Domanda di meccanica quantistica
C'e una cosa che non capisco, il prof sviluppa una soluzione per una equazione di schrodinger in onde a L definito (anziche a impulso/k definito)
in sostanza parte dalle soluzioni a k dafinito e le esprime nell'altra base a L definito.
ora dato che $H$ e $p$ commutano e sono un $SCOC$ per quel sistema ho autofunzioni a k definito appunto, ma se lo svluppo in onde sferiche tramite L definito, questo equivale a dire che posso però definire un nuovo $SCOC$ con $H, L2, L_z$.
Ma mi chiedevo un $SCOC$ non dovrebbe avere lo stesso numero di commutatori per definirlo? Da una parte ne ho 1 nell'altro 3 e non capisco comq far quadrare le cose sulla dimensione = numeri quantici usati nelle due basi.
in sostanza parte dalle soluzioni a k dafinito e le esprime nell'altra base a L definito.
ora dato che $H$ e $p$ commutano e sono un $SCOC$ per quel sistema ho autofunzioni a k definito appunto, ma se lo svluppo in onde sferiche tramite L definito, questo equivale a dire che posso però definire un nuovo $SCOC$ con $H, L2, L_z$.
Ma mi chiedevo un $SCOC$ non dovrebbe avere lo stesso numero di commutatori per definirlo? Da una parte ne ho 1 nell'altro 3 e non capisco comq far quadrare le cose sulla dimensione = numeri quantici usati nelle due basi.
Risposte
Immagino che più che a commutatori, ti riferisca alla cardinalità dell'insieme completo di osservabili.
Non conosco risultati precisi nel caso infinito dimensionale, ma suppongo che sia sufficiente notare che nel primo caso (H e \(\vec{p}\)) in realtà hai solo tre operatori indipendenti - banalmente l'energia è proporzionale al modulo quadrato dell'impulso. Quindi necessiti solamente di 3 operatori, in accordo con la cardinalità dell'insieme completo H,L2,Lz.
Non conosco risultati precisi nel caso infinito dimensionale, ma suppongo che sia sufficiente notare che nel primo caso (H e \(\vec{p}\)) in realtà hai solo tre operatori indipendenti - banalmente l'energia è proporzionale al modulo quadrato dell'impulso. Quindi necessiti solamente di 3 operatori, in accordo con la cardinalità dell'insieme completo H,L2,Lz.
Sì esatto alla cardinalità dell'insieme dei miei operatori, tuttava mi ero detto se ho tot commutatori ho tot sistema di commutanti quindi ho tot cardinalità (cioè intendo se prendo ogni commutatore di ogni possibile osservabile che commuta tra loro deduco la cardinalità, sbaglio?)
ES: [A,B]=[B,C]=[A,C]=0 3 commmutatorie ho 3 commutanti A,B,C che nel nostro esempio sono lo SCOC voluto.
Però non ho capito una cosa H e p commutano quindi H commuta con px, py, pz quindi un sistema completo mi pare essere H,px,py,pz (e quindi volendo come dici tu $p^2$,px,py,pz) quindi 4. Non ho ben capito perché se H commuta con $p^2$ allora ritienei siano solo 3. Mi sembravano 4, purtroppo non trovo da nessuna parte una descrizione di questa cosa quindi spero di capirlo qui con te, scusa le domande idiote.
A questo punto H,L2,Lz mi sembrano 3, e da qui il dubbio
Fose l'unico spunto che mi viene in mente nel verso della soluzione dell'arcano è che tu stia dicendo che in effetti se commutano non è detto che fanno parte dello SCOC perché ad esempio $[H,p^2]=0$ commutano (immagino tu stia prendendo un caso in cui il potenziale non c'è dato che come dici c'è proporzionalità tra H e p^2, e quindi in questo caso commutano), quindi hanno autostati comuni però ciò non vuol dire che entrino entrambi in un eventuale SCOC proprio perché alla fine danno la stessa informazione essendo p^2 proporzionale ad H. Però non ho capito come risolva il mio problema di cui sopra in questo post.
ES: [A,B]=[B,C]=[A,C]=0 3 commmutatorie ho 3 commutanti A,B,C che nel nostro esempio sono lo SCOC voluto.
Però non ho capito una cosa H e p commutano quindi H commuta con px, py, pz quindi un sistema completo mi pare essere H,px,py,pz (e quindi volendo come dici tu $p^2$,px,py,pz) quindi 4. Non ho ben capito perché se H commuta con $p^2$ allora ritienei siano solo 3. Mi sembravano 4, purtroppo non trovo da nessuna parte una descrizione di questa cosa quindi spero di capirlo qui con te, scusa le domande idiote.
