Dubbi sul primo teorema di Konig
Ciao ragazzi,
come da titolo ho problemi con le applicazioni del teorema. Riporto un esempio:
Un anello di massa m = 2kg e raggio r = 0.2m si trova inizialmente in quiete su un piano orizzontale liscio. Un proiettile di eguale massa m e velociatà v = 3m/s, diretto come in figura, colpisce l'anello e vi rimane attaccato. Calcolare la velocità del centro di massa del sistema, la velocità angolare dopo l''urto, la variazione di energia cinetica dopo 'urto.
Nella soluzione c'è scritto che durante l'urto si conserva il momento angolare (vorrei capire perchè) e prende come polo il centro di massa quindi ottengo:
[tex]\frac{mvr}{2} = (mr^2 + \frac{mr^2}{4})\omega + \frac{mr^2\omega}{4}[/tex]
Ora mi chiedo e se scegliessi come polo il centro dell'anello?
So ce [tex]r_c = \frac{r}{2}[/tex] e il teorema di Konig per i corpi rigidi dice che per un corpo rigido, il termine che viene sommato al momento angolare del centro di massa rappresenta quello di rotazione attorno all'asse istantaneo di rotazione passante per il centro di massa.
Quindi la mia equazione diventa:
[tex]mvr = \frac{r2mv_c}{2} + (2mr^2 + \frac{(2m)r^2}{4})\omega[/tex]
solo che viene [tex]\omega = \frac{v}{5r}[/tex] invece dovrebbe venire [tex]\frac{v}{3r}[/tex]. Dove sbaglio?
come da titolo ho problemi con le applicazioni del teorema. Riporto un esempio:
Un anello di massa m = 2kg e raggio r = 0.2m si trova inizialmente in quiete su un piano orizzontale liscio. Un proiettile di eguale massa m e velociatà v = 3m/s, diretto come in figura, colpisce l'anello e vi rimane attaccato. Calcolare la velocità del centro di massa del sistema, la velocità angolare dopo l''urto, la variazione di energia cinetica dopo 'urto.
Nella soluzione c'è scritto che durante l'urto si conserva il momento angolare (vorrei capire perchè) e prende come polo il centro di massa quindi ottengo:
[tex]\frac{mvr}{2} = (mr^2 + \frac{mr^2}{4})\omega + \frac{mr^2\omega}{4}[/tex]
Ora mi chiedo e se scegliessi come polo il centro dell'anello?
So ce [tex]r_c = \frac{r}{2}[/tex] e il teorema di Konig per i corpi rigidi dice che per un corpo rigido, il termine che viene sommato al momento angolare del centro di massa rappresenta quello di rotazione attorno all'asse istantaneo di rotazione passante per il centro di massa.
Quindi la mia equazione diventa:
[tex]mvr = \frac{r2mv_c}{2} + (2mr^2 + \frac{(2m)r^2}{4})\omega[/tex]
solo che viene [tex]\omega = \frac{v}{5r}[/tex] invece dovrebbe venire [tex]\frac{v}{3r}[/tex]. Dove sbaglio?
Risposte
Up
Non c'e' variazione di momento angolare perche i corpi sono liberi di muoversi (non c'e' alcuna reazione).
Mi sembra che latua equazione abbia un errore al primo addendo del termine fra paresntesia secondo membro.
Dovrebbe essere $mr^2$, non $2mr^2$
Mi sembra che latua equazione abbia un errore al primo addendo del termine fra paresntesia secondo membro.
Dovrebbe essere $mr^2$, non $2mr^2$
Perché mr^2?
Il momento di inerzia rispetto al CdM.
l'anello ha momento $mr^2$ rispetto al centro. Per Steiner, rispetto al cdm e' $mr^2+mr^2/4$
La massa ha inerzia $mr^2/4$.
Il momento di inerzia totale rispetto al cdm e' $I_c=mr^2+mr^2/4+mr^2/4 = 3/2mr^2$
l'anello ha momento $mr^2$ rispetto al centro. Per Steiner, rispetto al cdm e' $mr^2+mr^2/4$
La massa ha inerzia $mr^2/4$.
Il momento di inerzia totale rispetto al cdm e' $I_c=mr^2+mr^2/4+mr^2/4 = 3/2mr^2$
ok adesso è tutto piu chiaro. Grazie mille! 
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