Domanda sulla legge di gravitazione

[Sk_Anonymous]

Salve, ho un dubbio sulla legge di gravitazione universale. Prendiamo un sistema di riferimento fisso la cui origine è coincidente con una massa $M$ mantenuta fissa e consideriamo, a distanza $vec r$ da $M$, una massa $m$ attaccata ad un dinamometro. Ora io mi chiedo: per sapere qual è la forza $vec F$ che $M$ esercita su $m$ (senza applicare la legge, dal momento che la sto ricavando) io dovrei leggere il valore segnato dal dinamometro cui $m$ è attaccata. Però, se $m$ è troppo grande, il valore che si legge sul dinamometro non è esattamente quello corrispondente alla vera forza che $M$ esercita su $m$, ma è maggiore, in quanto il dinamometro terrà conto anche della forza di reazione, agente su $m$, dovuta alla forza che $m$ esercita su $M$ (e uguale ed opposta a questa). Dunque, per scrivere correttamente la legge che rappresenta la forza con cui $M$ attrae $m$ si prende $m$ molto piccola?
Grazie per la risposta.

[Falco5x]

Ma che significa?
Se M è ferma, ad esempio vincolata, e m che sta a distanza r è tenuta vincolata anch'essa tramite una molla (dinamometro), la forza che esercita il dinamometro sulla m deve essere uguale in modulo e in verso contrario a quella che M esercita su m; le due forze devono essere uguali e contrarie, solo così m sta ferma. Non c'è null'altro da dire. E' come se tra M e m ci fosse un elastico: la forza con cui M tira m è uguale e contraria alla forza con cui m tira M, però su m c'è solo la prima e su M solo la seconda.

[Sk_Anonymous]

Ciao, non ho capito. Supponiamo che $M$ sia tenuta ferma e che $m$, a distanza $vec r$ da $M$, sia collegata a un dinamometro. Quello che voglio dire è questo: il dinamometro segnerà un certo valore, cioè a $m$ sarà applicata una certa forza $vec F$. Una parte di questa forza le sarà esercitata da $M$. Ora anche la massa $m$ attirerà per conto suo $M$ giusto? Quindi, per il principio di azione e reazione $m$ sarà sottoposta ad una forza $vec F_2$ uguale e contraria a quella che essa esercita su $M$. Dunque, la forza totale rilevata dal dinamometro su $m$ sarà $vec F=vec F_2+vec F_1$. Ma a me interessa sapere soltanto qual è la relazione tra la forza che $M$ esercita su $m$ e la posizione di $m$ relativa ad $M$. Ciò può essere fatto prendendo $M$ abbastanza grande e $m$ abbastanza piccola, in modo tale da poter trascurare il contributo $vec F_2$ alla forza totale agente su $m$ rilevata dal dinamometro ad essa collegato. Spero di essere stato chiaro.
Buona serata:-)

[Falco5x]

Sì, sei stato talmente chiaro da farmi capire che non hai capito.
Tra le due masse non ci sono 2 forze ma c'è una sola forza che vale [tex]F = G\frac{{Mm}}{{{r^2}}}[/tex].
La M attira la m con F, la m attira la M con -F. Non è che ciascuna attira l'altra con una sua forza indipendente, entrambe si attirano tra loro con la stessa forza comune F!
Questa F è come la tensione di un elastico o di un filo che collega le due masse, l'analogia è totale. Quando un filo tira una massa, non ti stai mai a chiedere cosa c'è dall'altra parte del filo, perché ai fini della tua massa la informazione di quanto vale la tensione del filo è del tutto sufficiente.
Quando la M è tenuta ferma, e la m è tenuta pure ferma da un dinamometro è come dire che lungo il filo ideale che collega la M con la m corre esattamente la stessa tensione F, che vista da m è uguale e contraria alla reazione d'appoggio offerta dal dinamometro alla m. Questo accade qualunque sia il valore delle due masse, piccole o grandi che siano.
Se pure la M fosse fissata dall'altra parte a un dinamometro, i due dinamometri segnerebbero entrambi la stessa forza F.

Se non mi hai capito adesso significa che io non ho capito il tuo dubbio.

[Sk_Anonymous]

"Falco5x":Sì, sei stato talmente chiaro da farmi capire che non hai capito.
Tra le due masse non ci sono 2 forze ma c'è una sola forza che vale [tex]F = G\frac{{Mm}}{{{r^2}}}[/tex].

