Divergenza di H
Ho letto che il campo magnetico $H$ non è solenoidale, cioè che $text{div} H!=0$, ma non riesco a convincermi.
Certamente in presenza di sostanze diamagnetiche e paramagnetiche $text{div}H=0$ perchè in questo caso i campi $B$ e $H$ differiscono per un fattore $\mu$ costante. Però a me sembra che anche in presenza di sostanze ferromagnetiche la divergenza di $H$ debba essere nulla perchè in tal caso $\mu$ sarebbe funzione solo del tempo, mentre le derivate presenti nell'operatore divergenza sono rispetto alle coordinate spaziali $x$, $y$, $z$.
Aiutatemi a capire meglio tutto questo: davvero risulta $text{div}H!=0$?
Certamente in presenza di sostanze diamagnetiche e paramagnetiche $text{div}H=0$ perchè in questo caso i campi $B$ e $H$ differiscono per un fattore $\mu$ costante. Però a me sembra che anche in presenza di sostanze ferromagnetiche la divergenza di $H$ debba essere nulla perchè in tal caso $\mu$ sarebbe funzione solo del tempo, mentre le derivate presenti nell'operatore divergenza sono rispetto alle coordinate spaziali $x$, $y$, $z$.
Aiutatemi a capire meglio tutto questo: davvero risulta $text{div}H!=0$?
Risposte
sinceramente non lo so, quello che posso dirti è che $mu$ non è funzione del tempo, ma dello stato precedente di magnetizzazione del materiale.
Sono d'accordo con te quando dici che $\mu$ sia funzione dello stato precedente di magnetizzazione del materiale, ma questo implica che $\mu$ varia con il tempo e non con le coordinate spaziali, quindi $\mu$ è funzione del tempo (non univoca, ma polidroma).
no. se i non è funzione del tempo, sicuramente mu non è funzione del tempo. fai attenzione.
$\mu$ non varia con le coordinate spaziali $x$, $y$ e $z$, ma varia con il tempo nel senso che il valore di $\mu$ dipende da quello che aveva in uno stato precedente di magnetizzazione.
Ciò non significa che per ogni istante $t$ esista un unico valore di $\mu$, ma che $\mu(t)=\f(mu(t-dt))$.
Quindi $\mu$ è costante rispetto a $x$, $y$, $z$ e $text{div}B=text{div}(\mu H)=\mu text{div}H$, da cui segue che anche in presenza di sostanze ferromagnetiche, deve risultare $text{div}H=0$.
Se ci sono errori ditemi in quale parte si trovano.
Ciò non significa che per ogni istante $t$ esista un unico valore di $\mu$, ma che $\mu(t)=\f(mu(t-dt))$.
Quindi $\mu$ è costante rispetto a $x$, $y$, $z$ e $text{div}B=text{div}(\mu H)=\mu text{div}H$, da cui segue che anche in presenza di sostanze ferromagnetiche, deve risultare $text{div}H=0$.
Se ci sono errori ditemi in quale parte si trovano.
Sbagli qui
Perchè $mu$ dipende da $H$ e quindi dalle coordinate spaziali, come ti è stato detto. Quando fai la divergenza non lo puoi portare fuori. Ora non posso spiegarti meglio di così perchè non ho molto tempo, però ricordati che la definizione più generale è $vecB = mu_0(vecH+vecM)$ dove $vecM$ è la magnetizzazione del materiale (che appunto dipende dallo spazio e dipende a sua volta da $vecH$). la scrittura $vecB=mu_0 mu_r vecH$ è solo un riarrangiamento algebrico di questa definizione e $mu_r$ è uno scalare solo in certi casi particolari, sennò è un tensore. Ad ogni modo per capire meglio ste cose, cerca qualcosa in internet circa le "cariche magnetiche". Se ti interessa un libro dove approfondire bene il magnetismo nella materia, ti consiglio "magnetism in condensed matter", di Blundell.
