Domanda su tensore di Riemann
Ciao a tutti,
ho un attimo di difficoltà su ciò che sto per raccontarvi.
Dunque ho la seguente metrica \(\displaystyle ds^2=-e^{2a(t)}dt^2+e^{2b(t)}d\Omega_3^2+e^{2\phi(t)}d\Omega^2_2 \) dove \(\displaystyle d\Omega_3^2 = d\xi ^2+d\varphi ^2+d\eta ^2 \) e \(\displaystyle d\Omega _2^2=d\mu ^2+\sin ^2 \theta d\gamma ^2 \). La variabile è t.
Ora mi serve calcolare i tensori di Riemann. Io so che gli unici tensori di Riemann non nulli (vista la simmetria della metrica) sono quelli che hanno 1° e 3° indice uguali tra loro e 2° e 4° indice uguali tra loro (essendo t l'unica variabile rispetto a cui si può derivare). Ad esempio:
\(\displaystyle R^t_{\mu t \mu }, R^\mu _{\xi \mu \xi}\), ecc.
Il professore dice che:
\(\displaystyle R_{ijkl}=K \left(g_{ik}g_{jl} -g_{il}g_{jk} \right)\), dove \(\displaystyle g_{ij} \) sono gli elementi della metrica e \(\displaystyle i,j,k,l=\xi , \varphi , \eta \).
Siccome gli elementi della metrica sono diversi da zero soltanto nella diagonale principale, il problema che ho è questo: come faccio a scrivere \(\displaystyle R_{ijkl} \) in quel modo?
Spero sia chiaro il mio problema...
Grazie
ho un attimo di difficoltà su ciò che sto per raccontarvi.
Dunque ho la seguente metrica \(\displaystyle ds^2=-e^{2a(t)}dt^2+e^{2b(t)}d\Omega_3^2+e^{2\phi(t)}d\Omega^2_2 \) dove \(\displaystyle d\Omega_3^2 = d\xi ^2+d\varphi ^2+d\eta ^2 \) e \(\displaystyle d\Omega _2^2=d\mu ^2+\sin ^2 \theta d\gamma ^2 \). La variabile è t.
Ora mi serve calcolare i tensori di Riemann. Io so che gli unici tensori di Riemann non nulli (vista la simmetria della metrica) sono quelli che hanno 1° e 3° indice uguali tra loro e 2° e 4° indice uguali tra loro (essendo t l'unica variabile rispetto a cui si può derivare). Ad esempio:
\(\displaystyle R^t_{\mu t \mu }, R^\mu _{\xi \mu \xi}\), ecc.
Il professore dice che:
\(\displaystyle R_{ijkl}=K \left(g_{ik}g_{jl} -g_{il}g_{jk} \right)\), dove \(\displaystyle g_{ij} \) sono gli elementi della metrica e \(\displaystyle i,j,k,l=\xi , \varphi , \eta \).
Siccome gli elementi della metrica sono diversi da zero soltanto nella diagonale principale, il problema che ho è questo: come faccio a scrivere \(\displaystyle R_{ijkl} \) in quel modo?
Spero sia chiaro il mio problema...
Grazie
Risposte
Calcolare a mano le componenti del tensore di Riemann (non i tensori, perché il tensore è uno, ma ha teoricamente 256 compoenti = $4^4$ , di cui per fortuna molte sono nulle) è un grosso problema. Per fortuna, vengono in aiuto le simmetrie ed emisimmetrie del tensore stesso :
1) Scritto il forma completamente covariante : $R_(\alpha\beta\mu\nu) $ , e posto $X = (\alpha, \beta) $ e $Y = (\mu\nu)$ risulta, dalla espressione generale del tensore (che non riporto), che :
$R_(XY) = R_(YX)$ , cioè : simmatria scambiando la prima coppia di indici con la seconda.
2) $R_(\alpha\beta\mu\nu) = - R_(\beta\alpha\mu\nu) $ , cioè : emisimmetria rispetto alla prima coppia di indici. Questo vale anche per la seconda coppia di indici.
3) infine , vale l'identità che Bianchi, che tu certamente conosci.
Tutte queste simmetrie ed emisimmetrie riducono le componenti indipendenti a $ (N^2(N^2 - 1))/(12)$ , dove $N$ è la dimensione dello spazio. Come sai, nel caso di 4 dimensioni (spaziotempo della relatività generale ) quel numero è uguale a 20.
Io non ho capito quante sono le dimensioni del tuo spazio, francamente. Comunque , la strada da seguire "a mano" è una sola :
1)scrivere il tensore metrico in forma covariante, cioè la matrice dei coefficienti $g_(\alpha\beta)$ della metrica. Se è diagonale, la forma controvariante si ottiene facilmente, ogni coefficiente controvariante è l'inverso del rispettivo covariante con gli stessi indici. I termini fuori diagonale sono nulli .
2) scrivere l'espressione più generale dei simboli di Christoffel di 2°specie, cioè i $Gamma_(\mu\nu)^\alpha = 1/2 (……..)$ che conosci . Calcolare questi simboli facendo le derivate che ti servono ( per fortuna nel tuo caso devi derivare solo rispetto al tempo) e le sommatorie previste dai simboli di Christoffel
3) una volta determinati i simboli di Chr. diversi da zero, calcolare le componenti del tensore di Riemann secondo definizione : derivate prime e prodotti di simboli di Chr.
È un lavoraccio, lo so. Io l'ho fatto una volta, cioè una sola volta nella mia vita, per la metrica di Schwartzschild, e ho sudato sette camicie, scrivendo ben undici fogli di calcoli, per calcolarmi le 20 componenti non nulle di Riemann. Ma poi sono andato avanti, perché mi sono trovato pure il Ricci e la traccia di Ricci, e infine il tensore di Einstein.
Ma nel tuo caso, ripeto, vedo maggiore semplicità, poiché c'è da derivare solo rispetto al tempo. In bocca al lupo, io non posso dirti altro.
1) Scritto il forma completamente covariante : $R_(\alpha\beta\mu\nu) $ , e posto $X = (\alpha, \beta) $ e $Y = (\mu\nu)$ risulta, dalla espressione generale del tensore (che non riporto), che :
$R_(XY) = R_(YX)$ , cioè : simmatria scambiando la prima coppia di indici con la seconda.
2) $R_(\alpha\beta\mu\nu) = - R_(\beta\alpha\mu\nu) $ , cioè : emisimmetria rispetto alla prima coppia di indici. Questo vale anche per la seconda coppia di indici.
3) infine , vale l'identità che Bianchi, che tu certamente conosci.
Tutte queste simmetrie ed emisimmetrie riducono le componenti indipendenti a $ (N^2(N^2 - 1))/(12)$ , dove $N$ è la dimensione dello spazio. Come sai, nel caso di 4 dimensioni (spaziotempo della relatività generale ) quel numero è uguale a 20.
Io non ho capito quante sono le dimensioni del tuo spazio, francamente. Comunque , la strada da seguire "a mano" è una sola :
1)scrivere il tensore metrico in forma covariante, cioè la matrice dei coefficienti $g_(\alpha\beta)$ della metrica. Se è diagonale, la forma controvariante si ottiene facilmente, ogni coefficiente controvariante è l'inverso del rispettivo covariante con gli stessi indici. I termini fuori diagonale sono nulli .
2) scrivere l'espressione più generale dei simboli di Christoffel di 2°specie, cioè i $Gamma_(\mu\nu)^\alpha = 1/2 (……..)$ che conosci . Calcolare questi simboli facendo le derivate che ti servono ( per fortuna nel tuo caso devi derivare solo rispetto al tempo) e le sommatorie previste dai simboli di Christoffel
3) una volta determinati i simboli di Chr. diversi da zero, calcolare le componenti del tensore di Riemann secondo definizione : derivate prime e prodotti di simboli di Chr.
È un lavoraccio, lo so. Io l'ho fatto una volta, cioè una sola volta nella mia vita, per la metrica di Schwartzschild, e ho sudato sette camicie, scrivendo ben undici fogli di calcoli, per calcolarmi le 20 componenti non nulle di Riemann. Ma poi sono andato avanti, perché mi sono trovato pure il Ricci e la traccia di Ricci, e infine il tensore di Einstein.
Ma nel tuo caso, ripeto, vedo maggiore semplicità, poiché c'è da derivare solo rispetto al tempo. In bocca al lupo, io non posso dirti altro.
Ti ringrazio navigatore! In ogni caso, le cose che mi hai detto le so già, inoltre il mio spazio ha dimensione 6. La mia domanda era bensì un'altra:
data la forma \(\displaystyle R_{ijkl}=K(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk} \), se nel mio caso il tensore metrico ha componenti non nulle soltanto nella diagonale principale, vuol dire che le componenti di Riemann sono non nulle soltanto quando i=k e j=l, giusto? Ma in questo caso, per come è scritto sopra, \(\displaystyle g_{il}=g_{jk}=0 \). Quindi in sostanza mi sono chiesto: il professore ha consigliato quella forma del tensore di Riemann come forma generale o nel mio caso specifico? Perchè nel caso specifico, non ha molto senso scrivere la parte con \(\displaystyle g_{il}=g_{jk}=0 \).. Quindi chiedo: qualcuno ha già visto il tensore di Riemann scritto come \(\displaystyle R_{ijkl}=K(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk} \)??
data la forma \(\displaystyle R_{ijkl}=K(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk} \), se nel mio caso il tensore metrico ha componenti non nulle soltanto nella diagonale principale, vuol dire che le componenti di Riemann sono non nulle soltanto quando i=k e j=l, giusto? Ma in questo caso, per come è scritto sopra, \(\displaystyle g_{il}=g_{jk}=0 \). Quindi in sostanza mi sono chiesto: il professore ha consigliato quella forma del tensore di Riemann come forma generale o nel mio caso specifico? Perchè nel caso specifico, non ha molto senso scrivere la parte con \(\displaystyle g_{il}=g_{jk}=0 \).. Quindi chiedo: qualcuno ha già visto il tensore di Riemann scritto come \(\displaystyle R_{ijkl}=K(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk} \)??