A questo punto H,L2,Lz mi sembrano 3, e da qui il dubbio
Fose l'unico spunto che mi viene in mente nel verso della soluzione dell'arcano è che tu stia dicendo che in effetti se commutano non è detto che fanno parte dello SCOC perché ad esempio $[H,p^2]=0$ commutano (immagino tu stia prendendo un caso in cui il potenziale non c'è dato che come dici c'è proporzionalità tra H e p^2, e quindi in questo caso commutano), quindi hanno autostati comuni però ciò non vuol dire che entrino entrambi in un eventuale SCOC proprio perché alla fine danno la stessa informazione essendo p^2 proporzionale ad H. Però non ho capito come risolva il mio problema di cui sopra in questo post.
Però non ho capito una cosa H e p commutano quindi H commuta con px, py, pz quindi un sistema completo mi pare essere H,px,py,pz (e quindi volendo come dici tu p2,px,py,pz) quindi 4. Non ho ben capito perché se H commuta con p2 allora ritienei siano solo 3.
Perché, senza ulteriori restrizioni, un insieme completo di osservabili avrebbe una cardinalità infinita.
(eg anche 2 * px è una osservabile, px + py, e puoi costruire molti altri operatori simultaneamente diagonalizzabili)
in effetti se commutano non è detto che fanno parte dello SCOC perché ad esempio [H,p2]=0 commutano (immagino tu stia prendendo un caso in cui il potenziale non c'è dato che come dici c'è proporzionalità tra H e p^2, e quindi in questo caso commutano), quindi hanno autostati comuni però ciò non vuol dire che entrino entrambi in un eventuale SCOC proprio perché alla fine danno la stessa informazione essendo p^2 proporzionale ad H.
se commutano, fanno parte del SCOC ma non aggiungono nessuna informazione utile a quella data dagli operatori che già ci fanno parte, così come dici tu.
ps leggendo qua https://en.wikipedia.org/wiki/Complete_ ... bservables nella sezione "particella libera 3D" dice che il set {\(\vec{p}\),H} è completo, ma così su due piedi confrontando la stessa definizione che trovi poco sopra nella pagina direi piuttosto che {\(\vec{p}\)} lo è. purtroppo non ho fonti più precise a riguardo, ricordo che sul Sakurai (testo su cui studiai anni e anni fa) andava piuttosto liscio su questa parte (e in generale su tutto il formalismo "base") ... spero di non confondere troppo le tue idee
Provo un up:
Nono in realtà mi sta aiutanto a capire.
Si, mi ero espresso male, ovviamente ne fanno parte però trascuro uno dei due nel senso che metto solo H e non il p^2 perché hanno la stessa quantità di informazione, cioè seho ad esempio H e p^2 scelgo uno dei due nella lista dello SCOC. Intendevo questo.
Però non ho invece capito questo:
Perché, senza ulteriori restrizioni, un insieme completo di osservabili avrebbe una cardinalità infinita.
(eg anche 2 * px è una osservabile, px + py, e puoi costruire molti altri operatori simultaneamente diagonalizzabili)[/quote]a parte il discorso di questo thread mi sembra importante ma non l'ho afferrato.
In che senso un insieme completo senza ulteriori restizioni avrebbe cardinalità infinita? Non ho capito bene quali restrizioni. Cioè dici 2 * px è una osservabile, px + py pure allora considernado che H e p^2 commutanonon lo sono? Quindi non ho cardinalità infinita. E quindi commutando H e p^ allora la cardinalità è 3 come per H,L2,Lz?
Devi scusarmi ma non ho capito bene il ragionamento, vorrei capirlo però ci tengo
Tra l'altro pensando a queste coe mi accorgo che mi sorge un ulteriore dubbio su ste benedette osservabili commutanti, mettiamo di avere A1...An osservabili commutanti, e che siano tutte parte del SCOC, io mi chiedo ma se ogni osservabile è funzione di x e p operatori, allora quando io ho che Ai commuta con Aj evidentemente sono entrambe funzione di x o di p, ma scusa se sono Ai e Aj entrambe funzioni della stessa osservabiel p, mettiamo, allora quale informazione in più danno rispetto al solo p?
Cioè mi sembra quasi che ogni volta che ho commutazione avendo tutto in funzione solo di x e p (tutte le osservabili discendono da quegli operatori) allora alla fin fine ogni sistema deve esere descritto solo da p (tutti gli altri commutanti non aggiungono alcuna informazione in più).
Quindi quando io ho A1---An commutanti alla fine mi si riduce a solo 1 A1 perche tanto le altre non danno info aggiuntiva.