"Angelo":
$text{div}(\mu H)=\mu text{div}H$
Perchè $mu$ dipende da $H$ e quindi dalle coordinate spaziali, come ti è stato detto. Quando fai la divergenza non lo puoi portare fuori. Ora non posso spiegarti meglio di così perchè non ho molto tempo, però ricordati che la definizione più generale è $vecB = mu_0(vecH+vecM)$ dove $vecM$ è la magnetizzazione del materiale (che appunto dipende dallo spazio e dipende a sua volta da $vecH$). la scrittura $vecB=mu_0 mu_r vecH$ è solo un riarrangiamento algebrico di questa definizione e $mu_r$ è uno scalare solo in certi casi particolari, sennò è un tensore. Ad ogni modo per capire meglio ste cose, cerca qualcosa in internet circa le "cariche magnetiche". Se ti interessa un libro dove approfondire bene il magnetismo nella materia, ti consiglio "magnetism in condensed matter", di Blundell.
Questo significa che in certi casi $text{div}vecH!=0$? Se è così, vorrei un esempio concreto in cui avvenga questo.
Il fatto è che, se la divergenza di $vecH$ non fosse nulla, dovrebbe esistere un monopolo magnetico e non riesco a immaginarmelo.
Hai ragione che $vecM$ dipende dalle coordinate spaziali, però perchè è possible che $text{div}vecM$ sia diverso da zero? C'è un esempio concreto in cui avviene questo?
Se invece fosse $text{div}vec M = 0$, così come io credo, dall'uguaglianza $vecB=\mu_0(vecH+vecM)$ seguirebbe subito che anche $text{div}vecH=0$
Almeno per quanto riguarda le sostanze diamagnetiche e paramagnetiche, $\mu$ è costante, giusto? Quindi in presenza di materiali diamagnetici e paramagnetici deve risultare $text{div}vec H=0$, corretto?
Il fatto è che, se la divergenza di $vecH$ non fosse nulla, dovrebbe esistere un monopolo magnetico e non riesco a immaginarmelo.
Hai ragione che $vecM$ dipende dalle coordinate spaziali, però perchè è possible che $text{div}vecM$ sia diverso da zero? C'è un esempio concreto in cui avviene questo?
Se invece fosse $text{div}vec M = 0$, così come io credo, dall'uguaglianza $vecB=\mu_0(vecH+vecM)$ seguirebbe subito che anche $text{div}vecH=0$
Almeno per quanto riguarda le sostanze diamagnetiche e paramagnetiche, $\mu$ è costante, giusto? Quindi in presenza di materiali diamagnetici e paramagnetici deve risultare $text{div}vec H=0$, corretto?
beh non è difficilissimo immaginarsi configurazioni di magnetizzazione in cui le linee di $vecM$ (che devono stare tutte dentro al pezzo di materiale magnetico) siano aperte.. un cilindro magnetizzato lungo il suo asse ad esempio..
Nel caso da te specificato, il flusso del vettore $vec M$ attraverso una qualsiasi superficie chiusa risulta nullo e ciò equivale a dire che $text{div}vec M=0$
Io invece voglio un esempio concreto in cui $text{div}vec M!=0$
Io invece voglio un esempio concreto in cui $text{div}vec M!=0$
"Angelo":
Nel caso da te specificato, il flusso del vettore $vec M$ attraverso una qualsiasi superficie chiusa risulta nullo$
Non è vero. Se prendi una superficie chiusa che racchiuda una sola delle due superfici di base, il flusso attraverso questa non è nullo. In questo senso la base del cilindro, per intenderci, quella dove le linee di $vecM$ si interrompono, puó essere vista come "sorgente" di campo magnetostatico e, in piena sintonia col teorema di Gauss, si parla di "cariche magnetiche". Immaginalo come se fosse un "condensatore magnetico", se vuoi cercare l'analogia con il campo elettrico. Ovviamente è solo un concetto fittizio, non ci sono, come dici, reali monopoli magnetici, ma l'analogia funziona bene. Ci penserá poi la divergenza di $vecH$ a far tornare i conti e a garantire la solenoleidalitá del campo $vecB$.
