Doppio piano inclinato
Un punto materiale di massa m= 200g si trova all'istante t=0 ai piedi di un piano inclinato con velocità iniziale = 1m/s e diretta verso la sommità del piano inclinato. All'inizio l'inclinazione del piano rispetto all'orizzontale è di 15°. Dopo un dislivello di h1=50 cm l'inclinazione cambia e diventa 30°. Tra il punto materiale ed il piano inclinato vi è un attrito radente statico pari a 0,4 ed un attimo dinamico pari a 0,2. Calcolare:
1) l'altezza massima a cui giunge il punto materiale
2) se esso riparte verso il basso dopo essersi fermato
3) il totale dell'energia persa per attrito durante il suo moto sul piano inclinato (salita+eventuale discesa)
Ho sommato la componente della forza peso parallela al piano inclinato alla forza di attrito (dirette in senso opposto al moto verso l'alto) ed ho trovato una decelerazione pari a 4,4 m/s2 mentre il primo tratto di piano inclinato è 2,5 m ; con questi valori il corpo si dovrebbe fermare prima di arrivare al secondo tratto, non penso sia corretto, dove ho sbagliato?
1) l'altezza massima a cui giunge il punto materiale
2) se esso riparte verso il basso dopo essersi fermato
3) il totale dell'energia persa per attrito durante il suo moto sul piano inclinato (salita+eventuale discesa)
Ho sommato la componente della forza peso parallela al piano inclinato alla forza di attrito (dirette in senso opposto al moto verso l'alto) ed ho trovato una decelerazione pari a 4,4 m/s2 mentre il primo tratto di piano inclinato è 2,5 m ; con questi valori il corpo si dovrebbe fermare prima di arrivare al secondo tratto, non penso sia corretto, dove ho sbagliato?
Risposte
Sei sicuro che la velocità iniziale sia di 1 m/s
..così dice la traccia......!
Ho provato anch'io in modo un po' diverso da te, ma trovo lo stesso tipo di risultato. A che altezza si fermerebbe secondo i tuoi conti? Secondo me a 2.9 cm, dopo aver percorso 11 cm sul piano inclinato.
Anche a me viene 11cm sul piano inclinato
Allora probabilmente non stiamo sbagliando ... e per gli altri due punti?
per il secondo punto ho trovato ho trovato la componente della forza peso parallela al piano e l'ho confrontata con la forza di attrito statico e poichè quest'ultima è più grande della prima, il corpo dovrebbe restare fermo. Per il terzo punto ho calcolato l'energia cinetica iniziale e l'ho confrontata con l'energia potenziale, la differenza fornisce l'energia dispersa, cosa te ne pare? grazie.
A me sembra che si potesse fare anche in questo modo ...
Ho ragionato in termini di lavoro e di energia, e trovo i tuoi stessi risultati ...
1) Supposto che il tratto inclinato di 15° sia illimitato, ho provato a calcolare fino a che altezza salirebbe il corpo: se questa risulta minore di $h_1$, allora il corpo non arriva al piano con inclinazione diversa.
L'energia nel punto finale $E_f$ in cui arriverebbe è solo potenziale gravitazionale e ha espressione $U=m*g*h_x$, dove $h_x=x*sen(alpha)$, indicata con $x$ la distanza percorsa sul piano.
L'energia iniziale $E_i$ è solo cinetica e ha espressione $E_c=1/2*m*v^2$.
Il modulo del lavoro fatto dalla forza d'attrito è $L=F_a*x=mu_d*N*x=mu_d*m*g*cos(alpha)*x$.
La relazione fra energie iniziale, finale e lavoro della forza d'attrito è che $E_f=E_i-L$, $U=E_c-L$, cioè $m*g*x*sen(alpha)=1/2*m*v^2-mu_d*m*g*cos(alpha)*x$.
Da questa si ricava
$m*g*x*sen(alpha)+mu_d*m*g*cos(alpha)*x=1/2*m*v^2$,
$g*x(sen(alpha)+mu_d*cos(alpha))=1/2*v^2$,
$x=v^2/(2*g*(sen(alpha)+mu_d*cos(alpha)))$
e infine
$h_x=x*sen(alpha)=v^2/(2*g*(sen(alpha)+mu_d*cos(alpha)))*sen(alpha)=1^2/(2*9.8*(sen(15°)+0.2*cos(15°)))*sen(15°)~=0.029 \text( m)~=2.9 \text( cm)$.