Ecco, non concordo su questo punto. Certamente tra le due masse c'è la forza che hai scritto, però secondo me questa non è tutta la forza che c'è su m. La formula che hai postato rappresenta solo la forza che M esercita su m, ma non riesco a non pensare che su m agisca anche un altra forza derivante dalla forza che a sua volta il campo generato da m esercita su M.
Certe volte mi vengono questi dubbi che se non risolvo non ci dormo la notte .
Ti ringrazio per la tenacia con la quale segui il mio discorso

[Falco5x]

"lisdap":Certe volte mi vengono questi dubbi che se non risolvo non ci dormo la notte .

Ti capisco, oh se ti capisco!
Il tuo problema è che probabilmente non hai capito bene come si applica il concetto di campo (elettrico, gravitazionale).
Cerco di spiegartelo.
Spero di non risultare troppo eretico se ti dico che il campo non esiste.
Il campo è solo un'astrazione, in realtà c'è invece la forza di interazione.
Il concetto di campo è stato inventato per risolvere i problemi di configurazioni complicate. Supponiamo ad esempio di avere tre masse. Per calcolare la forza agente sulla m3 occorre applicare la formula di gravitazione prima per la interazione m1m3, poi per la interazione m2m3 e sommarle vettorialmente su m3. Si è ritenuto più comodo definire un campo gravitazionale generato da m1 sulla posizione di m3, un campo generato da m2 sulla posizione di m3, dire che il campo risultante è la somma vettoriale dei due campi e applicare il risultato a m3. Il campo generato da m1 sulla posizione di m3 è numericamente uguale (ma non dimensionalmente uguale) alla forza di interazione tra m1 e una massa unitaria posta sulla posizione di m3.
Allora per applicare correttamente il concetto di campo occorre seguire delle regole precise altrimnti si fa confusione.
La regola è questa.
Il campo gravitazionale risultante in un punto dello spazio è uguale alla somma vettoriale in quel punto dei campi generati da tutte le masse presenti, ad eccezione di quella che verrà posta in quel punto.
Per calcolare la forza agente su una massa posta nel punto di cui sopra si moltiplica il campo risultante per la massa.
Nota bene: va considerato il campo somma di n campi, se le masse sono n, e il risultato si applica alla massa n+1-esima.
La massa n+1-esima in questa schematizzazione non genera campo, è solo una massa esploratrice che risente soltanto del campo prodotto da tutte le altre.
Nel caso di 2 masse, per calcolare la forza esercitata dalla M sulla m e viceversa il concetto di campo sarebbe dunque superfluo perché la interazione si calcola subito in modo diretto, però nulla vieta di applicarlo. Proviamoci.
Chiamiamo [tex]{{\vec g}_M} = - \frac{{GM}}{{{r^2}}}{{\vec u}_r}[/tex] il campo gravitazionale generato dalla M nel punto dove porremo la m, avente posizione relativa rispetto a M pari a [tex]{\vec r}[/tex].
Allora la forza di interazione di cui risentirà m posta in quel punto si ottiene facendo la semplice moltiplicazione:

[tex]{{\vec F}_{M \to m}} = m{{\vec g}_M} = - \frac{{GMm}}{{{r^2}}}{{\vec u}_r}[/tex].

Fine di ogni discorso. E' sbagliato a questo punto pensare che anche la m genera un campo, perché m in questo caso è la massa esploratrice, dunque in questa schematizzazione non genera campo, cioè non è applicabile il concetto di campo di una massa su sé stessa.
Proviamo a fare l'inverso, cioè consideriamo m la massa generante campo e M la massa esploratrice. Otteniamo la forza con la quale M è attratta nel campo generato da m con formule del tutto simmetriche:

[tex]\begin{array}{l}
{{\vec g}_m} = - \frac{{Gm}}{{{{r'}^2}}}{{\vec u}_{r'}} \\
{{\vec F}_{m \to M}} = M{{\vec g}_m} = - \frac{{GmM}}{{{{r'}^2}}}{{\vec u}_{r'}} \\
\end{array}[/tex]

Però siccome [tex]{{\vec u}_{r'}} = - {{\vec u}_r}[/tex] e [tex]r = r'[/tex], si ha anche:

[tex]{{\vec F}_{m \to M}} = M{{\vec g}_m} = \frac{{GMm}}{{{r^2}}}{{\vec u}_r} = - {{\vec F}_{M \to m}}[/tex]

L'ultima relazione dice che la forza che m risente a causa di M è uguale e contraria alla forza che M risente a causa di m.
Come dire che applicando i concetti di campo abbiamo qui scoperto l'acqua calda, ovvero abbiamo ritrovato la formula di interazione tra due masse di Newton, il quale probabilmente quando la scoprì non sapeva nulla di campi.