"aljabr":
Ti ringrazio navigatore! In ogni caso, le cose che mi hai detto le so già, inoltre il mio spazio ha dimensione 6. La mia domanda era bensì un'altra:
data la forma \(\displaystyle R_{ijkl}=K(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk} \), se nel mio caso il tensore metrico ha componenti non nulle soltanto nella diagonale principale, vuol dire che le componenti di Riemann sono non nulle soltanto quando i=k e j=l, giusto?
Direi di si, le componenti di R. , quando i primi due indici o gli ultimi due sono uguali, sono nulle a causa della antisimmetria rispetto a tali indici.
Ma in questo caso, per come è scritto sopra, \(\displaystyle g_{il}=g_{jk}=0 \).
Questo non l'ho capito. Però se la metrica è diagonale, i coefficienti fuori diagonale sono nulli, sì. MA nel tuo caso, la metrica é diagonale ? Non lo so, forse non riesco a vederlo.
Quindi in sostanza mi sono chiesto: il professore ha consigliato quella forma del tensore di Riemann come forma generale o nel mio caso specifico? Perchè nel caso specifico, non ha molto senso scrivere la parte con \(\displaystyle g_{il}=g_{jk}=0 \).. Quindi chiedo: qualcuno ha già visto il tensore di Riemann scritto come \(\displaystyle R_{ijkl}=K(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk} \)??
Non so risponderti. Io non ho mai visto il tensore di R. scritto a quella maniera. Forse è il caso specifico.
Io seguirei la procedura generale per calcolare le componenti. Ripeto, vedo un compito facilitato dal fatto che i coefficienti della metrica vanno derivati solo rispetto al tempo, e non anche a una o più coordinate spaziali, come per esempio nel caso della metrica di Schwartzschild dove c'è la coordinata radiale.
La metrica è diagonale.
Comunque grazie mille navigatore! Nemmeno io avevo mai visto il tensore di R. scritto in quel modo. Passerò dal Prof. a chiedergli se si riferisce a una forma generale (e a me pare di sì) o al caso specifico (non ne vedo la necessità di scriverlo a quel modo). Grazie ancora, buon proseguimento
Comunque grazie mille navigatore! Nemmeno io avevo mai visto il tensore di R. scritto in quel modo. Passerò dal Prof. a chiedergli se si riferisce a una forma generale (e a me pare di sì) o al caso specifico (non ne vedo la necessità di scriverlo a quel modo). Grazie ancora, buon proseguimento
K è la curvatura scalare?
Se contraggo due volte nel modo dovuto (ricavando prima il tensore di Ricci poi la curvatura scalare) la formula in questione, a occhio, potrebbe venire K=K e così si dimostrerebbe che la formula è generale...
Per ricavare tutti i tensori fino a quello di Einstein a partire dal tensore metrico, io uso Maxima. Va che è una meraviglia ed è gratis
Se contraggo due volte nel modo dovuto (ricavando prima il tensore di Ricci poi la curvatura scalare) la formula in questione, a occhio, potrebbe venire K=K e così si dimostrerebbe che la formula è generale...
Per ricavare tutti i tensori fino a quello di Einstein a partire dal tensore metrico, io uso Maxima. Va che è una meraviglia ed è gratis
Arturo, ben tornato !
Grazie per l'informazione su Maxima , non lo conoscevo . Spero non sia difficile da maneggiare.
Ci sei mancato.
Grazie per l'informazione su Maxima , non lo conoscevo . Spero non sia difficile da maneggiare.
Ci sei mancato.
Grazie caro Navigatore!!! Il glorioso Maxima, nel formato per Windows o Lynux e credo anche Mac, ma non Android, possiede una installazione (se ricordo bene di nome WXMaxima) con dei menù a tendina di opzioni già configurate. Se no, è programmabile in modo direi facile. La documentazione è, secondo me, ottima.
Ps. Ot. Sono stato assente e ho cambiato nome da Arrigo ad Arturo (mio terzo nome di battesimo), perchè ho capito, leggendo te, hamilton ed altri, che la mia preparazione è assai lacunosa, erronea ed arcaica (e quindi pericolosa e fuorviante per i giovani studenti) e che da molti miei post poteva apparire presunzione di scienza. Ora, a 64 anni, prossimo alla fine, mi impongo finalmente la massima umiltà. Sapere di non sapere.
Ps. Ot. Sono stato assente e ho cambiato nome da Arrigo ad Arturo (mio terzo nome di battesimo), perchè ho capito, leggendo te, hamilton ed altri, che la mia preparazione è assai lacunosa, erronea ed arcaica (e quindi pericolosa e fuorviante per i giovani studenti) e che da molti miei post poteva apparire presunzione di scienza. Ora, a 64 anni, prossimo alla fine, mi impongo finalmente la massima umiltà. Sapere di non sapere.
Ma quando mai la tua preparazione è lacunosa e arcaica ed erronea ! Ma quando mai sei prossimo alla fine! Penso tu voglia scherzare! E io che ho quasi 70 anni, che dovrei dire ? Che sono già….trapassato remoto ? 
Non ci penso neanche. Mi piace confrontarmi con i ragazzi nei loro esercizi, per quello che so fare. LA gioventù è nella testa. Certo, le ossa scricchiolano, la schiena fa male, la pompa ha bisogno di manutenzione ogni tanto….ma siamo ancora vivi e vegeti , perbacco ! Diamoci da fare !
Non ci penso neanche. Mi piace confrontarmi con i ragazzi nei loro esercizi, per quello che so fare. LA gioventù è nella testa. Certo, le ossa scricchiolano, la schiena fa male, la pompa ha bisogno di manutenzione ogni tanto….ma siamo ancora vivi e vegeti , perbacco ! Diamoci da fare !
Sì, il tempo per me vola e gli anni passano in un soffio. Ho molti impegni piacevoli e non, ma sono cosciente e felice che la mia fine è imminente
Signori miei, ma siete giovanissimi!! Posso chiedervi se siete insegnanti o semplici appassionati della materia?
Ne approfitto per un'altra domanda : se voglio portare gli indici in alto, èvalida la scrittura
\(\displaystyle R^{ijkl} =g^{im} g^{jn}g^{kp}g^{ld} R_{mnpd} \)?
Ne approfitto per un'altra domanda : se voglio portare gli indici in alto, èvalida la scrittura
\(\displaystyle R^{ijkl} =g^{im} g^{jn}g^{kp}g^{ld} R_{mnpd} \)?
Sono un semplice appassionato laureato in Fisica a Bologna nel 1975
Per me, quella contrazione è giusta...
Per me, quella contrazione è giusta...
"anonymous_ad4c4b":
Sono un semplice appassionato laureato in Fisica a Bologna nel 1975
Per me, quella contrazione è giusta...
Semplice appassionato?
I fisici sono più bravi dei matematici nei calcoli e certe cose pratiche della matematica le sanno meglio XD Ok grazie mille
Si, l'innalzamento degli indici con le componenti controvarianti del tensore metrico è giustissimo, come dice Arturo.
Anch'io sono solo un appassionato di RR e RG , non un fisico né un professore.
Anch'io sono solo un appassionato di RR e RG , non un fisico né un professore.
Mi fa molto piacere
Una sola cosa, visto che avete nominato il programma Maxima. Lo sto usando, il problkema è che per il tensore di Riemann mi dice in quale ordine considera gli indici (lo dice la documentazione e risultano invertiti rispetto a come li uso io), mentre per i simboli di Christoffel di seconda specie non dice minimamente (o non lo trovo io) come ordina gli indici: infatti non risulta uguale a ciò che esce a me e ho paura che ordini diversamente gli indici...
Una sola cosa, visto che avete nominato il programma Maxima. Lo sto usando, il problkema è che per il tensore di Riemann mi dice in quale ordine considera gli indici (lo dice la documentazione e risultano invertiti rispetto a come li uso io), mentre per i simboli di Christoffel di seconda specie non dice minimamente (o non lo trovo io) come ordina gli indici: infatti non risulta uguale a ciò che esce a me e ho paura che ordini diversamente gli indici...
Asd 
è uguale, solo che nel simbolo inverto gli indici ma il calcolo è identico!!
è uguale, solo che nel simbolo inverto gli indici ma il calcolo è identico!!
Ciao aljabr!
Non so se ti sono d'aiuto, comunque quella "forma" del tensore di Riemann su wikipedia viene data :http://it.wikipedia.org/wiki/Tensore_di_Riemann
Guarda nella sezione "Esempi"..
ciao!
Non so se ti sono d'aiuto, comunque quella "forma" del tensore di Riemann su wikipedia viene data :http://it.wikipedia.org/wiki/Tensore_di_Riemann
Guarda nella sezione "Esempi"..
ciao!
Si si, ho visto, grazie mille grimx )
)
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