Dubbi su equazione dilatazione lineare
Salve a tutti, è la prima volta che scrivo in questo forum 
Ho un dubbio sull'equazione: \(\displaystyle \Delta L=\lambda L_{0}\Delta T \)
In questo caso \(\displaystyle L_{0} \) è la lunghezza dell'oggetto a 0°C o una qualsiasi lunghezza iniziale?
Grazie e scusate la domanda un po' sciocca..
Ho un dubbio sull'equazione: \(\displaystyle \Delta L=\lambda L_{0}\Delta T \)
In questo caso \(\displaystyle L_{0} \) è la lunghezza dell'oggetto a 0°C o una qualsiasi lunghezza iniziale?
Grazie e scusate la domanda un po' sciocca..
Risposte
è la lunghezza alla temperatura iniziale che può essere qualsiasi 
, ...$\Delta L=\lambda L_{0}*(T_f-T_0)$, dove $T_f$ è la temperatura "finale"
, ...$\Delta L=\lambda L_{0}*(T_f-T_0)$, dove $T_f$ è la temperatura "finale"
Premesso che la legge vale per piccoli intervalli di temperatura, la risposta sta nella formula cosi' come la hai scritta!
$\DeltaT $ è la variazione di temperatura da $T_0$ a $T_1$ ($T_1-T_0$) e $L_0$ è la lunghezza alla temperatura $ T_0 $
$\DeltaT $ è la variazione di temperatura da $T_0$ a $T_1$ ($T_1-T_0$) e $L_0$ è la lunghezza alla temperatura $ T_0 $
Grazie per le risposte ma qui mi sorge un altro dubbio, se \(\displaystyle L_{0} \) può essere una qualsiasi lunghezza iniziale questo non comporterebbe che due oggetti identici alla stessa temperatura possano avere lunghezze differenti?
Mi spiego con i calcoli. Poniamo che \(\displaystyle \Delta L_{1}=\lambda L_{0}\Delta T_{0} \) e che quindi \(\displaystyle L_{1}=L_{0}(1+\lambda \Delta T_{0}) \). Ora \(\displaystyle \Delta L_{2}=\lambda L_{1}\Delta T_{1} \) che per l' equazione precedente è equivalente a \(\displaystyle \Delta L_{2}=\lambda L_{0}(1+\lambda \Delta T_{0})\Delta T_{1} \) per cui \(\displaystyle L_{2}=L_{0}(1+\lambda \Delta T_{0})(1+\lambda\Delta T_{1}) \).
Ora invece di fare due passaggi, aggiungiamo direttamente entrambe le temperature: \(\displaystyle \Delta L_{2}=\lambda L_{0}(\Delta T_{0}+\Delta T_{1}) \) ne segue che \(\displaystyle L_{2}=L_{0}+\lambda L_{0}(\Delta T_{0}+\Delta T_{1}) \) ma \(\displaystyle L_{0}+\lambda L_{0}(\Delta T_{0}+\Delta T_{1})\neq L_{0}(1+\lambda \Delta T_{0})(1+\lambda\Delta T_{1}) \) sebbene la temperatura a cui si arriva sia per ipotesi la stessa.
Il mio ragionamento è sensato?
Mi spiego con i calcoli. Poniamo che \(\displaystyle \Delta L_{1}=\lambda L_{0}\Delta T_{0} \) e che quindi \(\displaystyle L_{1}=L_{0}(1+\lambda \Delta T_{0}) \). Ora \(\displaystyle \Delta L_{2}=\lambda L_{1}\Delta T_{1} \) che per l' equazione precedente è equivalente a \(\displaystyle \Delta L_{2}=\lambda L_{0}(1+\lambda \Delta T_{0})\Delta T_{1} \) per cui \(\displaystyle L_{2}=L_{0}(1+\lambda \Delta T_{0})(1+\lambda\Delta T_{1}) \).
Ora invece di fare due passaggi, aggiungiamo direttamente entrambe le temperature: \(\displaystyle \Delta L_{2}=\lambda L_{0}(\Delta T_{0}+\Delta T_{1}) \) ne segue che \(\displaystyle L_{2}=L_{0}+\lambda L_{0}(\Delta T_{0}+\Delta T_{1}) \) ma \(\displaystyle L_{0}+\lambda L_{0}(\Delta T_{0}+\Delta T_{1})\neq L_{0}(1+\lambda \Delta T_{0})(1+\lambda\Delta T_{1}) \) sebbene la temperatura a cui si arriva sia per ipotesi la stessa.
