Dubbi su un esercizio di dinamica dei sistemi materiali
Salve a tutti! Stavo svolgendo il seguente esercizio ma non mi torna un'equazione che ha usato per arrivare alla soluzione. Ve lo scrivo sperando che qualcuno può gentilmente aiutarmi:)
Una persona di massa $m_1$= 60Kg si trova in quiete alla sommità di una scala lunga l=4 m e inclinata di $\alpha$=$\pi$/4 rad rispetto all'orizzontale: la scala è costruita su un blocco di massa m=300Kg scorrevole senza attrito su un piano orizzontale e inizialmente è ferma. All'istante t=0 la persona comincia a scendere lungo la scala mantenendo un'accelerazione costante, di modulo $\a=1m/s^2$ relativamente alla scala. Si determini:a) l'equazione oraria del moto della persona rispetto al suolo; b) il lavoro compiuto dalla persona per percorrere tutta la scala, valutandolo sia rispetto al un sistema di riferimento solidale al suolo, sia rispetto ad un sistema solidale al blocco (si trascuri il lavoro delle forze d'attrito tra la persona e il blocco).
La soluzione:
a) si consideri un sistema di riferimento solidale al suolo, con l'asse x sul piano orizzontale e orientato nel verso di moto della scala e con l'asse y lungo la verticale passante per la posizione iniziale della persona e orientato verso l'alto. La componente lungo l'asse x della risultante delle forze esterne agenti sul sistema scala-persona è nulla, pertanto la componente lungo questa direzione della quantità di moto totale del sistema rimane costante nel tempo, cioè nulla, tale essendo inizialmente. Indicando con $dot x$ e $dot X$ le componenti x delle velocità assolute della persona e della scala si può scrivere:
$m_1$$dot x$ + m$dot X$= 0,
e derivando rispetto al tempo
$m_1$$ddot x$ + m$ddot X$=0.
Dalla relazione "accelerazione assoluta= accelerazione relativa+ accelerazione di trascinamente", si ottiene
$ddot x$ = -acos$\alpha$ + $ddot X$, che insieme all'ultima equazione scritta ci dà
$ddot X$=(($m_1$)/($m_1$+m))* a cos$\alpha$ e $ddot x$=((-$m_1$)/($m_1$+m))*a cos $\alpha$ (scusate ma non riesco a scriverle meglio-.-).
Il resto della soluzione non è importante..la cosa che non mi torna è la relazione usata per le accelerazioni relative, assolute e di trascinamento.Perchè se ha indicato con $ddot x$ l'accelerazione relativa e coon $ddot X$ l'accelerazione di trascinamento e con -acos$\alpha$ l'accelerazione assoluta non mi tornano i segni..nè mi torna se considero tutti i segni delle accelerazioni nel sistema considerato. Ho semplicemente sbagliato algebricamente oppure c'è qualcosa che non riesco a vedere? Grazie per le eventuali risposte!
Una persona di massa $m_1$= 60Kg si trova in quiete alla sommità di una scala lunga l=4 m e inclinata di $\alpha$=$\pi$/4 rad rispetto all'orizzontale: la scala è costruita su un blocco di massa m=300Kg scorrevole senza attrito su un piano orizzontale e inizialmente è ferma. All'istante t=0 la persona comincia a scendere lungo la scala mantenendo un'accelerazione costante, di modulo $\a=1m/s^2$ relativamente alla scala. Si determini:a) l'equazione oraria del moto della persona rispetto al suolo; b) il lavoro compiuto dalla persona per percorrere tutta la scala, valutandolo sia rispetto al un sistema di riferimento solidale al suolo, sia rispetto ad un sistema solidale al blocco (si trascuri il lavoro delle forze d'attrito tra la persona e il blocco).
La soluzione:
a) si consideri un sistema di riferimento solidale al suolo, con l'asse x sul piano orizzontale e orientato nel verso di moto della scala e con l'asse y lungo la verticale passante per la posizione iniziale della persona e orientato verso l'alto. La componente lungo l'asse x della risultante delle forze esterne agenti sul sistema scala-persona è nulla, pertanto la componente lungo questa direzione della quantità di moto totale del sistema rimane costante nel tempo, cioè nulla, tale essendo inizialmente. Indicando con $dot x$ e $dot X$ le componenti x delle velocità assolute della persona e della scala si può scrivere:
$m_1$$dot x$ + m$dot X$= 0,
e derivando rispetto al tempo
$m_1$$ddot x$ + m$ddot X$=0.
Dalla relazione "accelerazione assoluta= accelerazione relativa+ accelerazione di trascinamente", si ottiene
$ddot x$ = -acos$\alpha$ + $ddot X$, che insieme all'ultima equazione scritta ci dà
$ddot X$=(($m_1$)/($m_1$+m))* a cos$\alpha$ e $ddot x$=((-$m_1$)/($m_1$+m))*a cos $\alpha$ (scusate ma non riesco a scriverle meglio-.-).