Nono in realtà mi sta aiutanto a capire.
se commutano, fanno parte del SCOC ma non aggiungono nessuna informazione utile a quella data dagli operatori che già ci fanno parte, così come dici tu.
Si, mi ero espresso male, ovviamente ne fanno parte però trascuro uno dei due nel senso che metto solo H e non il p^2 perché hanno la stessa quantità di informazione, cioè seho ad esempio H e p^2 scelgo uno dei due nella lista dello SCOC. Intendevo questo.
Però non ho invece capito questo:
"Lampo1089":
[quote]Però non ho capito una cosa H e p commutano quindi H commuta con px, py, pz quindi un sistema completo mi pare essere H,px,py,pz (e quindi volendo come dici tu p2,px,py,pz) quindi 4. Non ho ben capito perché se H commuta con p2 allora ritienei siano solo 3.
Perché, senza ulteriori restrizioni, un insieme completo di osservabili avrebbe una cardinalità infinita.
(eg anche 2 * px è una osservabile, px + py, e puoi costruire molti altri operatori simultaneamente diagonalizzabili)[/quote]a parte il discorso di questo thread mi sembra importante ma non l'ho afferrato.
In che senso un insieme completo senza ulteriori restizioni avrebbe cardinalità infinita? Non ho capito bene quali restrizioni. Cioè dici 2 * px è una osservabile, px + py pure allora considernado che H e p^2 commutanonon lo sono? Quindi non ho cardinalità infinita. E quindi commutando H e p^ allora la cardinalità è 3 come per H,L2,Lz?
Devi scusarmi ma non ho capito bene il ragionamento, vorrei capirlo però ci tengo
Tra l'altro pensando a queste coe mi accorgo che mi sorge un ulteriore dubbio su ste benedette osservabili commutanti, mettiamo di avere A1...An osservabili commutanti, e che siano tutte parte del SCOC, io mi chiedo ma se ogni osservabile è funzione di x e p operatori, allora quando io ho che Ai commuta con Aj evidentemente sono entrambe funzione di x o di p, ma scusa se sono Ai e Aj entrambe funzioni della stessa osservabiel p, mettiamo, allora quale informazione in più danno rispetto al solo p?
Cioè mi sembra quasi che ogni volta che ho commutazione avendo tutto in funzione solo di x e p (tutte le osservabili discendono da quegli operatori) allora alla fin fine ogni sistema deve esere descritto solo da p (tutti gli altri commutanti non aggiungono alcuna informazione in più).
Quindi quando io ho A1---An commutanti alla fine mi si riduce a solo 1 A1 perche tanto le altre non danno info aggiuntiva.
"tachiflupec":
... quando io ho che $A_i$ commuta con $A_j$ evidentemente sono entrambe funzione di $x$ o di $p$ ...
Stai affermando che, se due osservabili commutano, necessariamente sono entrambe funzioni delle tre osservabili posizione oppure delle tre osservabili impulso? Se così fosse sarebbe palesemente falso. Basti pensare alla traslazione e alla rotazione rispetto ad uno stesso asse.
Tu stai suggerendo che: essendo traslazione funzone di x e L funzione di x e p, ho che L e T commutano eppure non sono T e L funzioni solo di x OR solo di p, giusto? Questo dici?
Se è questo...
Più che altro mi riferivo alla considerazione che ha fatto il prof della MQ rispetto alla MC e disse "ogni variabile dinamica è funzione di q e p in MC, mentre in MQ ogni osservabile è funzione degli operatori x e p"
A questo punto per il discorso in questo thread dicevo che: se prendo Ai e Aj che commutano essendo ogi Am funzione di x e p, ne potrei dedurre che A_i e A_j sono operatori che dipendono entrambi da x e p e/o x,p.
E quindi che senso ha metterli (Ai e Aj) nel set dello SCOC se alla fine non danno alcuna info in più degli operatori x e p stessi?
Infatti come si diceva prima per particella libera $[H,p^2]=0$ però un set completo è già $H$ e $p^2$ stesso è inutile metterli entrambi.
Quindi mi aspettere sempre come set completo {p,x} e sono a posto, tanto ogni altro A_m sarebbe loro funzione e non aggiunge nulla prendere: {Am,p,x}.
Eppure solitamente nel set completo metto gli operatori che commutano che non sono soltando gli x e p, metto anche altri operatori generici A che hanno proprietà di commutazione con gli altri operatori del set completo. Ma mi sembra per queste considerazini appena dette, inutile. Non capisco dove sbaglio D:
Se è questo...
