Domanda sui ritratti di fase
Ho messo insieme qualche pezzo:
EQUAZIONI DI EVOLUZIONE
I moti di un sistema meccanico con $d$ gradi di libertà sono descritti da traiettorie nello spazio delle fasi $\mathbb{R}^{d} \times \mathbb{R}^{d} = \mathbb{R}^{2d}$ che è il prodotto dello spazio delle coordinate e delle velocità. Alla coordinata $r_i$ di ogni punto è aggiunta la velocità $\dot r_i = v_i$. Un punto dello spazio delle fasi ha allora coordinata $\vec x = (\vec r, \vec v)$ con $\vec r$ e $\vec v$ a $d$ componenti. Le traiettorie $\vec x(t) = (\vec r(t), \vec v(t))$ sono soluzioni di equazioni differenziali del primo ordine $(\dot{\vec {r}}, \dot{\vec {v}}) = \dot{\vec {x}}= \vec \Phi (\vec x, t) = \vec \Phi (\vec v, t) \wedge \vec \Phi (\vec r, t)$ (messi a sistema separatamente). Da un punto di vista matematico $\vec \Phi$ è un campo vettoriale. Associa ad ogni punto $\vec x$ dello spazio delle fasi un altro punto, la velocità $\dot{\vec{x}}$. Se il campo vettoriale varia allora $\vec \Phi$ dipende esplicitamente dal tempo ed il sistema si dice non isolato, altrimenti se non dipende esplicitamente da $t$ il sistema si dice isolato. Se l'equazione è sufficientemente regolare le soluzioni sono individuabili univocamente dalle condizioni iniziali ed il sistema è detto deterministico. Un sistema non autonomo è equivalente ad uno non autonomo con lo spazio delle fasi $\mathbb{R}^{2d+1}$ esteso alla coordinata tempo.
INTEGRALI PRIMI
Si dicono variabili dinamiche le funzioni scalari $A(\vec x):\mathbb{R}^{2d} \rightarrow \mathbb{R}$ delle coordinate e delle velocità. Una variabile che sia costante lungo lungo ogni orbita (traiettoria chiusa dello spazio delle fasi) e sia globalmente definita è detta integrale primo del moto. Il gradiente di $A$ è ortogonale al campo vettoriale. Infatti $\frac{dA(\vec x(t))}{dt}= \nabla A \cdot \frac{\vec x}{dt} = \nabla A \cdot \vec \Phi ( \vec x)= 0$ Quindi $A$ è integrale primo del moto se e solo se il suo gradiente è ortognale al campo. Geometricamente significa che la traiettoria giace su una superficie $A(\vec x)=c$ e le orbite sono curve di livello dell'integrale primo.
LEGGE ORARIA
L'integrale primo dell'energia definisce globalmente le orbite di un punto soggetto ad una forza posizionale (forza funzione della posizione e non della velocità) $H(x, v) = \frac{mv^2}{2} +V(x) = E$ che localmente può essere esplicitata nella forma $v=v(x, E)$ nell'intorno del punto $(x_0, v_0)$ con $v_0 != 0$ (vedi teorema di Dini). I punti delle orbite in cui l'orbita interseca l'asse delle $x$ sono detti punti di inversione. In questi punti la velocità si annulla e l'energia potenziale è uguale all'energia totale. Un punto di inversione si dice critico se corrisponde ad un punto di stazionarietà per il potenziale $V(x_k)=E$ e $V'(x_k)=0.$ Etc...
Ora, non mi è molto chiara l'intepretazione geometrica dell'integrale primo del moto. Questo è una funzione dello spazio delle fasi, quindi possiamo immaginare lo spazio delle fasi come base del grafico di una funzione nello spazio tridimensionale, per faci un'idea, ad ogni punto dello spazio delle fasi $A(x)$ associa una altezza. In questo spazio inoltre sono definite anche le orbite soluzioni delle equazioni differenziali che descrivono il sistema. Com'è che viene fuori il ritratto di fase? Non riesco a collegare le cose neppure geometricamente.
