Divergenza di un tensore a due indici

[kingworld]

Buonasera;
la mia domanda è formalmente semplice: come si calcola la divergenza di un tensore?
Premetto di non avere le idee particolarmente chiare riguardo, in generale, i tensori, sicché se mi poteste linkare un qualche documento ove studiarli sin dalle basi vi sarei grato.
Per quanto riguardo il caso particolare, ho un tensore del tipo $T_(ij)$ ottenuto da un $\vec v$ pt $\vec w$ ("pt" starebbe per prodotto tensoriale, "la x nel cerchietto", non trovo il simbolo). Se ho capito come si effettua il prodotto tensoriale, supponendo che $\vec v$ e $\vec w$ abbiano la medesima lunghezza, si dovrebbe avere $T_(ij) = v_i w_j$.
Ora, la divergenza di un vettore è del tipo, nella notazione di Einstein (simbolo di sommatoria sottinteso):
$\nabla \vec v = \partial_i v_i$
Per quanto riguarda un tensore, invece?
Avevo trovato una cosa del tipo $[\nabla T]_i = \partial_j T_(ji)$, ma oltre a non tornarmi facendo un banale prodotto vettore per matrice (casomai tornerebbe facendo matrice per vettore, ma dalla divergenza vettoriale sono abituato a "mettere la nabla a sinistra") mi è stato contraddetto da altre fonti.
Insomma, non mi sto raccapezzando granché.
Potreste illuminarmi, magari facendo un esempietto con una simpatica matrice 2x2 o 3x3?
Grazie mille!

(P.S.: non so se debba stare qui o nella sezione matematica, nel dubbio spammo un po', eventualmente cancellate ciò che c'è di male)

[hamilton2]

"kingworld":Per quanto riguardo il caso particolare, ho un tensore del tipo $T_(ij)$ ottenuto da un $\vec v$ pt $\vec w$ ("pt" starebbe per prodotto tensoriale, "la x nel cerchietto", non trovo il simbolo). Se ho capito come si effettua il prodotto tensoriale, supponendo che $\vec v$ e $\vec w$ abbiano la medesima lunghezza, si dovrebbe avere $T_(ij) = v_i w_j$.

questo è giusto, basta che ti è chiaro (e mi sembra che ti sia chiaro) che questo è un tensore particolare.

Ora, la divergenza di un vettore è del tipo, nella notazione di Einstein (simbolo di sommatoria sottinteso):
$\nabla \vec v = \partial_i v_i$

no, in notazione geometrica è $\nabla \cdot \vec v$, in indici giustamente $\partial_i v_i$. Invece $\nabla \vec v$ è il gradiente del vettore ed è un tensore, in indici $\partial_i v_j$.

Avevo trovato una cosa del tipo $[\nabla T]_i = \partial_j T_(ji)$, ma oltre a non tornarmi facendo un banale prodotto vettore per matrice (casomai tornerebbe facendo matrice per vettore, ma dalla divergenza vettoriale sono abituato a "mettere la nabla a sinistra") mi è stato contraddetto da altre fonti.

uguale, la scrittura in indici è giusta, ma geometrica sarebbe $\nabla \cdot T$ (e $\nabla T$ invece è un tensore del terzo rango). La divergenza di un tensore si intende la contrazione della derivata parziale col primo indice del tensore.

Per capirlo con le matrici, è un prodotto fra il vettore riga, o covettore, o trasposto delle derivate parziali ($(\partial_1, \partial_2, \partial_3)$) e la matrice del tensore.

Quando fai la divergenza del tuo tensore particolare $T_{ij} = v_i w_j$, fallo in componenti, perché rende evidente come applicare la regola del prodotto. Viene

$\partial_i T_{ij} = (\partial_i v_i) w_j + v_i (\partial_i w_j)$. Quindi in geometrica $\nabla \cdot T = (\nabla \cdot \vec v) \vec w + \vec v \otimes (\nabla w)$. Comunque scrivere il simbolo di prodotto tensoriale è tedioso e spesso si omette, tanto non c'è rischio di confondersi.