barS$
4) Una proprietà dell'operatore $\nabla$: per ogni campo vettoriale $\bar A$, $\text{div}(rot\barA)=0$ ovvero $\bar\nabla*(\bar\nablaxx\barA)=0$
Uguagliando il primo membro della (2) con il secondo membro della (1), supponendo la superficie $S$ costante nel tempo, si ottiene la prima equazione di Maxwell in forma locale ovvero: $\bar \nabla xx\ bar E=-(d\barB)/(dt)$ (5).
Applichiamo ad ambo i membri della (5) l'operatore $\text{div}(*)=\bar\nabla*(*)$.
Per la proprietà (4) si ottiene $\bar\nabla*((d\barB)/(dt))=d/(dt)(\bar\nabla*(\barB))=0$ da cui $\bar\nabla*(\barB)=\text{costante}$
Supponendo che esista un istante remoto $t_0$ per cui per $t
In tal modo si annulla il primo membro della (3) che in particolare vale anche quando $\delV-=S$, per cui si annulla anche il secondo membro della (1) e la (5) diventa $\bar \nabla xx\ bar E=0$.
Chiaramente nel ragionamento c'è qualcosa che non va perchè significherebbe che il campo elettrico sarebbe irrotazionale indipendentemente dall'andamento nel tempo di $B$...idee?
Risposte
Niente? 
Mi dispiace ma il mio livello di preparazione attuale sulla materia non è sufficiente per risponderti sensatamente. Ti posso solo consigliare, in attesa di una risposta, di consultare diversi libri di testo sull'argomento e controllare i passaggi in modo da riuscire a chiarire il tuo dubbio.
La tua domanda tratta di argomenti molto interessanti e "matematici". Forse qualche "analista" o qualche "geometra differenziale" saprebbe soddisfare i tuoi dubbi meglio di quanto un fisico possa fare.
Saluti
La tua domanda tratta di argomenti molto interessanti e "matematici". Forse qualche "analista" o qualche "geometra differenziale" saprebbe soddisfare i tuoi dubbi meglio di quanto un fisico possa fare.
Saluti
Grazie lo stesso Emar...vediamo se qualcuno si fa vivo...non ho trovato una sezione migliore dove postare il problema purtroppo
"calolillo":
In tal modo si annulla il primo membro della (3) che in particolare vale anche quando $\delV-=S$,
E qual e' la frontiera di $\partial V$? (Sarebbe il circuito lungo il quale si misura una forza elettromotrice).
Questa frontiera e' il contorno lungo la quale calcoli l'integrale del campo elettrico nella (2).
Hai ragione...degenererebbe a un punto? Quindi la circuitazione sarebbe nulla in ogni caso. Ma a questo punto le relazioni locali non valgono contemporaneamente, o perlomeno dipendono sempre dall'insieme su cui si integra, come in questo caso? O sbaglio?
in pratica hai applicato la (1) a una superficie aperta con bordo che tende a un punto.
questo si può fare ma sbagli nell'ultima implicazione logica:
avere circuitazione nulla in ogni punto non significa che il campo sia irrotazionale, infatti ogni campo anche rotazionale ha banalmente circuitazione nulla in ogni punto
questo si può fare ma sbagli nell'ultima implicazione logica:
avere circuitazione nulla in ogni punto non significa che il campo sia irrotazionale, infatti ogni campo anche rotazionale ha banalmente circuitazione nulla in ogni punto
E' vero, grazie 
...quindi è fondamentale il cammino di integrazione, una relazione locale potrebbe non necessariamente avere uno 0 su uno dei due membri, mentre ce l'ha la corrispondente relazione integrale...
...quindi è fondamentale il cammino di integrazione, una relazione locale potrebbe non necessariamente avere uno 0 su uno dei due membri, mentre ce l'ha la corrispondente relazione integrale...
sì, più o meno. Diciamo che bisogna fare attenzione quando si deduce la relazione locale da una integrale.
Tutto funziona bene senza problemi a patto di considerare superfici o cammini di integrazione non degeneri. in quei casi occorre fare più attenzione.
Tutto funziona bene senza problemi a patto di considerare superfici o cammini di integrazione non degeneri. in quei casi occorre fare più attenzione.
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