Dubbi notazione Levi-Civita

[nato_pigro1]

$f(\vec x)= \vec a*(\vec b ^^^ \vec x)$

calcolare il gradiente di $f(\vec x)$

arrivo a dire che $(del_i)f(\vec x)=(del_i)(\epsilon_(ijk)*a_i*b_j*x_k)$

ma la soluzione dovrebbe essere $(\epsilon_(jik)*a_j*b_k)$

quale passaggio mi manca?


aggiungo altro caso: perchè se $v_i=b_i*a_j*x_j-a_j*b_j*x_i$ si ha che $(del_i)(v_i)=(\vec a)*(\vec b) -3(\vec a)*(\vec b)$?

[rbtqwt]

Uso la notazione di Einstein sottintendendo la somma ripetuta su indici uguali in alto e in basso, se questi sono ripetuti due volte.
Per il secondo caso hai, supposto che $\vec v = \vec b(\vec a \cdot \vec x) - (\vec a \cdot \vec b) \vec x$, dunque $v^i = b^i a_j x^j - a^j b_j x^i$,
$\partial_i v^i = \partial_i(b^i a_j x^j - a^j b_j x^i) =\partial_i( b^i a_j x^j) - partial_i(a^j b_j \ x^i) = b^i a_j \partial_i x^j - a^j b_j \partial_i x^i = b^i a_j \delta_i^j - a^j b_j \delta_i^i = b^i a_i - 3 a^j b_j$
ove ho usato $\partial_i x^j : = \frac{\partial x^j}{\partial x^i} = \delta_i^j$ e $\delta_i^i = \sum_{i=1}^{3} 1 = 3$. Dunque $\partial_i v^i = \vec a \cdot \vec b - 3 \vec a \cdot \vec b$.

Il primo caso è simile

[nato_pigro1]

due cose:

_c'è differenza tra gli indici messi in masso e quelli messi in alto?
_devo rinunciare o c'è un qualche modo per capire quando un indice indica la sommatoria e quando indica solo una componente?

[rbtqwt]

In $\mathbb R^n$ con il prodotto scalare standard, non c'è differenza sostanziale fra indici in alto o in basso, ossia $v^i = v_i$ (scrivo sotto una nota relativa a questo); si usa comunque la distinzione per poter utilizzare la notazione di Einstein. Per un vettore $\vec v$, i $v^i$ indicano le componenti del vettore (scelta la base); gli indici indicano anche la presenza di una sommatoria quando questi sono ripetuti (a coppie, uno in alto ed uno in basso).

Qualche piccolo dettaglio in più sugli indici:

Solitamente, se si considera uno spazio vettoriale $V$ finito dimensionale, dato un $\vec v \in V$, scelta una base di $V$ (sia questa $(\vec e_i)_{i=1}^n$), si indicano con $v^i$ le componenti di $v$ rispetto alla base $e_i$, ossia $\vec v = v^i \vec e_i$. Se su $V$ è inoltre definito un prodotto scalare (come ad esempio in $\mathbb R^n$), dato da $g : V \times V \to \mathbb R$, dato un vettore $\vec v \in V$ si può considerare l'applicazione $g(v,\cdot) : V \to \mathbb R$ tale che $w \mapsto g(v,w)$. Indicata questa applicazione con $\omega$, risulta $\omega \in V^* = Hom(V,\mathbb R)$. I simboli $v^i$ sono dunque definiti come le componenti di $\omega$ rispetto alla base $\theta^i$ di $V^*$, duale della base $(\vec e_i)$ (ossia tale che $\theta^i(\vec e_j) = \delta_j^i$). In particolare se $\vec v \in V$ si ha $\theta^i(\vec v) = \theta^i(v^j \vec e_j) = v^j \theta^i(\vec e_j) = v^j \delta_j^i = v^i$.

Posto $g_{ij} : = g(\vec e_i,\vec e_j)$, si vede che per $\vec v,\vec w \in V$ si ha $g(\vec v,\vec w) = v^i w^j g(\vec e_i,\vec e_j) = v^i v^j g_{ij}$. Inoltre $g_{ij} = g_{ji}$.
Ora, se $\vec v = v^i \vec e_i$, consideriamo $\omega = v_i \theta^i$, tale che $\omega = g(\vec v,\cdot)$. Allora, se $\vec a \in V$, si ha $\omega(\vec a) = g(\vec v,\vec a) = v^i g_{ij} a^j = v^i g_{ij} \theta^j(\vec a)$. Dunque, le componenti $v_i$ di $\omega$ risultano $v_i = v^j g_{ij}$.

Riassumendo: se $\vec v \in V$ è tale che $\vec v = v^i \vec e_i$, allora $g(\vec v,\cdot) = v_j \theta^j(\cdot)$, ove $v_j = g_{ij} v^i$. Solitamente questo $g(\vec v,\cdot)$, in Fisica, viene sempre indicato col simbolo $v$ ed identificato con $\vec v$ (omettendo il simbolo di vettore, in modo da aversi $v = v^i e_i = v_j \theta^j$).

Nel caso particolare di $\mathbb R^n$ si ha $g(\vec e_i,\vec e_j) = \delta_{ij}$, dunque risulta $v_i = g_{ij} v^j = \delta_{ij} v^j$. Dunque $v_i$ e $v^i$, come elementi di $\mathbb R$, risultano uguali.

Spero di non averti confuso le idee

[nato_pigro1]

perchè succede questo?

[tex]\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{ijk}=6[/tex]

[rbtqwt]

Quella relazione la puoi ottenere, ad esempio, tenendo conto di questa relazione:
$\varepsilon_{ijk}\varepsilon^{imn} = \delta_j^m \delta_k^n - \delta_j^n \delta_k^m$
Ponendo $m = j$ e $n = k$ hai
$\varepsilon_{ijk}\varepsilon^{ijk} = \delta_j^j \delta_k^k - \delta_j^k \delta_k^j = 3 \cdot 3 - \delta_k^k = 3 \cdot 3 -3 = 6$