EQUAZIONI DI EVOLUZIONE
I moti di un sistema meccanico con $d$ gradi di libertà sono descritti da traiettorie nello spazio delle fasi $\mathbb{R}^{d} \times \mathbb{R}^{d} = \mathbb{R}^{2d}$ che è il prodotto dello spazio delle coordinate e delle velocità. Alla coordinata $r_i$ di ogni punto è aggiunta la velocità $\dot r_i = v_i$. Un punto dello spazio delle fasi ha allora coordinata $\vec x = (\vec r, \vec v)$ con $\vec r$ e $\vec v$ a $d$ componenti. Le traiettorie $\vec x(t) = (\vec r(t), \vec v(t))$ sono soluzioni di equazioni differenziali del primo ordine $(\dot{\vec {r}}, \dot{\vec {v}}) = \dot{\vec {x}}= \vec \Phi (\vec x, t) = \vec \Phi (\vec v, t) \wedge \vec \Phi (\vec r, t)$ (messi a sistema separatamente). Da un punto di vista matematico $\vec \Phi$ è un campo vettoriale. Associa ad ogni punto $\vec x$ dello spazio delle fasi un altro punto, la velocità $\dot{\vec{x}}$. Se il campo vettoriale varia allora $\vec \Phi$ dipende esplicitamente dal tempo ed il sistema si dice non isolato, altrimenti se non dipende esplicitamente da $t$ il sistema si dice isolato. Se l'equazione è sufficientemente regolare le soluzioni sono individuabili univocamente dalle condizioni iniziali ed il sistema è detto deterministico. Un sistema non autonomo è equivalente ad uno non autonomo con lo spazio delle fasi $\mathbb{R}^{2d+1}$ esteso alla coordinata tempo.
INTEGRALI PRIMI
Si dicono variabili dinamiche le funzioni scalari $A(\vec x):\mathbb{R}^{2d} \rightarrow \mathbb{R}$ delle coordinate e delle velocità. Una variabile che sia costante lungo lungo ogni orbita (traiettoria chiusa dello spazio delle fasi) e sia globalmente definita è detta integrale primo del moto. Il gradiente di $A$ è ortogonale al campo vettoriale. Infatti $\frac{dA(\vec x(t))}{dt}= \nabla A \cdot \frac{\vec x}{dt} = \nabla A \cdot \vec \Phi ( \vec x)= 0$ Quindi $A$ è integrale primo del moto se e solo se il suo gradiente è ortognale al campo. Geometricamente significa che la traiettoria giace su una superficie $A(\vec x)=c$ e le orbite sono curve di livello dell'integrale primo.
LEGGE ORARIA
L'integrale primo dell'energia definisce globalmente le orbite di un punto soggetto ad una forza posizionale (forza funzione della posizione e non della velocità) $H(x, v) = \frac{mv^2}{2} +V(x) = E$ che localmente può essere esplicitata nella forma $v=v(x, E)$ nell'intorno del punto $(x_0, v_0)$ con $v_0 != 0$ (vedi teorema di Dini). I punti delle orbite in cui l'orbita interseca l'asse delle $x$ sono detti punti di inversione. In questi punti la velocità si annulla e l'energia potenziale è uguale all'energia totale. Un punto di inversione si dice critico se corrisponde ad un punto di stazionarietà per il potenziale $V(x_k)=E$ e $V'(x_k)=0.$ Etc...
Ora, non mi è molto chiara l'intepretazione geometrica dell'integrale primo del moto. Questo è una funzione dello spazio delle fasi, quindi possiamo immaginare lo spazio delle fasi come base del grafico di una funzione nello spazio tridimensionale, per faci un'idea, ad ogni punto dello spazio delle fasi $A(x)$ associa una altezza. In questo spazio inoltre sono definite anche le orbite soluzioni delle equazioni differenziali che descrivono il sistema. Com'è che viene fuori il ritratto di fase? Non riesco a collegare le cose neppure geometricamente.
Risposte
Nessuno?
Voi come interpretate il ritratto di fase?
Confesso di non aver capito la domanda. Partiamo dal semplice caso dell'oscillatore armonico unidimensionale e dell'energia $E=\frac{1}{2}\dot{x}^2+\frac{1}{2}\x^2$ come integrale primo ($k=m=1$ per semplicità). Nello spazio delle fasi, le traiettorie individuate da valori costanti di $E$ sono delle circonferenze, che, per quello che ricordo, sono un esempio di ritratto di fase (anche se preferivamo traiettorie di fase). Nello spazio $(x,\dot{x}, E)$ si ha un paraboloide di rotazione (di cui le circonferenze sono curve di livello). Puoi riformulare la domanda su questo esempio?
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