$h_x
2) Per stabilire se il corpo riparte verso il basso dopo essersi fermato, basta confrontare la componente del peso parallela al piano $P_\text(//) = m*g*sen(alpha)$ con la forza d'attrito di distacco $F'_a=mu_s*N=mu_s*m*g*cos(alpha)$.
Ora $P_\text(//)/(F'_a)=(m*g*sen(alpha))/(mu_s*m*g*cos(alpha))=(sen(alpha))/(mu_s*cos(alpha))=(sen(15°))/(0.4*cos(15°))~= 0.70$.
La componente del peso parallela al piano è minore di quella massima fornita dall'attrito e quindi il punto, dopo essersi fermato, non riparte.
3) L'energia persa per attrito è la differenza tra energia finale e iniziale:
$Delta E=E_f-E_i=-L=-mu_d*m*g*cos(alpha)*x=-mu_d*m*cos(alpha)*v^2/(2*(sen(alpha)+mu_d*cos(alpha)))~=-0.043\text( J)$.
Ho ragionato in termini di lavoro e di energia, e trovo i tuoi stessi risultati ...
1) Supposto che il tratto inclinato di 15° sia illimitato, ho provato a calcolare fino a che altezza salirebbe il corpo: se questa risulta minore di $h_1$, allora il corpo non arriva al piano con inclinazione diversa.
L'energia nel punto finale $E_f$ in cui arriverebbe è solo potenziale gravitazionale e ha espressione $U=m*g*h_x$, dove $h_x=x*sen(alpha)$, indicata con $x$ la distanza percorsa sul piano.
L'energia iniziale $E_i$ è solo cinetica e ha espressione $E_c=1/2*m*v^2$.
Il modulo del lavoro fatto dalla forza d'attrito è $L=F_a*x=mu_d*N*x=mu_d*m*g*cos(alpha)*x$.
La relazione fra energie iniziale, finale e lavoro della forza d'attrito è che $E_f=E_i-L$, $U=E_c-L$, cioè $m*g*x*sen(alpha)=1/2*m*v^2-mu_d*m*g*cos(alpha)*x$.
Da questa si ricava
$m*g*x*sen(alpha)+mu_d*m*g*cos(alpha)*x=1/2*m*v^2$,
$g*x(sen(alpha)+mu_d*cos(alpha))=1/2*v^2$,
$x=v^2/(2*g*(sen(alpha)+mu_d*cos(alpha)))$
e infine
$h_x=x*sen(alpha)=v^2/(2*g*(sen(alpha)+mu_d*cos(alpha)))*sen(alpha)=1^2/(2*9.8*(sen(15°)+0.2*cos(15°)))*sen(15°)~=0.029 \text( m)~=2.9 \text( cm)$.
$h_x
2) Per stabilire se il corpo riparte verso il basso dopo essersi fermato, basta confrontare la componente del peso parallela al piano $P_\text(//) = m*g*sen(alpha)$ con la forza d'attrito di distacco $F'_a=mu_s*N=mu_s*m*g*cos(alpha)$.
Ora $P_\text(//)/(F'_a)=(m*g*sen(alpha))/(mu_s*m*g*cos(alpha))=(sen(alpha))/(mu_s*cos(alpha))=(sen(15°))/(0.4*cos(15°))~= 0.70$.
La componente del peso parallela al piano è minore di quella massima fornita dall'attrito e quindi il punto, dopo essersi fermato, non riparte.
3) L'energia persa per attrito è la differenza tra energia finale e iniziale:
$Delta E=E_f-E_i=-L=-mu_d*m*g*cos(alpha)*x=-mu_d*m*cos(alpha)*v^2/(2*(sen(alpha)+mu_d*cos(alpha)))~=-0.043\text( J)$.
Si anch'io sono giunto allo stesso risultato.
Infatti è l'unica soluzione possibile, perchè anche se si suppone che il corpo con quella velocità iniziale supera il primo piano inclinato, quello con $\alpha=15°$ si ottiene una velocità finale complessa che credo non abbia alcun significato fisico almeno in questo contesto.
Infatti è l'unica soluzione possibile, perchè anche se si suppone che il corpo con quella velocità iniziale supera il primo piano inclinato, quello con $\alpha=15°$ si ottiene una velocità finale complessa che credo non abbia alcun significato fisico almeno in questo contesto.
Ciao, percaso il piano inclinato doppio è del tipo quello dell'esercizio 2:
http://corsiadistanza.polito.it/corsi/p ... +soluz.pdf
?
http://corsiadistanza.polito.it/corsi/p ... +soluz.pdf
?
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