Dubbi sul momento d'inerzia di un rettangolo
Ciao ragazzi ho bisogno di calcolare il momento d'inerzia di un rettangolo secondo l'asse che passa per il suo baricentro.
Noti a e b la larghezza e l'altezza rispettivamente.
Ho provato in svariati modi ma non riesco ad avvicinarmi al risultato, quello che forse e' il piu' logico lo scrivo di seguito:
L'idea e' quella di calcolare l'integrale r^2 in dm prendendo come sistema di riferimento quello passante per la base (non per il baricentro) ed applicare in seguito il teorema di huygens.
L'integrale quindi dovrebbe essere definito da 0 a b. Dato che m=densita'(rho) * volume(V) sostituisco al volume l'area(a*b) per lo spessore (S)
ottenendo che m=rho*a*b*s... ----> dm=rho*a*s*db dove db=dr
rho*a*s sono costanti e le porto via, rimane l'integrale di r^2 in dr che e' r^3/3 tra 0 e b.
l'integrale mi restituisce quindi (sempre se i miei calcoli sono giusti) rho*s*a*b^3/3 ora sostituisco nuovamente rho con m/A*s ottenendo mb^3/3...... applicando il teorema dovrei ottenere I=mb^3/3 +mb^2/4
il tutto e' sbagliato perche' il momento d'inerzia di un rettangolo rispetto al baricentro e' ab^3/12. Cosa sbaglio? Grazie a tutti coloro vorranno aiutarmi
.
Noti a e b la larghezza e l'altezza rispettivamente.
Ho provato in svariati modi ma non riesco ad avvicinarmi al risultato, quello che forse e' il piu' logico lo scrivo di seguito:
L'idea e' quella di calcolare l'integrale r^2 in dm prendendo come sistema di riferimento quello passante per la base (non per il baricentro) ed applicare in seguito il teorema di huygens.
L'integrale quindi dovrebbe essere definito da 0 a b. Dato che m=densita'(rho) * volume(V) sostituisco al volume l'area(a*b) per lo spessore (S)
ottenendo che m=rho*a*b*s... ----> dm=rho*a*s*db dove db=dr
rho*a*s sono costanti e le porto via, rimane l'integrale di r^2 in dr che e' r^3/3 tra 0 e b.
l'integrale mi restituisce quindi (sempre se i miei calcoli sono giusti) rho*s*a*b^3/3 ora sostituisco nuovamente rho con m/A*s ottenendo mb^3/3...... applicando il teorema dovrei ottenere I=mb^3/3 +mb^2/4
il tutto e' sbagliato perche' il momento d'inerzia di un rettangolo rispetto al baricentro e' ab^3/12. Cosa sbaglio? Grazie a tutti coloro vorranno aiutarmi
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Risposte
"Daniele515":
momento d'inerzia di un rettangolo secondo l'asse che passa per il suo baricentro.
Per una superficie piana il momento d'inerzia rispetto ad un asse è la somma dei prodotti delle aree infinitesime per la loro distanza dall'asse.
Per un rettangolo di base b e altezza h avremo:
[tex]$\[
{\rm I}_{{\rm Gx}} = \int\limits_A {y^2 dA = \int\limits_{ - h/2}^{ + h/2} {y^2 \cdot b \cdot dy} } = \left| {\frac{{y^3 }}{3}} \right|_{ - h/2}^{h/2} \cdot b = \frac{b}{3}\left( {\frac{h}{2}} \right)^3 - \frac{b}{3}\left( { - \frac{h}{2}} \right)^3 = \frac{1}{{12}}bh^3
\]$[/tex]
Ciao Piero e grazie per aver risposto..come mai nella formula invece di dm hai scritto dA?
lo so che il tuo calcolo e' quello giusto ma io non riesco a capire perche' il mio e' sbagliato..dm non e' uguale alla densita' superficiale * L'area?
$\m=sigma*A$
Ieri sera nel cercare ri risolvere il problema ho seguito un'altra idea che ad ora mi sembra la piu' giusta (anche se non viene )
te la espongo magari ci dai un'occhiata se hai tempo:
Metto il rettangolo sull'origine degli assi con lo spigolo in basso a sinistra sopra l'origine e con l'altezza del rettangolo che cresce verso Y..
