Dubbi esercizio con materiale diamagnetico

[Sectioaurea]

Salve a tutti, non riesco a capire e quindi risolvere questo esercizio.
"Un cilindro percorso da corrente di raggio $R1$ è contenuto in una guaina di raggio $ R2 $ contenente un materiale diamagnetico. Calcolare il campo $ H$ , $B$, $M$ al variare del raggio."

Ora, all'interno del cilindro di raggio $R1$ applico la legge di Ampere. Il professore però ci definì B come $ B_{\varphi} = \alpha r $. Scusate l'ignoranza ma cosa significa questo? Cos'è $\alpha$ ?

Qualcuno mi saprebbe spiegare cosa succede alla corrente di induzione con il variare del raggio? Perché non mi è chiaro. Grazie a chi risponderà!!

[RenzoDF]

Forse questo vecchio 3D potrebbe esserti utile

http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=19&t=149546

[Sectioaurea]

"RenzoDF":Forse questo vecchio 3D potrebbe esserti utile

http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=19&t=149546

Si avevo trovata questa domanda e mi ha chiarito alcune cose Il problema è quando devo spiegare il comportamento della corrente di conduzione nei vari casi. Ad esempio io nei miei appunti ho che $ I= J R^{2} - J_{s} 2 \pi R $ fuori la guaina. Perché??

[RenzoDF]

"Fra27":... Il problema è quando devo spiegare il comportamento della corrente di conduzione nei vari casi.

Come ben sai la corrente di conduzione andrà (come sempre) a determinare il campo magnetizzante H, mentre la corrente totale, comprensiva del contributo delle densità di correnti amperiane (volumetriche e superficiali) associate alla magnetizzazione M del mezzo, andranno invece a determinare il campo magnetico B.

"Fra27":... Ad esempio io nei miei appunti ho che $ I= J R^{2} - J_{s} 2 \pi R $ fuori la guaina.

Cercando di indovinare (visto che non lo specifichi), supponendo: che il generico raggio $r$ del primo post sia diventato "grande" e corrisponda ora al nuovo $R$, che tu abbia perso per strada una famosa costante e che il "fuori" stia per il "dentro" , ... direi che quella relazione sia errata.

"Fra27":... all'interno del cilindro di raggio $R1$ applico la legge di Ampere. Il professore però ci definì B come $ B_{\varphi} = \alpha r $. Scusate l'ignoranza ma cosa significa questo? Cos'è $\alpha$ ?

Semplicemente la costante di proporzionalità fra corrente e campo magnetico B in quanto, come di sicuro ti avranno spiegato, internamente ad un conduttore, ipotizzando una densità di corrente costante, il campo risulta funzione lineare del raggio.

BTW Come sempre sarei curioso di vedere il testo in forma originale; potresti postarne un'immagine?

[Sectioaurea]

"RenzoDF": BTW Come sempre sarei curioso di vedere il testo in forma originale; potresti postarne un'immagine?

Non è un esercizio vero e proprio. Mi spiego meglio, il professore a lezione ci ha proposto a voce questo problema e "spiegato" (a parole sue incomprensibili) la risoluzione o comunque il ragionamento.

"RenzoDF": Cercando di indovinare (visto che non lo specifichi), supponendo: che il generico raggio $r$ del primo post sia diventato "grande" e corrisponda ora al nuovo $R$, che tu abbia perso per strada una famosa costante e che il "fuori" stia per il "dentro" , ... direi che quella relazione sia errata.

Io durante la sua spiegazione ho cercato di prendere più appunti possibili quindi credo che sia stato un errore mio o del professore l'utilizzo di $ R $ maiuscola. Allora secondo te cosa dovrebbe indicare quella relazione?

"RenzoDF": Semplicemente la costante di proporzionalità fra corrente e campo magnetico B in quanto, come di sicuro ti avranno spiegato, internamente ad un conduttore, ipotizzando una densità di corrente costante, il campo risulta funzione lineare del raggio.

Ho capito, credevo ci fosse dell'altro

[RenzoDF]

"Fra27": ... Allora secondo te cosa dovrebbe indicare quella relazione?

Direi che per la circuitazione di $\vec B$ dentro la guaina, per un generico raggio $R_1
$\nabla \times \vec M= \frac{1}{r}\frac{\partial (rM_{\phi})}{\partial r}\hat z=0$

dovrai tenere conto della sola densità di corrente di corrente di magnetizzazione superficiale interna

$\vec{J}_{ms}=\vec{M}\times \hat{n} $

e quindi, scalarmente, dentro la guaina

$ I= J \piR_1^{2} - J_{ms} 2 \pi R_1 $

mentre, fuori la guaina, ovvero per $r>R_2$ dovrà essere considerato anche il contributo della corrente amperiana sulla superficie cilindrica esterna di raggio $R_2$.

[Sectioaurea]

Ok dovrei aver capito , grazie

Quindi l'andamento della corrente $ J_{ms} $ tra il cilindro di raggio $R1$ e la guaina è uscente o entrante? e perché?

[RenzoDF]

Lascio a te scoprire la concordanza o discordanza di verso fra $\vec J$ e $\vec J_{ms}$ ; visto che le "formule" le hai, sarà semplice!

[Sectioaurea]

"RenzoDF":Lascio a te scoprire la concordanza o discordanza di verso fra $\vec J$ e $\vec J_{ms}$ ; visto che le "formule" le hai, sarà semplice!

Scusa la stupidissima domanda, ma la differenza tra $\vec J$ e $\vec J_{ms}$ qual è?
La seconda è presente solo sulla superficie di separazione tra due regioni, mentre l'altra è presente all'interno del cilindro?

[RenzoDF]

"Fra27":... Scusa la stupidissima domanda, ma la differenza tra $\vec J$ e $\vec J_{ms}$ qual è?
La seconda è presente solo sulla superficie di separazione tra due regioni, mentre l'altra è presente all'interno del cilindro?

Beh, a dire il vero questa domanda mi stupisce molto e mi porta a consigliarti di ristudiare per bene l'argomento, ad ogni modo, rispondendo alla tua domanda, la densità $\vec J_{ms}$ sarà presente non solo sulla superficie di separazione conduttore-guaina, ma anche sulla superficie guaina-ambiente esterno.

Ti ricordo che in magnetostatica dobbiamo distinguere fra la densità di corrente volumetrica di conduzione $\vec J$ (controllata e imposta dall'ambiente esterno al conduttore) da quella non controllabile di magnetizzazione (amperiana), che può essere a sua volta considerata composta da una densità di corrente di magnetizzazione volumetrica $\vec J_{mv}=\nabla \times \vec M$ e da una densità di corrente superficiale $\vec J_{ms}=\vec M \times \hat n$, dove $\hat n$ rappresenta la normale alla superficie (orientata dall'interno all'esterno della guaina) e il vettore magnetizzazione è definito come $\vec M=\chi_m \vec H$.

Come già detto, nel tuo caso particolare, dovrai considerare solo $\vec J$ e $\vec J_{ms}$ in quanto $\vec J_{mv}$ risulta nulla dentro la guaina (essendo M inversamente proporzionale a r); entrando comunque nel merito numerico, visto che la guaina diamagnetica presenterà suscettività magnetica \( |\chi_m|\ll 1 \), mi chiedo che senso abbia il problema, visto che dovremo in questo caso considerare anche il comportamento magnetico del conduttore e non solo quello della guaina.

[Sectioaurea]

"RenzoDF":..

Ti ricordo che in magnetostatica dobbiamo distinguere fra la densità di corrente volumetrica di conduzione $\vec J$ (controllata e imposta dall'ambiente esterno al conduttore) da quella non controllabile di magnetizzazione (amperiana), che può essere a sua volta considerata composta da una densità di corrente di magnetizzazione volumetrica $\vec J_{mv}=\nabla \times \vec M$ e da una densità di corrente superficiale $\vec J_{ms}=\vec M \times \hat n$, dove $\hat n$ rappresenta la normale alla superficie (orientata dall'interno all'esterno della guaina) e il vettore magnetizzazione è definito come $\vec M=\chi_m \vec H$. .....

Per dei problemi ho dovuto sospendere lo studio, ma ora ho ricominciato finalmente! Grazie per la spiegazione , ora le cose mi sono moolto più chiare
Ho trovato un esercizio che è molto simile a quello che ho proposto qui ed è il seguente:



L'unica differenza è la presenza del conduttore esterno. In questo caso il campo $ B $ varia a causa della presenza del materiale diamagnetico o no? Secondo me no, in più la magnetizzazione $M$ dovrebbe essere nulla (?).

Per quanto riguarda il potenziale vettore $ A$ cosa posso dire? So che $ \vec {B}=\nabla \times \vec A $ , dovrei vedere le proprietà in base alle variazioni del campo $B$?

[Sectioaurea]

Nessuno può aiutarmi??