A questo punto ritorno alla metafora dell'elastico: la forza di interazione gravitazionale tra due masse è reciproca, e agisce tale e quale come agirebbe la tensione lungo un elastico che collegasse le due masse.

Sarò stato chiaro? mah...

[Sk_Anonymous]

"Falco5x":
Ti capisco, oh se ti capisco!
Il tuo problema è che probabilmente non hai capito bene come si applica il concetto di campo (elettrico, gravitazionale).
Cerco di spiegartelo.
Spero di non risultare troppo eretico se ti dico che il campo non esiste.
Il campo è solo un'astrazione, in realtà c'è invece la forza di interazione.
Il concetto di campo è stato inventato per risolvere i problemi di configurazioni complicate. Supponiamo ad esempio di avere tre masse. Per calcolare la forza agente sulla m3 occorre applicare la formula di gravitazione prima per la interazione m1m3, poi per la interazione m2m3 e sommarle vettorialmente su m3. Si è ritenuto più comodo definire un campo gravitazionale generato da m1 sulla posizione di m3, un campo generato da m2 sulla posizione di m3, dire che il campo risultante è la somma vettoriale dei due campi e applicare il risultato a m3. Il campo generato da m1 sulla posizione di m3 è numericamente uguale (ma non dimensionalmente uguale) alla forza di interazione tra m1 e una massa unitaria posta sulla posizione di m3.

SI, fino qua ci sono
Il resto ancora non mi è chiaro, perchè non mi è chiaro quello che ora dico. Mettiamoci nei panni di Newton o di chi ha fatto questi esperimenti e ha ricavato la legge che conosciamo. Prendiamo una massa M fissa e una massa m a distanza r da M collegata ad un dinamometro. Si rileva che il dinamometro segnerà un valore diverso da zero, cioè su m agisce una forza giusto? Fin qui non ho nulla da dire, il problema, invece, viene ora, cercando di rispondere alla seguente domanda: chi esercita su m la forza F che è rilevata dal dinamometro? La risposta a questa domanda non mi è chiara, e rappresenta essa il mio dubbio. Avendo fatto l'esperimento nel vuoto, le risposte più plausibili a mio parere sono:
1) la forza che agisce su m è esercitata dalla massa M e m non esercita su M alcuna forza;
2) M non esercita alcuna forza su m, mentre m esercita una forza attrattiva su M (e dunque per il principio di azione e reazione la forza F che agisce su m è uguale ed opposta a quella che m esercita su M);
3) la forza che agisce su m è data dai contributi 1) e 2).
Non capisco perché la risposta alla domanda "qual è l'ente che esercita su m la forza F rilevata dal dinamometro" è: l'ente è la massa M. Stando ai risultati dell'esperimento, e cioè alla constatazione del fatto che su m agisce una forza, si potrebbe benissimo concludere che M non esercita alcuna forza su m mentre la forza F che agisce su m è dovuta alla reazione che m presenta a causa del fatto che essa esercita una forza su M....oppure si potrebbe concludere come il punto 3) e cosi via. Insomma, il solo fatto che su m agisca una forza non permette di concludere che tale forza gli è esercitata da M, ma si potrebbe concludere (correttamente, stando ai dati che conosciamo in questo esperimento) anche dell'altro, come ho mostrato. Perché la risposta esatta è proprio la 1?
E' questo che non mi è chiaro ok?

[Falco5x]

La risposta è: tra M e m c'è una forza reciproca di interazione, punto e basta.
Ma che significa la tua 1? Se M esercita F su m, è evidente che anche m esercita -F su M perché F è una forza interna al sistema M-m.

Supponi di avere due ganci fissi attaccati al muro e li colleghi con una molla tesa. Si sa che la forza della tensione segue la legge di Hooke, per cui guardando l'estensione della molla che è determinata dalla distanza tra i due ganci possiamo valutare questa tensione.
Adesso arrivi tu e poni le seguenti ipotesi:
1) la forza che agisce sul gancio 2 è esercitata dal gancio 1 collegato al 2 tramite la molla, e il gancio 2 non esercita sul gancio 1 alcuna forza;
2) Il gancio 1 non esercita alcuna forza sul gancio 2, mentre il gancio 2 esercita una forza attrattiva sul gancio 1 tramite la molla (e dunque per il principio di azione e reazione la forza F che agisce sul gancio 2 è uguale ed opposta a quella che il gancio 2 esercita sul gancio 1);
3) la forza che agisce sul gancio 2 è data dai contributi 1) e 2).

