Domanda sulla equazione cardinale dei sistemi

[Sk_Anonymous]

Salve, volevo avere dei chiarimenti sulla prima equazione cardinale della dinamica dei sistemi di punti materiali. Innanzitutto l'espressione matematica di tale legge è: $vec F^(e)=m*vec a_(cm)$ cioè, la risultante delle forze esterne agenti su un sistema di puni materiali è pari al prodotto della massa totale del sistema con l'accelerazione del centro di massa. Però, al di là di tale enunciato che non dice nulla di più oltre quello che già evidenzia la formula, l'enunciato che darei io è:
"Un sistema di punti materiali soggetto ad una risultante di forze esterne è tale che ognuno dei suoi punti si muove con delle modalità le quali fanno si che il centro di massa del sistema, che si suppone possedere una massa pari a quella totale del sistema, si muova con una certa accelerazione vettoriale $vec a_(cm)$ sotto l'azione del risultante delle forze esterne." Va bene questa definizione? Cioè, se ho capito bene, la prima equazione cardinale vuole sottolineare il fatto che, se il sistema è sottoposto ad una risultante di forze esterne, allora il moto dei singoli punti che lo compongono deve essere tale da essere compatibile con il moto del centro di massa, cioè di un punto particolare del sistema che ha una massa pari a quella totale, che avviene con una accelerazione $vec a_cm$ e che è sottoposto alla risultante delle forze esterne.

[Quinzio]

"Un sistema di punti materiali soggetto ad una risultante di forze esterne è tale che ognuno dei suoi punti si muove con delle modalità le quali fanno si che il centro di massa del sistema, che si suppone possedere una massa pari a quella totale del sistema, si muova con una certa accelerazione vettoriale a⃗ cm sotto l'azione del risultante delle forze esterne." Va bene questa definizione?

Si e no, dipende.
Va benissimo per te che stai cercando di capire e di familiarizzare con questi concetti.
Non va bene in senso formale:

soggetto ad una risultante di forze esterne

- Un corpo non è soggetto a una risultante di forze. Un corpo è soggetto a un insieme di forze, diverse tra loro come intensità verso e direzione, applicate in punti diversi del corpo. Il corpo non ha nessuna percezione della risultante, che è solo un artificio matematico per comprendere e semplificare il comportamento del corpo.

il centro di massa del sistema, che si suppone possedere una massa pari a quella totale del sistema,

Il centro di massa è un'altro artificio, ma non esiste nella realtà. Il centro di massa è un punto, un punto a zero dimensioni, per cui come fa a possedere una massa ? Tanto meno perchè dovrebbe possedere la massa del sistema ?
Si può immaginare, ma è solo un artificio della mente, che il corpo sia concentrato in un solo punto ideale, che chiameremo centro di massa, che possiede una massa pari a quello dell'intero corpo.
A questo punto applicheremo la risultante delle forze applicate al corpo.
E quindi (e qui si capisce perchè è utile il centro di massa), il centro di massa a cui è appilcata la risultante delle forze ha lo stesso comportamento del centro di massa (inteso come punto geometrico) del corpo originale, a cui è applicato l'insieme di forze.

[alephy]

Quoto ciò che ha detto Quinzio, che ha accolto i possibili punti di confusione concettuale. In ogni caso tu intendevi dire che, in un certo senso, l'equazione cardinale della dinamica impone certi vincoli sui possibili moti di un sistema di corpi sottoposti ad un sistema di forze esterne. Questa interpretazione è sicuramente corretta, e può essere utilizzata, ad esempio, per scartare eventuali evoluzioni di un sistema che non dovessero garantire la validità di questa legge. Per esempio, per un sistema isolato, bisogna scartare qualunque moto del sistema che non garantisca la conservazione della quantità di moto, del momento angolare o dell'energia. Quantità che si mantengono costanti lungo la traiettoria di un sistema sono detti "integrali primi" del moto, e la loro conoscenza è estremamente utile al fine di determinare le soluzioni delle equazioni della dinamica (di Lagrange o di Hamilton).