Un cilindro magnetizzato lungo il suo asse ha un vettore $vec M$ di magnetizzazione dovuto all'orientamento concorde dei dipoli magnetici determinati dalle correnti atomiche. Per questo motivo, il cilindro si comporta come un solenoide (di lunghezza finita) percorso da corrente elettrica e quindi il numero delle linee del vettore $vec M$ che entrano all'interno di una qualsiasi superficie chiusa (anche contenente una sola base del cilindro magnetizzato) sarà sempre uguale al numero delle linee di forza uscenti.
In altre parole il flusso sarà sempre nullo e quindi $text{div}vec M=0$
Non so perchè dici che le linee di $vec M$ si interrompono in prossimità di una superficie di base. Se tu potessi mettere il link ad un'immagine, ciò mi aiuterebbe a capire quello che vuoi dire.
In altre parole il flusso sarà sempre nullo e quindi $text{div}vec M=0$
Non so perchè dici che le linee di $vec M$ si interrompono in prossimità di una superficie di base. Se tu potessi mettere il link ad un'immagine, ciò mi aiuterebbe a capire quello che vuoi dire.
Forse non ricordi molto bene cos'è $vecM$... esso è per definizione NULLO all'esterno del materiale. Ti ricordo che $vecM$ è definito come la densità per unità di volume di momento magnetico del materiale, quindi in assenza di materiale, ossia fuori da esso, è nullo. Per queto motivo le linee di $vecM$ si interrompono alla superficie, da cui tutti i discorsi fatti prima. Ti ripeto (oramai da un po') che le linee che in questo caso rimangono chiuse sono quelle di $vecB$, il cui comportamento è assimilabile a quello di un solenoide di lunghezza finita.
Ti dirò di più.. è più difficile pensare a situazioni in cui la divergenza di $vecM$ sia nulla, cioè a linee totalmente chiuse. Si possono fare, ma è più difficile.
Se continui a non credermi, mi spieghi allora cosa vuol dire che $vecM$ sia non nullo fuori dal materiale, in modo da richiudere le linee, magari nel vuoto? Come magnetizzi il vuoto?
Ti dirò di più.. è più difficile pensare a situazioni in cui la divergenza di $vecM$ sia nulla, cioè a linee totalmente chiuse. Si possono fare, ma è più difficile.
Se continui a non credermi, mi spieghi allora cosa vuol dire che $vecM$ sia non nullo fuori dal materiale, in modo da richiudere le linee, magari nel vuoto? Come magnetizzi il vuoto?
Sì, lo so che $vec M$ è il vettore densità del momento magnetico del materiale, ma ogni momento magnetico viene generato dal movimento di un elettrone attorno al nucleo dell'atomo di appartenenza e coincide con il momento magnetico prodotto da una spira percorsa da corrente. Siccome il campo magnetico generato non si annulla immediatamente al di fuori del piano contenente la spira, ma è presente in tutto l'asse anche se diminuisce con il cubo della distanza, allo stesso modo il vettore $vec M$ non si può annullare subito al di fuori del materiale ma si riduce progressivamente con la distanza.
D'altra parte se non fosse così, come sarebbe possibile che un magnete permanente eserciti la sua azione attrattiva a distanza?
E soprattutto non vedo nessun motivo per distinguere il campo magnetico prodotto da un filo conduttore percorso da corrente e il campo magnetico prodotto dal moto degli elettroni intorno al nucleo.
D'altra parte se non fosse così, come sarebbe possibile che un magnete permanente eserciti la sua azione attrattiva a distanza?
E soprattutto non vedo nessun motivo per distinguere il campo magnetico prodotto da un filo conduttore percorso da corrente e il campo magnetico prodotto dal moto degli elettroni intorno al nucleo.
Angelo, non capisco cosa tu voglia dimostrare con la tua ostinazione. Forse che tutti i fisici del mondo da 200 anni si sbagliano e che non si sono accorti che i magneti funzionano a distanza?
