Dubbi sul lavoro
Testo: un punto soggetto all'azione di una forza $F=3y^2u_x+2x^2yu_y$ si muove su un piano (x,y) lungo una traiettoria $ABCD$. Le coordinate di C sono (2,3) espresse in metri. Calcola il lavoro compiuto dalla forza. Il percorso che segue è un rettangolo in cui il lato corto è lungo 2 e quello lungo 3.
Io ho preso per esempio per il primo lato orizzontale la componente della forza lungo l'asse x cioè $F_x=3y^2$ e l'ho moltiplicata per lo spostamento che è 2..e così via per tutti i lati. Il libro mi da nella soluzione tutt'altro, come mai?perche è spagliato il procedimento?
Io ho preso per esempio per il primo lato orizzontale la componente della forza lungo l'asse x cioè $F_x=3y^2$ e l'ho moltiplicata per lo spostamento che è 2..e così via per tutti i lati. Il libro mi da nella soluzione tutt'altro, come mai?perche è spagliato il procedimento?
Risposte
ciao,
prova a scrivere come hai calcolato il lavoro su tutti e 4 i lati, anche su quelli verticali
prova a scrivere come hai calcolato il lavoro su tutti e 4 i lati, anche su quelli verticali
eh mi si annullano lato verticale ed orizzontale a coppie
$L_(AB)=F_X*S=6y^2$
$L_(bc)=F_y*s=6x^2y$
$L_(cd)=-6y^2$
$L_(da)=-6x^2y$
$L_(AB)=F_X*S=6y^2$
$L_(bc)=F_y*s=6x^2y$
$L_(cd)=-6y^2$
$L_(da)=-6x^2y$
il lavoro calcolato sulle linee verticali è sbagliato...
la formula generica del lavoro infatti è $ L = int_(A)^(B) vec F * vec dx $ . Nel caso in cui la forza sia costante sulla linea che stai seguendo, il lavoro si riduce semplicemente a $ L = vec F * vec S $ . Nel tuo caso, ciò è vero lungo le linee orizzontali (perchè la forza agente su x è $3y^2$, e dato che y sulla linea orizzontale rimane costante, allora F è costante. Ma lungo le linee verticali F non è costante, perchè nella forza agente su y compare la variabile y, che cambia lungo il tragitto. Per cui su questi lati devi calcolare il lavoro tramite integrale!
la formula generica del lavoro infatti è $ L = int_(A)^(B) vec F * vec dx $ . Nel caso in cui la forza sia costante sulla linea che stai seguendo, il lavoro si riduce semplicemente a $ L = vec F * vec S $ . Nel tuo caso, ciò è vero lungo le linee orizzontali (perchè la forza agente su x è $3y^2$, e dato che y sulla linea orizzontale rimane costante, allora F è costante. Ma lungo le linee verticali F non è costante, perchè nella forza agente su y compare la variabile y, che cambia lungo il tragitto. Per cui su questi lati devi calcolare il lavoro tramite integrale!
no scusami non ho capito, lungo l'asse y non vale lo stesso discorso dell'asse x? perch dovrebbe cambiare?
il lavoro si calcola come:
$ L = int_(A)^(B) vec F * vec dx $
fin qui ci sei giusto?
allora, prendiamo il primo lato orizzontale, quello che va da (0,0) a (2,0). Calcoliamo il lavoro su tale linea, sarà:
$ L = int_(0)^(2) 3y^2dx = 3y^2x $
che calcolato tra 0 e 2 esce $ 6y^2 $. (poi ci devi sostituire l'ordinata y)
Prendiamo ora il primo lato verticale, ovvero da (2,0) a (2,3); il lavoro sarà:
$ L = int_(0)^(3) 2x^2ydy = x^2y^2 $
che calcolato tra 0 e 3 esce $ 9x^2 $. Anche qui poi dovrai sotituirci l'ascissa x...
ci sei ora?
$ L = int_(A)^(B) vec F * vec dx $
fin qui ci sei giusto?
allora, prendiamo il primo lato orizzontale, quello che va da (0,0) a (2,0). Calcoliamo il lavoro su tale linea, sarà:
$ L = int_(0)^(2) 3y^2dx = 3y^2x $
che calcolato tra 0 e 2 esce $ 6y^2 $. (poi ci devi sostituire l'ordinata y)
Prendiamo ora il primo lato verticale, ovvero da (2,0) a (2,3); il lavoro sarà:
$ L = int_(0)^(3) 2x^2ydy = x^2y^2 $
che calcolato tra 0 e 3 esce $ 9x^2 $. Anche qui poi dovrai sotituirci l'ascissa x...
ci sei ora?
ehno come ha detto skyluke89 il lavoro lungo il percorso (di una forza posizionale) è dato integrando il lavoro elementare lungo il percorso, quindi se il lavoro elementare è $dL= vec(F)*d vec(s_x) + vec(F)*d vec(s_y) + vec(F)*d vec(s_z)$ il lavoro tra due punti sarà dato integrando i tre contributi.
prendi per esempio il contributo lungo x: $L = int_a^b Fx dx$ se $Fx$ è costante rispetto ad x la si può portar fuori dall'integrale e integrando solo dx viene $Lab = Fx*(x_b - x_a)$ se invece $Fx$ è una funzione di x devi integrare anche lei i il lavoro verrà $Lab = fx|_b - fx|_a$ con $fx$ primitiva di $Fx$
prendi per esempio il contributo lungo x: $L = int_a^b Fx dx$ se $Fx$ è costante rispetto ad x la si può portar fuori dall'integrale e integrando solo dx viene $Lab = Fx*(x_b - x_a)$ se invece $Fx$ è una funzione di x devi integrare anche lei i il lavoro verrà $Lab = fx|_b - fx|_a$ con $fx$ primitiva di $Fx$
ahhhhhhh okok ho capito grazie mille!!
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