Il resto della soluzione non è importante..la cosa che non mi torna è la relazione usata per le accelerazioni relative, assolute e di trascinamento.Perchè se ha indicato con $ddot x$ l'accelerazione relativa e coon $ddot X$ l'accelerazione di trascinamento e con -acos$\alpha$ l'accelerazione assoluta non mi tornano i segni..nè mi torna se considero tutti i segni delle accelerazioni nel sistema considerato. Ho semplicemente sbagliato algebricamente oppure c'è qualcosa che non riesco a vedere? Grazie per le eventuali risposte!
Risposte
Ragazzi nessuno può darmi una mano? 
Non c'è niente che non vada nei segni!
Vedo di riassumere alcuni punti.
Nella relazione [tex]{a_a} = {a_r} + {a_T}[/tex] il segno di somma + va nteso in senso algebrico (o vettoriale), cioè le grandezze indicate possono essere positive o negative, non si sa a priori come vadano le cose, lo si scoprirà dal risultato.
Per fare i calcoli è adesso necessario orientare a priori gli assi. Il criterio può essere anche casuale, di solito si preferisce scegliere un verso intuitivo. Qui si è scelto di orientare l'asse x nel verso di movimento del blocco che si sa già, per esperienza, che avverrà dalla parte opposta rispetto al verso del movimento dell'uomo che scende la scala. Ma anche se ciò non si sapesse tutto funzionerebbe ugualmente, perché è l'algebra che ci aiuta.
Allora facciamo così: fingiamo di non saperlo e scegliamo di orientare l'asse x dalla parte opposta rispetto a quella secondo la quale scende l'uomo (questa scelta è arbitraria, si potrebbe anche assumere la convenzione opposta), sia nel sistema relativo che nel sistema assoluto.
Detto ciò, per come abbiamo scelto il verso x abbiamo imposto che l'accelerazione relativa dell'uomo sia [tex]{a_{ru}} = - \left| a \right|\cos \alpha[/tex].
Poi scriviamo la relazione di invarianza della quantità di moto, sempre con l'intesa che il segno + ha significato algebrico (o meglio vettoriale): [tex]{m_u}{a_{au}} + {m_b}{a_{ab}} = 0[/tex].
Questa relazione dice semplicemente che il segno della accelerazione dell'uomo è opposto al segno dell'accelerazione del blocco, non dice da che parte andranno le due accelerazioni, questo si scoprirà alla fine dal risultato.
E infine considerando il blocco stesso come sistema relativo possiamo dire anche [tex]{a_{ab}} = {a_T}[/tex].
A questo punto mettiamo insieme le relazioni e l'algebra produrrà il risultatoche già sai.
Vedo di riassumere alcuni punti.
Nella relazione [tex]{a_a} = {a_r} + {a_T}[/tex] il segno di somma + va nteso in senso algebrico (o vettoriale), cioè le grandezze indicate possono essere positive o negative, non si sa a priori come vadano le cose, lo si scoprirà dal risultato.
Per fare i calcoli è adesso necessario orientare a priori gli assi. Il criterio può essere anche casuale, di solito si preferisce scegliere un verso intuitivo. Qui si è scelto di orientare l'asse x nel verso di movimento del blocco che si sa già, per esperienza, che avverrà dalla parte opposta rispetto al verso del movimento dell'uomo che scende la scala. Ma anche se ciò non si sapesse tutto funzionerebbe ugualmente, perché è l'algebra che ci aiuta.
Allora facciamo così: fingiamo di non saperlo e scegliamo di orientare l'asse x dalla parte opposta rispetto a quella secondo la quale scende l'uomo (questa scelta è arbitraria, si potrebbe anche assumere la convenzione opposta), sia nel sistema relativo che nel sistema assoluto.
Detto ciò, per come abbiamo scelto il verso x abbiamo imposto che l'accelerazione relativa dell'uomo sia [tex]{a_{ru}} = - \left| a \right|\cos \alpha[/tex].
Poi scriviamo la relazione di invarianza della quantità di moto, sempre con l'intesa che il segno + ha significato algebrico (o meglio vettoriale): [tex]{m_u}{a_{au}} + {m_b}{a_{ab}} = 0[/tex].
Questa relazione dice semplicemente che il segno della accelerazione dell'uomo è opposto al segno dell'accelerazione del blocco, non dice da che parte andranno le due accelerazioni, questo si scoprirà alla fine dal risultato.
E infine considerando il blocco stesso come sistema relativo possiamo dire anche [tex]{a_{ab}} = {a_T}[/tex].
A questo punto mettiamo insieme le relazioni e l'algebra produrrà il risultatoche già sai.
Grazie avevo pensato anche io fosse una convenzione però volevo avere certezza:)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo