Doppio piano inclinato con attrito

[Derkel]

in questo esercizio riesco a calcolare il periodo.
per quando riguarda l'altezza, riesco a calcolarla tramite velocità della massa alla base dei piani e formule inverse del moto uniformemente accelerato. Non capisco perchè usando la conservazione dell'energia non esce fuori lo stesso risultato.

(base piani) (punto in cui si ferma)
Ep1 + Ec1 = Ep2 + Ec2 + Wattrito

Ep1 é 0 alla base
Ec = mgh1 -mg cotan(30) h1 u

Ep2 = mgh2
Ec2 = 0 perché si ferma
Wattrito = mg cotan(30) h2 u

risulta h2 = h1(1 - cot(30))/(1 + cot(30))

cosa sbaglio?

[mgrau]

Intanto, benvenuto/a nel forum.
Poi, si fa fatica a leggere. Metti le formule fra segni di dollaro e viene meglio.
Poi, metti i calcoli completi, nei due modi, e i risultati attesi, se non è difficile capire

[Derkel]

Grazie.
I risultati attesi sono quelli nella foto del problema.

Conservazione energia dall'inizio del piano, fino alla base a cui aggiungo il lavoro dell'attrito:
$ Ep1 + Ec1 = Ep2 + Ec2 + Wat $

$Ep$ - energia potenziale
$Ec$ - energia cinetica
$Wat$ - lavoro attrito

$Ec1$ é 0 partendo da fermo e $Ep2$ é 0 alla base

$Ep1 = m*g*h1$
$Wat= m*g* cot(30)* h1* u$ perché il percorso in cui agisce l'attrito è pari a $ (h1)/sin(30) $

quindi:
$ Ec2 = m*g*h1 -m*g* cot(30)* h1* u $

In salita invece:
Conservazione energia dalla base del piano, fino all'altezza in cui si ferma a cui aggiungo il lavoro dell'attrito:
$ Ep1 + Ec1 = Ep2 + Ec2 + Wat $

$Ep1$ é 0 partendo dalla base e $Ec2$ é 0 dato che il corpo si ferma

$Ep1 = m*g*h2$
$Wat= m*g* cot(30)* h2* u$ perché il percorso in cui agisce l'attrito è pari a $ (h2)/sin(30) $

quindi:
$ Ec1 = m*g*h2 + m*g* cot(30)* h2* u $

Unendo le due formule risulta:

$ m*g*h1 -m*g* cot(30)* h1* u = m*g*h2 + m*g* cot(30)* h2* u $

Semplifico $m*g$ metto in evidenza $h1$ e $h2$ e porto il membro che moltiplica $h2$ dall'altra parte.
il risultato dovrebbe essere:
$ h2 = h1(1 - cot(30))/(1 + cot(30)) $

Spero di non aver scritto male qualcosa.
Questo procedimento dovrebbe essere giusto?

[BayMax1]

Ciao @Derkel e, dato che è il tuo primo messaggio, benvenuto sul forum ! E ciao anche @mgrau, naturalmente !
Scusate se mi intrometto nel thread, ma siamo sicuri che il secondo risultato sia esatto ? Io ho provato a risolvere il problema nei due modi descritti da @Derkel, ma, in entrambi i casi, giungo a $h_2=0.79m$. Sicuramente sto sbagliando io qualcosa, qualcun altro si è cimentato nei calcoli ?
Ad ogni modo, nella formula finale scritta da @Deker, mi pare manchi il coefficiente d'attrito sia al numeratore che al denominatore. Dovrebbe essere: $h_2=(h_1(1-cot(30°)mu))/(1+cot(30°)mu)$; dopotutto l'altezza finale deve dipendere in qualche maniera da $mu$.

[Derkel]

Ciao, non so dove sia finita la mia risposta in cui ho spiegato tutti i passaggi. Ma appunto il risultato che mi esce usando la conservazione è esattamente quello di @BayMax. Credo, però, di aver fatto un errore precedentemente studiando le forze, ovvero sommando forza peso e forza attrito e ricavando quindi l'accelerazione totale. Per qualche ragione, quando ieri ho seguito questa strada mi è uscito lo stesso risultato del problema. Ora rifacendo i calcoli mi esce anche così $h2=0.79m$. Devono aver omesso h1 nel calcolo di h2. infatti così facendo: $h2=(1−cot(30°)*μ) / (1+cot(30°)*μ) = 0.52m$