Domanda teorica lagrangiana
Salve ho questo dubbio da tempo per lo più teorico, perchè la lagrangiana dipende dalle coordinate e dalle velocità, ma non dalle accelerazioni? Io pensavo al fatto che la meccanica si basa su un principio (meccanicismo) per cui conoscendo la posizione e la velocità di un corpo ad un dato istante allora è possibile determinare il suo moto, quindi la lagrangiana potrebbe essere una formalizzazione di questo principio. Vi ringrazio anticipatamente
Risposte
La lagrangiana dipende solamente dalle $q$ e $\dot q$, non contiene derivate di ordine superiore come $ \ddotq$ (ovvero l'accelerazione) poiché lo stato meccanico di un sistema è interamente determinato dalle sue coordinate generalizzate ($q$) e le sue velocità ($\dot q$), e con queste si determina univocamente il valore delle accelerazioni $ \ddotq$
Spero che ti sia stato d'aiuto!
Spero che ti sia stato d'aiuto!
in sostanza le equazioni di eulero lagrange sono del secondo ordine e quindi mi bastano solo due condizioni per risolverle e quindi determinare il moto, è così?
Ti cito questo passo del Landau che lo spiega molto bene :
"La conoscenza delle sole coordinate generalizzate non è sufficiente per determinare lo "stato meccanico" di un sistema ad un istante dato, non permette cioè di prevedere la posizione del sistema negli istanti successivi. Se vengono dati infatti solo valori delle coordinate, il sistema può avere velocità arbitrarie, e a seconda dei differenti valori di queste, la posizione del sistema in un istante successivo può variare.
Se invece tutte le coordinate e le velocità sono date nello stesso istante, allora, come dimostra l'esperienza, è possibile determinare interamente lo stato del sistema e, in linea di massima, prendere il moto futuro.
Dal punto di vista matematico, ciò significa che dando in un certo istante tutte le $q$ e le $\dot q$, si definisce univocamente anche il valore delle accelerazioni $\ddot q$."
Per questo motivo la sola conoscenza delle velocità e delle posizioni determina univocamente il sistema, come dici tu le equazioni di eulero lagrange sono del secondo ordine.
Ciao! Spero di aver chiarito
"La conoscenza delle sole coordinate generalizzate non è sufficiente per determinare lo "stato meccanico" di un sistema ad un istante dato, non permette cioè di prevedere la posizione del sistema negli istanti successivi. Se vengono dati infatti solo valori delle coordinate, il sistema può avere velocità arbitrarie, e a seconda dei differenti valori di queste, la posizione del sistema in un istante successivo può variare.
Se invece tutte le coordinate e le velocità sono date nello stesso istante, allora, come dimostra l'esperienza, è possibile determinare interamente lo stato del sistema e, in linea di massima, prendere il moto futuro.
Dal punto di vista matematico, ciò significa che dando in un certo istante tutte le $q$ e le $\dot q$, si definisce univocamente anche il valore delle accelerazioni $\ddot q$."
Per questo motivo la sola conoscenza delle velocità e delle posizioni determina univocamente il sistema, come dici tu le equazioni di eulero lagrange sono del secondo ordine.
Ciao! Spero di aver chiarito
"grimx":
La lagrangiana dipende solamente dalle $q$ e $\dot q$, non contiene derivate di ordine superiore come $ \ddotq$ (ovvero l'accelerazione) $ \ddotq$
In realtà ci sono alcune lagrangiane che hanno la forma $L(q,dotq,ddotq,t)$ e usando il principio di Hamilton trovi queste equazioni di Eulero-Lagrange
$d^2/dt^2((partialL)/(partialddotq))-d/dt((partialL)/(partialdotq))+(partialL)/(partialq)=0$
I problemi per la quale è usata sono chiamati di "meccanica jerky", ma sinceramente non ne ho mai incontrato...
Non ne avevo mai sentito parlare, comunque credo la ragione principale per cui non compaiano le accelerazioni sia quella li.. O così almeno dice il Landau.
Grazie comunque! Andrò a guardarmi qualcosina su questa "Meccanica jerky"
Grazie comunque! Andrò a guardarmi qualcosina su questa "Meccanica jerky"
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