Ti ho detto come è definito $vecM$. è una grandezza che, per definizione, è non nulla solo in presenza della materia. $vecM$ NON è il campo magnetico generato dagli elettroni, ok? $vecM$ è la densitá di momento magnetico del materiale. Fuori dal materiale, il materiale non c'è e quindi $vecM$ vale 0. Stop. Proprio per questo fatto, è possibile che la divergenza di $vecM$ sia diversa da 0. Quindi per garantire che la divergenza di $vecB$ sia nulla, deve esistere un campo $vecH$ tale che la sua divergenza sia pure diversa da 0 e possa compensare $vecM$. Questo campo $vecH$ a divergenza diversa da 0, è quello con le linee di campo fuori dal materiale, ed èil responsabile dell'azione a distanza dei magneti. Se tu fossi in grado di magnetizzare qualcosa in modo tale che la divergenza di $vecM$ sia nulla, come ad esempio un disco circolare e sottile con le linee di $vecM$ tutte a circonferenze concentriche perfettamente chiuse nel materiale, allora non c'è bisogno del campo $vecH$ per mantenere nulla la divergenza di $vecB$ e questo magnete non sortirebbe nessun effetto a distanza.
Ora, se mi vuoi credere bene. Sennó hai 2 possibilitá: o ti riguardi i numerosi libri esistenti in materia (e nel primo post te ne ho consigliato uno) per, con spirito critico, cercare di capire cosa non hai capito (ad esempio cos'è $vecM$) e dove ti sbagli, oppure rimani convinto della tua idea e continua a pensare di aver ragione tu invece che Maxwell.
Ti ho detto come è definito $vecM$. è una grandezza che, per definizione, è non nulla solo in presenza della materia. $vecM$ NON è il campo magnetico generato dagli elettroni, ok? $vecM$ è la densitá di momento magnetico del materiale. Fuori dal materiale, il materiale non c'è e quindi $vecM$ vale 0. Stop. Proprio per questo fatto, è possibile che la divergenza di $vecM$ sia diversa da 0. Quindi per garantire che la divergenza di $vecB$ sia nulla, deve esistere un campo $vecH$ tale che la sua divergenza sia pure diversa da 0 e possa compensare $vecM$. Questo campo $vecH$ a divergenza diversa da 0, è quello con le linee di campo fuori dal materiale, ed èil responsabile dell'azione a distanza dei magneti. Se tu fossi in grado di magnetizzare qualcosa in modo tale che la divergenza di $vecM$ sia nulla, come ad esempio un disco circolare e sottile con le linee di $vecM$ tutte a circonferenze concentriche perfettamente chiuse nel materiale, allora non c'è bisogno del campo $vecH$ per mantenere nulla la divergenza di $vecB$ e questo magnete non sortirebbe nessun effetto a distanza.
Ora, se mi vuoi credere bene. Sennó hai 2 possibilitá: o ti riguardi i numerosi libri esistenti in materia (e nel primo post te ne ho consigliato uno) per, con spirito critico, cercare di capire cosa non hai capito (ad esempio cos'è $vecM$) e dove ti sbagli, oppure rimani convinto della tua idea e continua a pensare di aver ragione tu invece che Maxwell.
Mi dispiace molto che non si possa trattare un argomento scientifico in maniera razionale e serena senza che si degeneri in frasi del tipo: è così perché lo dice Maxwell e quindi devi crederci.
Lo so che Maxwell e gli altri fisici che hanno studiato questi fenomeni non si sbagliano però vorrei se possibile capire il perchè delle cose senza avere un atteggiamento di credente di fronte a un dogma stabilito da qualcuno che ne sappia piu di me.
Provo un'altra volta a trattare l'argomento in maniera razionale.
La formula $vec B=\mu_0*(vec H+ vec M)$ implica che, se $vec M$ fosse nullo al di fuori del magnete, allora, visto che $vec B!=0$, dovrebbe risultare $vec H!=0$, ma il vettore $vec H$ è il vettore campo magnetico generato dalla presenza di una corrente elettrica.
Da tutto ciò seguirebbe l'assurdo che un magnete può attrarre un pezzo di ferro a distanza solo se al di fuori del magnete scorrono delle correnti elettriche.
Non ho una posizione predefinita, vorrei solo capire realmente cosa rappresenti il vettore $vec M$. Spero che mi si dia un aiuto a capire piuttosto che il suggerimento ad accettare passivamente o a imparare a memoria.
