Dubbi, momento d'inerzia e corpi rigidi

[Mimmo931]

Una barra di massa m e lunghezza L = 1 m giace ferma su un piano orizzontale senza attrito. La barra viene colpita ad un estremo da una sfera puntiforme di massa m che si muove perpendicolarmente alla barra con velocità v0 = 5 m/s. Dopo l’urto, la pallina si incolla alla barra.
Quanto dista il centro di massa del sistema dal centro della barra ?
Dopo la collisione, qual è la velocità angolare del sistema rispetto al c.m. ?
Di quanto si sposta il c. m. durante una intera rotazione ?

Salve, ho alcuni dubbi, ma come si calcola il centro di massa di un corpo costituito da un punto materiale e da un corpo rigido, poi quando devo applicare la conservazione della quantità di moto tra un corpo rigido e un oggetto puntiforme uso sempre le masse normalmente o devo mettere i momenti d'inerzia nell'equazione?
Nell'applicare la conservazione del momento angolare nel problema come momento d'inerzia del sistema rispetto al centro di massa nella soluzione c'è scritto $(mL^2/12 + mL^2/16 + mL^2/16)$ ma perchè ha scritto due volte $mL^2/16$? C'è una solo sfera puntiforme non due

[anonymous_0b37e9]

"Mimmo93":
...quando devo applicare la conservazione della quantità di moto tra un corpo rigido e un oggetto puntiforme...

Quando si calcola la quantità di moto totale del sistema, il momento d'inerzia non ha alcuna importanza. Nel caso in esame: $[mv_0=2mv_(cm)] rarr [v_(cm)=v_0/2]$.

"Mimmo93":
Nell'applicare la conservazione del momento angolare...

Il centro di massa del sistema si trova a distanza $[L/4]$ dall'estremo della sbarra dove si incolla la pallina. Quando conservi il momento angolare, per comodità, rispetto al centro di massa, si deve determinare il momento d'inerzia del sistema rispetto al medesimo, sommando quello dell'asta, calcolato mediante il teorema del trasporto, $[1/12mL^2+1/16mL^2]$, e quello della pallina, $[1/16mL^2]$.

[Mimmo931]

Ah ok ha applicato Huygens-Steiner, ma svolgendolo con la conservazione della quantità di moto io mi trovo la velocità finale del centro di massa, giusto? Poi dividendo per il raggio non dovrei ottenere la velocità angolare del centro di massa ? ma non mi trovo

[anonymous_0b37e9]

"Mimmo93":
...dividendo per il raggio non dovrei ottenere...

Assolutamente no, sarebbe un grave errore concettuale. Se posso darti un consiglio, dedicherei un po' di tempo alla teoria. La velocità angolare si determina conservando il momento angolare:

$[1/4mv_0L=5/24mL^2\omega] rarr [\omega=6/5v_0/L]$

[Mimmo931]

a perchè per farlo dovrei avere la velocità tangenziale e non quella del centro di massa, giusto?

[anonymous_0b37e9]

Il sistema, dopo l'urto, si muove di moto rototraslatorio. Tuttavia, se il moto è piano, l'atto di moto istantaneo è rotatorio. Insomma, esiste un punto mobile, chiamato centro di istantanea rotazione, rispetto al quale la distribuzione delle velocità è uguale a quella che si avrebbe se il sistema ruotasse rispetto ad esso considerato fisso (si tratta di un concetto che si affronta in meccanica razionale). Ti basti sapere che la velocità del centro di massa e la velocità angolare sono indipendenti (se la pallina avesse urtato la barra nel suo centro, la velocità angolare dopo l'urto sarebbe stata nulla, la velocità del centro di massa uguale a quelle del caso in esame) e che, negli esercizi più complessi, devi avere una certa confidenza con la formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi.

[Mimmo931]

ok grazie per le risposte Sergeant Elias, un'ultima cosa il centro di massa di un corpo costituito da un punto materiale e da un corpo rigido è dato da \(1/M \int x\ \text{dm} \) e in questo caso avendo x lo portiamo fuori dal segno dell'integrale scrivendo $1/M x m$ ?

[anonymous_0b37e9]

Non è necessario scomodare gli integrali. In presenza di $N$ corpi non puntiformi, le coordinate del centro di massa del sistema possono essere calcolate come se si fosse in presenza di $N$ punti materiali aventi la stessa massa e posizionati nei loro centri di massa. Nel caso in cui siano presenti anche corpi puntiformi, questa semplificazione nemmeno è necessaria. Nel caso in esame, è come avere un punto materiale nel centro della barra e un punto materiale in un suo estremo aventi la stessa massa.