Più che altro mi riferivo alla considerazione che ha fatto il prof della MQ rispetto alla MC e disse "ogni variabile dinamica è funzione di q e p in MC, mentre in MQ ogni osservabile è funzione degli operatori x e p"
A questo punto per il discorso in questo thread dicevo che: se prendo Ai e Aj che commutano essendo ogi Am funzione di x e p, ne potrei dedurre che A_i e A_j sono operatori che dipendono entrambi da x e p e/o x,p.
E quindi che senso ha metterli (Ai e Aj) nel set dello SCOC se alla fine non danno alcuna info in più degli operatori x e p stessi?
Infatti come si diceva prima per particella libera $[H,p^2]=0$ però un set completo è già $H$ e $p^2$ stesso è inutile metterli entrambi.
Quindi mi aspettere sempre come set completo {p,x} e sono a posto, tanto ogni altro A_m sarebbe loro funzione e non aggiunge nulla prendere: {Am,p,x}.
Eppure solitamente nel set completo metto gli operatori che commutano che non sono soltando gli x e p, metto anche altri operatori generici A che hanno proprietà di commutazione con gli altri operatori del set completo. Ma mi sembra per queste considerazini appena dette, inutile. Non capisco dove sbaglio D:
In che senso un insieme completo senza ulteriori restrizioni avrebbe cardinalità infinita?
perché se pensi in maniera naivé un CSCO come "insieme massimale di operatori commutanti" un insieme massimale strettamente parlando non esiste, in quanto a un set di operatori commutanti puoi sempre aggiungere tutte le loro combinazioni lineari - e queste sono infinite.
es particella libera: H,px,py,pz,px^2,py^2,pz^2, e tutte le loro combinazioni lineari commutano (e queste hanno una cardinalità infinita). Aggiungere - come nell'esempio - combinazioni lineari di operatori appartenenti al CSCO non ha senso - ed è questo quello intendevo con "restrizioni".
questo fatto è chiaramente una banalità, una definizione simile di CSCO non è sensata - ed infatti mai si vede costruire set di operatori commutanti così fatti. Insomma, è una cosa che è talmente chiara e sott'intesa su cui mai ci si pone l'attenzione.
Quanto definisce wiki è in effetti molto più sensato (https://en.wikipedia.org/wiki/Complete_ ... bservables), ma anche altri libri di testo (Leslie,Ballentine)
Let (A,B, . . .) be a set of mutually commutative operators that possess a
complete set of common eigenvectors. Corresponding to a particular eigenvalue
for each operator, there may be more than one eigenvector. If, however, there
is no more than one eigenvector (apart from the arbitrary phase and normalization)
for each set of eigenvalues (an, bm, . . .), then the operators (A,B, . . .)
are said to be a complete commuting set of operators.
che aggiunge il seguente teorema:
Theorem 6. Any operator that commutes with all members of a complete
commuting set must be a function of the operators in that set.
Quindi, il concetto è definire come set completo di operatori commutanti l'insieme di operatori commutanti fra loro con cardinalità più piccola, il cui set di autostati comuni è completo e, fissati i numeri quantici, lo stato è univocamente determinato.
Ritornando al tuo problema: ripeto, non sono al corrente di risultati che impongono che la cardinalità di tutti i CSCO siano la stessa in casi generali (hint: però prova a pensare a cosa succede in spazi finito-dimensionali), ma se il tuo dubbio è solo sul caso di particella libera la mia osservazione voleva essere "guarda che {px,py,pz} è un CSCO (in genere ci ci aggiunge H, ma H stesso non aggiunge nessuna altra informazione, i tre operatori impulso già definiscono univocamente lo stato) e questo ha la stessa cardinalità di {H,L^2,Lz}, quindi non ci sarebbe nessuna contraddizione"
Ah ecco, ora ho capito quello che volevi dire, avevo travistato. Sì, direi che sono più che d'accordo.
Ma invece riguardo al mio ultimo post? Che si può dire?
Ammetto che sono un po tonto su questi concetti ancora, devo farci un po' l'abitudine
Ma invece riguardo al mio ultimo post? Che si può dire?
Ammetto che sono un po tonto su questi concetti ancora, devo farci un po' l'abitudine
"tachiflupec":
Tu stai suggerendo che ...
Certamente. Per quanto riguarda il resto, gli elementi di un insieme completo di osservabili che commutano possono o non possono conservarsi. Volendo "etichettare" gli stati stazionari, gli elementi di cui sopra devono necessariamente conservarsi. Insomma, nonostante siano entrambi insiemi completi di osservabili che commutano:
Insieme 1
${x,y,z}$
Insieme 2
${p_x,p_y,p_z}$
gli stati stazionari non possono essere etichettati assegnando le 3 coordinate oppure, al netto della particella libera, le 3 componenti dell'impulso.
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