Ma scusa... secondo te che senso hanno queste domande?
La risposta in questo caso è scontata: il gancio 1 esercita una F di trazione sul gancio 2, che è la stessa che in verso contrario il gancio 2 esercita sul gancio 1. Non c'è un gancio protagonista e un altro gregario, la protagonista è solo la forza di reciproca trazione, e l'energia corrispondente risiede nello spazio tra i due ganci.

Mi pare abbastanza evidente che con queto esempio ti voglio dire che nel caso della interazione gravitazionale le cose vanno allo stesso modo. E se non riesco a convincerti allora vuol dire che devi cuocere ancora qualche tempo nel tuo brodo finché la somma delle notti insonni non ti farà capitolare per sfinimento

[Sk_Anonymous]

"Falco5x"::roll:
E se non riesco a convincerti allora vuol dire che devi cuocere ancora qualche tempo nel tuo brodo finché la somma delle notti insonni non ti farà capitolare per sfinimento

Ciao, il brodo è quasi cotto, possiamo iniziare a buttare la pasta

Tornando seri, mi sono accorto che avevo nella testa un'idea sbagliata del principio di azione e reazione. Ricomincio da capo, sperando che quello che scrivo sia corretto. Prendiamo un sistema di riferimento inerziale nella cui origine è mantenuta fissa una massa $M$. A distanza $vec r$ da $M$, è presente una massa $m$ collegata ad un dinamometro. Sperimentalmente si verifica che il dinamometro segna una forza attrattiva di una certa intensità, diretta come $vec r$ ed opposta a questo. Domanda: da chi è esercitata la forza che agisce su $m$? Risposta: la risposta più logica è che sia $M$ ad esercitare su $m$ tale forza attrattiva. Cambiando poi i valori delle masse ecc si ricava che la relazione che sussiste tra $m$, $M$ ed $vec r$ è del tipo $vec F=-((GmM)/r^3)vec r$. A questo punto, se si inverte l'esperimento, cioè se si tiene fissa $m$ e si collega al dinamometro $M$, si ha che quest'ultima è soggetta ad una forza $-vec F$. Domanda: da chi è esercitata tale forza? Tale forza è esercitata dalla massa $m$. Questi risultati sperimentali, oltre ad aver evidenziato il fatto importante che una massa è in grado di attrarre a sé altra materia, evidenzia anche la validità di un principio di natura generale noto come principio di azione e reazione; infatti, entrambe le masse si attraggono a vicenda con forze uguali ed opposte.
Attendo commenti, buona serata.

Piccola aggiunta:
il principio di azione e di reazione non fa altro che evidenziare il fatto che, in natura, le forze tra due corpi si presentano sempre a coppie uguali ed opposte.

[Falco5x]

"lisdap":entrambe le masse si attraggono a vicenda con forze uguali ed opposte

Oh finalmente! è quello che ti sto dicendo fin dall'inizio di questo topic.

Però siccome tu eri fissato su un'idea sbagliata era difficile schiodartela.

Vedi che la cottura serve? solo con la cottura personale ti puoi correggere le idee, purché correttamente orientato da qualche dritta e un po' di discussione.

[Sk_Anonymous]

Perfetto, purtroppo il fatto che nei corsi di Fisica impartiti ad Ingegneria non si frequenti il laboratorio rende alcune cose più complicate di quello che realmente sono.

[Falco5x]

Sarà
Io in laboratorio non ho mai capito niente perché gli assistenti erano demotivati e non sembrava esserci molta attinenza con quello che si studiava a lezione.
E comunque sperimentare la gravitazione in laboratorio la vedo dura

[Sk_Anonymous]

Quindi è a partire da tali esperimenti sulla gravitazione che Newton ha elaborato il terzo principio della dinamica? Cioé, è a partire dalla constatazione sperimentale che due masse si attraggono con forze uguali ed opposte che è disceso tale principio?

[Falco5x]

La forza gravitazionale è talmente debole che le osservazioni sperimentali devono essersi svolte con masse enormi in laboratori giganteschi. Tipo il sistema solare ad esempio, io penso.