Dubbi sul teorema di Gauss
Buona sera, posto questo esercizio che mi ha causato alcuni dubbi.
Dopo averci ragionato ho seguito la soluzione proposta dal libro e volevo capire i passaggi seguiti. La forza di cui risente la carica è risente la carica è:
$ vec(F)=q_0 vec(E) $
dove il campo elettrico è quello generato da una distribuzione discoidale di carica, ovvero
$ vec(E)=+-sigma/(2epsilon_0) (1-x/(x^2+R^2)^(1/2) )vec(u_x) $.
Il libro riporta tale campo elettrico sostituendo al valore $ x/(x^2+R^2)^(1/2) $ il fattore $ cosphi_0 $. Reputo che il coseno di tale angolo sia uguale al rapporto tra la distanza $ x $ della carica $ q_0 $ e il centro del disco, e la distanza tra carica ed estremo diametrale di destra del disco, per come esso è posizionato in figura. Una semplice applicazione di trigonometria per avere:
$ vec(E)=+-sigma/(2epsi_0)(1-cosphi_0) $
Il libro riporta poi il calcolo di un flusso, espresso come
$ Phi(vec(E))=q_0/(2epsilon_0) (1-costheta_0) $
Tale flusso è il flusso generato dalla carica puntiforme attraverso la superficie del disco ed è, se non sbaglio, calcolato con la seguente formula:
$ Phi(vec(E))=int_(Sigma) vec(E)\cdot vec(u)_n dSigma= q/(4piepsi_0) int_() dOmega =q/(4piepsi_0) Omega $
Il valore dell'angolo solido precedente è espresso dalla formula $ Omega=2pi(1-costheta_0) $
Qui mi sorge un dubbio. Il teorema di Gauss non vale solo per superfici chiuse? In questo caso quale sarebbe la superficie chiusa che viene presa in considerazione?
Dopo il libro suppongo metta in relazione $ theta_0 $ e $ phi_0 $ dato che successivamente calcola la forza come
$ vec(F)=-sigma \cdotPhi(vecE) $
Non mi sono chiari questi ultimi passaggi, mi potreste dare qualche delucidazione? Grazie
Dopo averci ragionato ho seguito la soluzione proposta dal libro e volevo capire i passaggi seguiti. La forza di cui risente la carica è risente la carica è:
$ vec(F)=q_0 vec(E) $
dove il campo elettrico è quello generato da una distribuzione discoidale di carica, ovvero
$ vec(E)=+-sigma/(2epsilon_0) (1-x/(x^2+R^2)^(1/2) )vec(u_x) $.
Il libro riporta tale campo elettrico sostituendo al valore $ x/(x^2+R^2)^(1/2) $ il fattore $ cosphi_0 $. Reputo che il coseno di tale angolo sia uguale al rapporto tra la distanza $ x $ della carica $ q_0 $ e il centro del disco, e la distanza tra carica ed estremo diametrale di destra del disco, per come esso è posizionato in figura. Una semplice applicazione di trigonometria per avere:
$ vec(E)=+-sigma/(2epsi_0)(1-cosphi_0) $
Il libro riporta poi il calcolo di un flusso, espresso come
$ Phi(vec(E))=q_0/(2epsilon_0) (1-costheta_0) $
Tale flusso è il flusso generato dalla carica puntiforme attraverso la superficie del disco ed è, se non sbaglio, calcolato con la seguente formula:
$ Phi(vec(E))=int_(Sigma) vec(E)\cdot vec(u)_n dSigma= q/(4piepsi_0) int_() dOmega =q/(4piepsi_0) Omega $
Il valore dell'angolo solido precedente è espresso dalla formula $ Omega=2pi(1-costheta_0) $
Qui mi sorge un dubbio. Il teorema di Gauss non vale solo per superfici chiuse? In questo caso quale sarebbe la superficie chiusa che viene presa in considerazione?
Dopo il libro suppongo metta in relazione $ theta_0 $ e $ phi_0 $ dato che successivamente calcola la forza come
$ vec(F)=-sigma \cdotPhi(vecE) $
Non mi sono chiari questi ultimi passaggi, mi potreste dare qualche delucidazione? Grazie
Risposte
Per determinare la forza, serve conoscere la carica $q_0$ e per calcolarla puoi usare il dato relativo al flusso attraverso il disco che è una frazione \(\Omega/(4\pi)\) del flusso complessivo di $E$ attraverso la generica superficie sferica che ha per centro la carica, dalla
$ Phi(vec(E))_{\Sigma}= q_0/( epsi_0) Omega/ (4pi)$
$ Phi(vec(E))_{\Sigma}= q_0/( epsi_0) Omega/ (4pi)$
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