$\intr^2*dm$ pongo per quello che ho detto prima $\m=sigma*A$ quindi $\dm=sigma*dA=sigma*db*dh$..per come ho posto il rettangolo nel mio sistema di riferimento r deve variare non solo nelle y ma anche sulle ascisse..
quindi l'integrale in realta' e' doppio ed inoltre dal teorema di pitagora $\r^2=b^2+h^2$
cosicche' l'integrale mi diventa
$\int int b^2+h^2 dbdh$ dove b varia da 0 ad b e h varia tra 0 ed h..ottenendo questo integrale:
$\int_{0}^{b} db*(int_{0}^{h}(b^2+h^2)dh)$ che risolto mi da: $\(b*h)/3*(b^2+h^2)$ ed in seguito applicando huygens il risultato e' sballato anche perche' da teorema di Huygens dovrei scrive $\I_g=I_0+m*d^2$ e quindi mi appare di nuovo la massa......che ne pensi?
lo so che il tuo calcolo e' quello giusto ma io non riesco a capire perche' il mio e' sbagliato..dm non e' uguale alla densita' superficiale * L'area?
$\m=sigma*A$
Ieri sera nel cercare ri risolvere il problema ho seguito un'altra idea che ad ora mi sembra la piu' giusta (anche se non viene
)te la espongo magari ci dai un'occhiata se hai tempo:
Metto il rettangolo sull'origine degli assi con lo spigolo in basso a sinistra sopra l'origine e con l'altezza del rettangolo che cresce verso Y..
$\intr^2*dm$ pongo per quello che ho detto prima $\m=sigma*A$ quindi $\dm=sigma*dA=sigma*db*dh$..per come ho posto il rettangolo nel mio sistema di riferimento r deve variare non solo nelle y ma anche sulle ascisse..
quindi l'integrale in realta' e' doppio ed inoltre dal teorema di pitagora $\r^2=b^2+h^2$
cosicche' l'integrale mi diventa
$\int int b^2+h^2 dbdh$ dove b varia da 0 ad b e h varia tra 0 ed h..ottenendo questo integrale:
$\int_{0}^{b} db*(int_{0}^{h}(b^2+h^2)dh)$ che risolto mi da: $\(b*h)/3*(b^2+h^2)$ ed in seguito applicando huygens il risultato e' sballato anche perche' da teorema di Huygens dovrei scrive $\I_g=I_0+m*d^2$ e quindi mi appare di nuovo la massa......che ne pensi?
ciao, scusate se mi intrometto, ma con un disegno si capisce meglio 
http://digilander.libero.it/carlopala/m ... rettxg.htm
in questo caso è stato calcolato il momento d'inerzia diciamo "geometrico" se si vuole tener conto della massa basta notare che $b*h$ è l'area del rettangolo e quindi moltiplicata per la densità (che si ipotizza costanza costante) si ottine $I_G=1/12 m h^2$
http://digilander.libero.it/carlopala/m ... rettxg.htm
in questo caso è stato calcolato il momento d'inerzia diciamo "geometrico" se si vuole tener conto della massa basta notare che $b*h$ è l'area del rettangolo e quindi moltiplicata per la densità (che si ipotizza costanza costante) si ottine $I_G=1/12 m h^2$
mmh sicuro che basti moltiplicare per la massa in questo modo? perche' non la consideriamo nei calcoli come faccio io?
infatti la formula e' rispetto a dm...mi sai dire perche' entrambi i miei ragionamenti non vanno bene? dovrei riuscire a risolverlo sia con l'integrale doppio che con l'integrale definito come hai fatto tu.....
infatti la formula e' rispetto a dm...mi sai dire perche' entrambi i miei ragionamenti non vanno bene? dovrei riuscire a risolverlo sia con l'integrale doppio che con l'integrale definito come hai fatto tu.....
è vero formalmente andrebbe messa a monte, ma essendo $dm=\rho*dA$, con la densità costante che si può portare fuori dal simbolo di integrale, quindi i conti sono come ti ha detto Piero. alla fine troveresti $I_G=1/12*\rho*bh^3$ ecc...
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