Domanda autofunzioni Meccanica Quantistica

[tachiflupec]

Mi è sorto un dubbio di meccanica quantistica molto sciocco, vediamo se riesco a risolverlo


- Le autofunzioni di H sono le onde libere $psi(vecr)=Ae^(iveck*vecr)$
- $H$ e $L^2$ commutando hanno una base comune di autostati, quindi mi aspetterei che $psi(vecr)=Ae^(iveck*vecr)$ possa essere autofunzione di $L^2$ (essendolo di $H$) ma non è così. Non capisco il perché se condividono la base. Altra domanda: quindi se appunto le onde libere non lo sono (base comune) come trovo la base comune?

Ad esempio in un potenziale centrale ho che $H|n,l,m_l> =E_n|n,l,m_l>$ e proiettando $ =R_n(r)Y_l^m$ queste si sono autofunzioni di entrambe.

[Lampo1089]

Ciao,
dato che \(L^2\) non commuta con \(p_x\) e \(p_y\) non può esistere una base in cui i quattro operatori \(L^2,p_x,p_y,p_z\) sono simultaneamente diagonali. Quindi, le onde piane non possono essere anche una autofunzione di \(L^2\)

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ps credo il thread https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9&t=239639 possa essere molto pertinente riguardo la tua domanda

[tachiflupec]

Ciao e grazie

Ammetto che sento di avere un pochino di confusione su questi concetti ancora, quindi perdona la mia ulteriore domanda stupida, avrei due questioni che mi tormentano:

1) preso atto che il mio esempio non andava bene mi chiedo però: se io prendo due operatori A e B che commutano essi possono condividere una base di autostati (quindi il thm mi assicura che almeno una ne esiste). Ma mi chiedo, puo esisere una base di autostati per A che non lo sia però per B giusto? Mi pare di si se ho degenerazione in qualche autospazio, perché se fossero tutti i dimensione uno ovviamente no perche gli autovalori sono tutti proporzionali e quindi al massimo mi cambia un coefficente ma se è autovalore di A lo è di B (a meno di dilatazioni che sono di nuovo autovettori sia di A che B), però in generale (leggasi con deg.) nn è vero o sbaglio?

2) la seconda cosa che mi chiedevo è però perché

Ad esempio in un potenziale centrale ho che $H|n,l,m_l> =E_n|n,l,m_l>$ e proiettando $ =R_n(r)Y_l^m$ queste si sono autofunzioni di entrambe.

in effetti mi hai mostrato che non ho commutazione ma qua mi paiono autofunzioni di entrambi, cosa strana.

[Lampo1089]

se io prendo due operatori A e B che commutano essi possono condividere una base di autostati (quindi il thm mi assicura che almeno una ne esiste). Ma mi chiedo, puo esisere una base di autostati per A che non lo sia però per B giusto?

Giusto

in effetti mi hai mostrato che non ho commutazione ma qua mi paiono autofunzioni di entrambi, cosa strana.

Questa base diagonalizza simultaneamente \(H,L^2,L_z\). Ma non sono autostati dell'operatore impulso

[tachiflupec]

Ok forse il mio errore è che pensavo una cosa del genere $[H,p]=0 and [L^2,H]=0 => [L^2,p]=0$ che in effetti è falso, non esiste questa transitività proprio per quello che dicevo sopra, perché una base di autostati per i primi due (primo commutatore) e gli altri due (secondo commutatore) non è comune a un operatore del primo commutatore e uno del secondo commutatore.

Credo fosse qui che sbagliavo, spero ora di dire giusto (?)

Intanto mi rileggo un attimo il libro e questa discussione e riassetto le idee, per vedere se qualcos'altro mi sfugge

grazie!

[tachiflupec]

Si mi sembra tornare:
La giustificazione alla: "quindi mi aspetterei che $psi(vecr)=Ae^(iveck*vecr)$ possa essere autofunzione di $L^2$ (essendolo di $H$) ma non è così"

mi pare proprio che:
in effetti questo $psi(vecr)=Ae^(iveck*vecr)$ è il caso che dicevo sopra, $H$ ha autostati comuni con $p$ (sempre in HP di particella libera) e sempre $H$ li ha con $L^2$; tuttavia queste $psi(vecr)=Ae^(iveck*vecr)$ sono autofunzioni per $H$ e $p$ ma non simultaneamente per $L^2$. Tra $L^2$ e $H$ ci sono altre autofunzioni che le diagonalizzano simultaneamente.

Mi sembra risolto l'arcano
Fammi sapere se hai voglia se questi due post sono assennati . Grazie.

[Lampo1089]

Tutto perfetto