Il mio ragionamento è sensato?
Stai facendo un po' di confusione con i $\DeltaT$ e i $\DeltaL$. Se $\DeltaT_0=T_f-T_0$ e $\DeltaT_1=T_f-T_1$ allora $\DeltaL_2=L_1+\DeltaL_2 $ e NON $\DeltaL_2=L_0+\DeltaL_2 $ come assumi.
Scusate non sono stato abbastanza chiaro. \(\displaystyle \Delta T_{0}=T_{m}-T_{0} \) dove \(\displaystyle T_{m} \) è la temperatura che si raggiunge dopo il primo riscaldamento, ma non è quella finale, infatti \(\displaystyle \Delta T_{2}=T_{f}-T_{m} \) dove \(\displaystyle T_{f} \) è la temperatura finale raggiunta dopo il secondo riscaldamento. Spero di essermi spiegato meglio 
printfede ha ragione perché la formula che usa è approssimata.
Prendiamo invece la formula esatta:
[tex]\frac{{dl}}{{dT}} = \lambda l[/tex]
Da questa si vede che [tex]\lambda[/tex] in realtà è il rapporto tra la derivata della lunghezza rispetto alla temperatura e la lunghezza stessa.
L'equazione differenziale di cui sopra ha come soluzione esatta:
[tex]l = {l_0}{e^{\lambda \left( {T - {T_0}} \right)}}[/tex]
Adesso vediamo cosa succede se per calcolare una lunghezza qualsiasi [tex]{l_2}[/tex] ci arriviamo partendo da una lunghezza iniziale [tex]{l_0}[/tex] oppure se spezziamo il calcolo passando per una lunghezza intermedia [tex]{l_1}[/tex].
Si ha:
[tex]{l_2} = {l_1}{e^{\lambda \left( {{T_2} - {T_1}} \right)}} = \underbrace {{l_0}{e^{\lambda \left( {{T_1} - {T_0}} \right)}}}_{{l_1}}{e^{\lambda \left( {{T_2} - {T_1}} \right)}} = {l_0}{e^{\lambda \left( {{T_1} - {T_0}} \right) + \lambda \left( {{T_2} - {T_1}} \right)}} = {l_0}{e^{\lambda \left( {{T_2} - {T_0}} \right)}}[/tex]
da cui si vede subito che anche spezzando l'intervallo di calcolo in due intervalli più piccoli si giunge al medesimo risultato.
Possiamo pertanto dire che la formula [tex]\Delta l \approx \lambda l\Delta T[/tex] è approssimata e vale per piccoli incrementi di temperatura, poiché si utilizza un rapporto incrementale come se fosse una derivata.
Prendiamo invece la formula esatta:
[tex]\frac{{dl}}{{dT}} = \lambda l[/tex]
Da questa si vede che [tex]\lambda[/tex] in realtà è il rapporto tra la derivata della lunghezza rispetto alla temperatura e la lunghezza stessa.
L'equazione differenziale di cui sopra ha come soluzione esatta:
[tex]l = {l_0}{e^{\lambda \left( {T - {T_0}} \right)}}[/tex]
Adesso vediamo cosa succede se per calcolare una lunghezza qualsiasi [tex]{l_2}[/tex] ci arriviamo partendo da una lunghezza iniziale [tex]{l_0}[/tex] oppure se spezziamo il calcolo passando per una lunghezza intermedia [tex]{l_1}[/tex].
Si ha:
[tex]{l_2} = {l_1}{e^{\lambda \left( {{T_2} - {T_1}} \right)}} = \underbrace {{l_0}{e^{\lambda \left( {{T_1} - {T_0}} \right)}}}_{{l_1}}{e^{\lambda \left( {{T_2} - {T_1}} \right)}} = {l_0}{e^{\lambda \left( {{T_1} - {T_0}} \right) + \lambda \left( {{T_2} - {T_1}} \right)}} = {l_0}{e^{\lambda \left( {{T_2} - {T_0}} \right)}}[/tex]
da cui si vede subito che anche spezzando l'intervallo di calcolo in due intervalli più piccoli si giunge al medesimo risultato.
Possiamo pertanto dire che la formula [tex]\Delta l \approx \lambda l\Delta T[/tex] è approssimata e vale per piccoli incrementi di temperatura, poiché si utilizza un rapporto incrementale come se fosse una derivata.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo