Dubbi su un esercizio Termodinamica
Ciao a tutti, ho diversi dubbi su un esercizio di termodinamica che ora vi illustro
Un recipiente a pareti adiabatiche è suddiviso in due parti A e B, inizialmente separate da una parete anch'essa adiabatica. La parte B è occupata da una massa m=1 kg di acqua alla temperatura di 350k, mentre la parte A è occupata da una mole di gas perfetto monoatomico. La parete adiabatica superiore è costituita da un pistone di massa trascurabile e libero di scorrere senza attrito in modo che il gas sia in equilibrio, alla temperatura di 200k, con la pressione atmosferica esterna, pari ad 1 atm. La parete di separazione adiabatica viene quindi sostituita da una diatermica. Sapendo che il calore specifico dell'acqua è pari a C = 4KJ/ K *kg e che 1 atm = 10^5 pa, calcolare:
La temperatura ed il volume del gas all'equilibrio
le variazioni di entropia dell'acqua e del gas
Io ho iniziato il problema ponendo Qb = -Qa poichè il calore passerò dalla sorgente più calda a quella più fredda, però nel calcolo di Qa non sono sicuro se devo usare Cv oppure Cp. Non ho capito se il problema mi dal pressione di A (non so se la pressione atmosferica mi serva a determinarla).
Infine chiedo se qualcuno sappia spiegarmi come ricavare l'entropia, purtroppo è un argomento che non ho del tutto chiaro.
Grazie in anticipo
Un recipiente a pareti adiabatiche è suddiviso in due parti A e B, inizialmente separate da una parete anch'essa adiabatica. La parte B è occupata da una massa m=1 kg di acqua alla temperatura di 350k, mentre la parte A è occupata da una mole di gas perfetto monoatomico. La parete adiabatica superiore è costituita da un pistone di massa trascurabile e libero di scorrere senza attrito in modo che il gas sia in equilibrio, alla temperatura di 200k, con la pressione atmosferica esterna, pari ad 1 atm. La parete di separazione adiabatica viene quindi sostituita da una diatermica. Sapendo che il calore specifico dell'acqua è pari a C = 4KJ/ K *kg e che 1 atm = 10^5 pa, calcolare:
La temperatura ed il volume del gas all'equilibrio
le variazioni di entropia dell'acqua e del gas
Io ho iniziato il problema ponendo Qb = -Qa poichè il calore passerò dalla sorgente più calda a quella più fredda, però nel calcolo di Qa non sono sicuro se devo usare Cv oppure Cp. Non ho capito se il problema mi dal pressione di A (non so se la pressione atmosferica mi serva a determinarla).
Infine chiedo se qualcuno sappia spiegarmi come ricavare l'entropia, purtroppo è un argomento che non ho del tutto chiaro.
Grazie in anticipo
Risposte
Per trovare le condizioni di equilibrio devi impostare condizioni sia di natura energetica come quella del calore che meccaniche (equilibrio del pistone).
Inoltre per A la condizione sul calore ricevuto e lavoro effettuato (il pistone si muove visto che cambia il volume) dovrà rispettare il primo principio in termini di energia interna (e questo ti risolve il problema Cv oppure Cp).
Prova a scrivere tutte le condizioni di cui ti ho dato un accenno e vediamo di risolvere intanto la prima parte ovvero volume e temperatura finali.
Hai le risposte del problema?
Inoltre per A la condizione sul calore ricevuto e lavoro effettuato (il pistone si muove visto che cambia il volume) dovrà rispettare il primo principio in termini di energia interna (e questo ti risolve il problema Cv oppure Cp).
Prova a scrivere tutte le condizioni di cui ti ho dato un accenno e vediamo di risolvere intanto la prima parte ovvero volume e temperatura finali.
Hai le risposte del problema?
Ho soltanto la risoluzione dell'esercizio da parte di un mio collega, la invio?
Sto rileggendo spesso quello che mi hai scritto, ma non riesco a seguirti purtroppo. Hai modo di spiegare tramite dei calcoli relativi all'esercizio? Forse visualizzando mentre leggo il messaggio di prima riesco a comprendere gli aiuti che mi stai dando
"CptKeg":
Ho soltanto la risoluzione dell'esercizio da parte di un mio collega, la invio?
Solo i risultati e solo se sei sicuro che siano corretti.
"CptKeg":
Hai modo di spiegare tramite dei calcoli relativi all'esercizio?
Ti listo meglio tutte le informazioni a disposizione:
1) condizione di equilibrio del pistone: ti da subito la pressione del gas, ovvero all'equilibrio anche la pressione finale dovrà essere uguale a quella atmosferica.
2) Parete diatermica: all'equilibrio la temperatura finale di acqua e gas dovranno essere uguali. Chiamiamo T questa temperatura
3) calore ceduto dall'acqua: $Q = m c (T_a - T)$ che è anche il calore ricevuto dal gas
4) Primo Principio: $DeltaU=n Cv (T - T_g) = Q - L$
dove Q è quello calcolato al punto precedente e $L = p_(atm) (V_f- V_i)$
5) Legge dei gas perfetti per mettere in relazione P, V, T sia all'inizio che alla fine.
Molto meglio, ho chiarito tutti i punti eccetto il quarto..
Io per il calcolo della temp di eq ho posto che il Q ass= -Qced e da li trovo la temperatura di equilibrio avendo ora capito che la Pa = Patm in equilibrio
Io per il calcolo della temp di eq ho posto che il Q ass= -Qced e da li trovo la temperatura di equilibrio avendo ora capito che la Pa = Patm in equilibrio
"CptKeg":
Io per il calcolo della temp di eq ho posto che il Q ass= -Qced e da li trovo la temperatura di equilibrio avendo ora capito che la Pa = Patm in equilibrio
Comincia postare i calcoli che fai, ma attenzione di non porre (come nel caso di soli liquidi e solidi) direttamente in relazione la variazione di temperatura del gas con il calore ceduto dall'acqua. Questo è vero se L=0, che non è il caso in questione. Puoi però trovare il volume finale del gas funzione di T e quindi calcolare L in funzione di T, per cui ...
Ti scrivo quella che ho scritto prima di sentirci qui:
$ -Q_(ced) = + Q_(ass) $
$ -Cm(T_(eq) - T_b) = nCp(T_(eq)-T_a) $
Teq $ ~= $ 350k
Mentre per il volume avevo scritto:
$ P_(atm)V_(eq)= nRT_(eq) $
$ V_(eq) = nRT_(eq)/P_(atm) $
$ -Q_(ced) = + Q_(ass) $
$ -Cm(T_(eq) - T_b) = nCp(T_(eq)-T_a) $
Teq $ ~= $ 350k
Mentre per il volume avevo scritto:
$ P_(atm)V_(eq)= nRT_(eq) $
$ V_(eq) = nRT_(eq)/P_(atm) $
OK
La seconda equazione va bene. Puoi ricavarla dal Primo Principio così:
$n C_v (T_(eq)- T_a) = m c (T_b - T_(eq)) - P_(atm)*(V_(eq) - V_a) = m c (T_b - T_(eq)) - nR(T_(eq) - T_a)$
da cui
$n (C_v + R) (T_(eq)- T_a) = m c (T_b - T_(eq))$
$n C_p (T_(eq)- T_a) = m c (T_b - T_(eq))$
oppure osservando che la trasformazione del gas può essere assimilata ad un'isobara, per cui posso considerare che il calore scambiato abbia come calore specifico $C_p$.
Il risultato esatto è
$T_(eq) = 349.22 K$
La seconda equazione va bene. Puoi ricavarla dal Primo Principio così:
$n C_v (T_(eq)- T_a) = m c (T_b - T_(eq)) - P_(atm)*(V_(eq) - V_a) = m c (T_b - T_(eq)) - nR(T_(eq) - T_a)$
da cui
$n (C_v + R) (T_(eq)- T_a) = m c (T_b - T_(eq))$
$n C_p (T_(eq)- T_a) = m c (T_b - T_(eq))$
oppure osservando che la trasformazione del gas può essere assimilata ad un'isobara, per cui posso considerare che il calore scambiato abbia come calore specifico $C_p$.
Il risultato esatto è
$T_(eq) = 349.22 K$
Se la prima parte è a posto possiamo passare al calcolo delle variazioni di entropia di acqua e gas.
Per l'acqua, essendo in pratica la temperatura quasi costante si potrebbe porre subito
$Delta S_b approx Q_b/T_b = (mc(T_(eq) - T_b))/T_(b) $
In generale ipotizzando una trasformazione quasi statica si può scrivere più correttamente
$Delta S_b = int (dQ)/T = int _(T_b)^(T_(eq)) m c (dT)/T = mc ln(T_(eq)/T_b)$
Ma in questo caso risulta:
$mc ln(T_(eq)/T_b)= mc ln(1 + (T_(eq) - T_(b))/T_b) approx (mc(T_(eq) - Tb))/T_(b) $
avendo usato lo sviluppo di $ln(1+x) approx x$ perchè x è piccolo. Riotteniamo così il risultato precedente.
Per il gas la variazione di entropia è data da note formule (https://it.wikipedia.org/wiki/Gas_ideale)
Conviene prendere la formula in P e T perchè rimane solo il calcolo del termine in T ovvero
$Delta S_a = n C_p ln (T_(eq)/T_a)$
E' interessante calcolare il totale ovvero $Delta S_a + Delta S_b$.
Cosa si può dire sul significato fisico del valore ottenuto?
Per l'acqua, essendo in pratica la temperatura quasi costante si potrebbe porre subito
$Delta S_b approx Q_b/T_b = (mc(T_(eq) - T_b))/T_(b) $
In generale ipotizzando una trasformazione quasi statica si può scrivere più correttamente
$Delta S_b = int (dQ)/T = int _(T_b)^(T_(eq)) m c (dT)/T = mc ln(T_(eq)/T_b)$
Ma in questo caso risulta:
$mc ln(T_(eq)/T_b)= mc ln(1 + (T_(eq) - T_(b))/T_b) approx (mc(T_(eq) - Tb))/T_(b) $
avendo usato lo sviluppo di $ln(1+x) approx x$ perchè x è piccolo. Riotteniamo così il risultato precedente.
Per il gas la variazione di entropia è data da note formule (https://it.wikipedia.org/wiki/Gas_ideale)
Conviene prendere la formula in P e T perchè rimane solo il calcolo del termine in T ovvero
$Delta S_a = n C_p ln (T_(eq)/T_a)$
E' interessante calcolare il totale ovvero $Delta S_a + Delta S_b$.
Cosa si può dire sul significato fisico del valore ottenuto?
Buongiorno, mi ci sono rimesso ora..
Allora nel calcolo della Vf ho un dubbio sulle unità di misura. So che voglio avere il risultato in metri cubi, ma ho
moli * kelvin/pascal, come arrivo a metri cubi?
Mentre per la seconda parte ho chiari il calcolo dell'entropia in quanto la temperatura è costante..
Non ho capito invece con quali calcoli passi da $ mcdt/T $ a quel $ ln(T_(eq)/T_b) $
E per quanti riguarda le note formule sull'entropia che mi hai linkato, me le devo imparare a memoria per l'esame? Ce ne sono anche altre?
Grazie davvero del tuo tempo!
Allora nel calcolo della Vf ho un dubbio sulle unità di misura. So che voglio avere il risultato in metri cubi, ma ho
moli * kelvin/pascal, come arrivo a metri cubi?
Mentre per la seconda parte ho chiari il calcolo dell'entropia in quanto la temperatura è costante..
Non ho capito invece con quali calcoli passi da $ mcdt/T $ a quel $ ln(T_(eq)/T_b) $
E per quanti riguarda le note formule sull'entropia che mi hai linkato, me le devo imparare a memoria per l'esame? Ce ne sono anche altre?
Grazie davvero del tuo tempo!
"CptKeg":
Allora nel calcolo della Vf ho un dubbio sulle unità di misura. So che voglio avere il risultato in metri cubi, ma ho
moli * kelvin/pascal, come arrivo a metri cubi?
V=nRT/P = moli * (m3 * Pascal /(Kelvin*moli) * Kelvin/Pascal =m3
Quindi basta prendere $R=8.314 m^3 Pa K^(−1) mol^(−1)$ vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Costante_dei_gas
"CptKeg":
Non ho capito invece con quali calcoli passi da ..
Banalmente perchè l'integrale di 1/T è ln(T).
"CptKeg":
E per quanti riguarda le note formule sull'entropia che mi hai linkato, me le devo imparare a memoria per l'esame? Ce ne sono anche altre?
Sicuramente puoi memorizzarne solo una visto che le altre due si ricavano dalla legge dei gas perfetti e ricordando che Cp - Cv =R.
Se poi ti ricordi la derivazione del calcolo a partire dal primo principio puoi anche evitare di memorizzare la formula.
Quanto ad altre formule ci metterei almeno la relazione di Mayer (Cp - Cv =R), i valori di Cp e CV per gas mono e bi-atomici, la legge che lega P e V (oppure T) per una adiabatica reversibile.
Super chiaro, ti ringrazio infinitamente!
Io comunque ho sul mio libro di testo queste formule relative all'entropia, ritieni siano da imparare per gli esercizi?
Io comunque ho sul mio libro di testo queste formule relative all'entropia, ritieni siano da imparare per gli esercizi?
Le ultime 3 si ricavano da quelle sopra e quindi è inutile studiarle.
Le prime 3 invece SI. Però delle prime 3 ti basta ricordare la prima (e le proprietà dei logaritmi).
Per ottenere la terza ad es.
$Delta S = n C_V ln(T_B/T_A) + n R ln(V_B/V_A) = n C_V ln(T_B/T_A) + n R ln(T_B/T_A * P_A/P_B) =$
$ = n C_V ln(T_B/T_A) + n R ln(T_B/T_A)+ n R ln(P_A/P_B)=n (c_V +R) ln(T_B/T_A) - n R ln(P_B/P_A)=$
$= n C_P ln(T_B/T_A) - n R ln(P_B/P_A)$
Chiaramente se pensi di impapinarti nella derivazione delle altre 2 formule è meglio che le studi tutte a memoria e poi nel caso di dubbi puoi sempre ricavarle.
Le prime 3 invece SI. Però delle prime 3 ti basta ricordare la prima (e le proprietà dei logaritmi).
Per ottenere la terza ad es.
$Delta S = n C_V ln(T_B/T_A) + n R ln(V_B/V_A) = n C_V ln(T_B/T_A) + n R ln(T_B/T_A * P_A/P_B) =$
$ = n C_V ln(T_B/T_A) + n R ln(T_B/T_A)+ n R ln(P_A/P_B)=n (c_V +R) ln(T_B/T_A) - n R ln(P_B/P_A)=$
$= n C_P ln(T_B/T_A) - n R ln(P_B/P_A)$
Chiaramente se pensi di impapinarti nella derivazione delle altre 2 formule è meglio che le studi tutte a memoria e poi nel caso di dubbi puoi sempre ricavarle.
Perfetto procedo all'impararmele, grazie!
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