[Sk_Anonymous]

"Quinzio":

"Un sistema di punti materiali soggetto ad una risultante di forze esterne è tale che ognuno dei suoi punti si muove con delle modalità le quali fanno si che il centro di massa del sistema, che si suppone possedere una massa pari a quella totale del sistema, si muova con una certa accelerazione vettoriale a⃗ cm sotto l'azione del risultante delle forze esterne." Va bene questa definizione?

Si e no, dipende.
Va benissimo per te che stai cercando di capire e di familiarizzare con questi concetti.
Non va bene in senso formale:

soggetto ad una risultante di forze esterne

- Un corpo non è soggetto a una risultante di forze. Un corpo è soggetto a un insieme di forze, diverse tra loro come intensità verso e direzione, applicate in punti diversi del corpo. Il corpo non ha nessuna percezione della risultante, che è solo un artificio matematico per comprendere e semplificare il comportamento del corpo.

il centro di massa del sistema, che si suppone possedere una massa pari a quella totale del sistema,

Il centro di massa è un'altro artificio, ma non esiste nella realtà. Il centro di massa è un punto, un punto a zero dimensioni, per cui come fa a possedere una massa ? Tanto meno perchè dovrebbe possedere la massa del sistema ?
Si può immaginare, ma è solo un artificio della mente, che il corpo sia concentrato in un solo punto ideale, che chiameremo centro di massa, che possiede una massa pari a quello dell'intero corpo.
A questo punto applicheremo la risultante delle forze applicate al corpo.
E quindi (e qui si capisce perchè è utile il centro di massa), il centro di massa a cui è appilcata la risultante delle forze ha lo stesso comportamento del centro di massa (inteso come punto geometrico) del corpo originale, a cui è applicato l'insieme di forze.

Allora, mi avete risposto in parte però ho il dubbio che sia stato poco chiaro nel primo post. Premetto le seguenti cose:
1) So benissimo che il centro di massa è un punto geometrico che non ha alcuna dimensione e può non coincidere con alcuno dei punti che costituiscono il sistema;
2) So benissimo che per un sistema di punti materiali non ha alcun senso parlare di "risultante di forze esterne", in quanto tale vettore risultante non è applicato (o sbaglio?).
Detto questo, io ho voluto esprimere a parole mie il significato dell'equazione cardinale proprio per essere sicuro di aver capito bene le cose come stanno, in quanto gli enunciati che leggo sui testi di Fisica non fanno altro che ripetere a parole la formula scritta.
Cercherò di dirlo in maniera migliore:
"Supponiamo di avere un sistema di punti materiali tale che OGNI suo punto è soggetto ad una risultante di forze esterne; Sommando vettorialmente tale risultante di ogni punto, otteniamo ovviamente un vettore risultante non applicato, che come ha detto giustamente Quinzio non ha apparentemente alcun significato fisico e che chiamiamo risultante delle forze esterne. Definiamo inoltre nella maniera consueta il centro di massa del nostro sistema di punti e supponiamo IDEALMENTE che esso sia un punto geometrico che però ha una massa pari a quella totale del sistema. Sotto queste condizioni, si verifica che i singoli punti del sistema non si muovono nello spazio arbitrariamente, bensì il loro moto è vincolato in virtù del fatto che esso deve garantire al centro di massa di muoversi con una certa accelerazione $vec a_(cm)$, accelerazione che dipende da qual è la forza risultante relativa all'intero sistema (l'accelerazione del centro di massa, infatti, dipende dalla risultante delle forze esterne perchè si dimostra matematicamente che tale vettore è idealmente applicato al centro di massa).

Cioè, introdurre il concetto di centro di massa è utile perchè se tu sai come si muove il centro di massa, spesso sai anche come si muovono i punti materiali del sistema o almeno sai che tali punti non si possono muovere come vogliono, ma sono vincolati al moto del centro di massa.
Va meglio ora? Grazie per la pazienza:)

[Quinzio]

Si va meglio.

Ti riporto la definizione che da Wikipedia:

La prima equazione cardinale, un principio fondamentale della dinamica dei sistemi di punti materiali, afferma che il centro di massa di un sistema ha lo stesso moto di un singolo punto materiale in cui fosse concentrata tutta la massa del sistema, e su cui agisse la risultante delle sole forze esterne agenti sul sistema.

E' la stessa cosa che dici tu tranne che usa un terzo delle parole.

[Sk_Anonymous]

Ok, grazie mille.