Lo so che Maxwell e gli altri fisici che hanno studiato questi fenomeni non si sbagliano però vorrei se possibile capire il perchè delle cose senza avere un atteggiamento di credente di fronte a un dogma stabilito da qualcuno che ne sappia piu di me.
Provo un'altra volta a trattare l'argomento in maniera razionale.
La formula $vec B=\mu_0*(vec H+ vec M)$ implica che, se $vec M$ fosse nullo al di fuori del magnete, allora, visto che $vec B!=0$, dovrebbe risultare $vec H!=0$, ma il vettore $vec H$ è il vettore campo magnetico generato dalla presenza di una corrente elettrica.
Da tutto ciò seguirebbe l'assurdo che un magnete può attrarre un pezzo di ferro a distanza solo se al di fuori del magnete scorrono delle correnti elettriche.
Non ho una posizione predefinita, vorrei solo capire realmente cosa rappresenti il vettore $vec M$. Spero che mi si dia un aiuto a capire piuttosto che il suggerimento ad accettare passivamente o a imparare a memoria.
scusate se mi intrometto, io peraltro non ho trattato molto a fondo questo problema e nel mio libro di testo non si nomina neppure la divergenza di H.
relativamente a quanto dice Angelo, ossia che un magnete può attrarre del ferro solo se al di fuori del magnete ci sono delle correnti.. secondo me l'errore di questa affermazione risiede nel fatto che vorresti rendere locale una legge integrale, ossia che vale in uno spazio più ampio: pretendi che la relazione resti valida su una linea aperta (al di fuori del magnete), ma l'integrale è esteso a un circuito chiuso. volendo si può scendere più nel dettaglio, ma doresti usare il teorema di stokes, e non so nemmeno quanto sia di utilità. ti do un suggerimento, che è un metodo che uso pure io a volte: quando hai un dubbio, prova a fare un passo indietro per vedere da dove saltano fuori le formule e il contesto in cui si adoperano. la magnetizzazione è normale che si annulli all'esterno, e questo non determina alcuna anomalia
per la domanda sul vettore M, è un vettore che ti dà qualitativamente l'idea di quante microcorrenti amperiane ci sono nel materiale: non per niente, l'integrale di linea della magnetizzazione dà proprio la corrente di magnetizzazione totale
relativamente a quanto dice Angelo, ossia che un magnete può attrarre del ferro solo se al di fuori del magnete ci sono delle correnti.. secondo me l'errore di questa affermazione risiede nel fatto che vorresti rendere locale una legge integrale, ossia che vale in uno spazio più ampio: pretendi che la relazione resti valida su una linea aperta (al di fuori del magnete), ma l'integrale è esteso a un circuito chiuso. volendo si può scendere più nel dettaglio, ma doresti usare il teorema di stokes, e non so nemmeno quanto sia di utilità. ti do un suggerimento, che è un metodo che uso pure io a volte: quando hai un dubbio, prova a fare un passo indietro per vedere da dove saltano fuori le formule e il contesto in cui si adoperano. la magnetizzazione è normale che si annulli all'esterno, e questo non determina alcuna anomalia
per la domanda sul vettore M, è un vettore che ti dà qualitativamente l'idea di quante microcorrenti amperiane ci sono nel materiale: non per niente, l'integrale di linea della magnetizzazione dà proprio la corrente di magnetizzazione totale
La formula $vec B=\mu_0(vec H + vec M)$ $(*)$ non è una formula integrale e deve essere valida punto per punto in tutto lo spazio (sia all'interno di un mezzo che all'esterno). Inoltre le equazioni di Maxwell si possono scrivere sia in forma integrale che in forma differenziale e in quest'ultimo caso valgono punto per punto in tutto lo spazio (sia all'interno di un mezzo che all'esterno).
In forma differenziale le equazioni di Maxwell sono:
$text{div}vec D=\rho$
$text{div}vec B=0$
$rot vec E=-(\partial vecB)/(\partial t)$
$rot vec H=vec J+(\partial vec D)/(\partial t)$
Dalla quarta equazione segue subito che al di fuori di un magnete, in assenza di correnti e in assenza di campi elettrici variabili, deve risultare punto per punto $rot vec H=0$, da cui utilizzando la formula $(*)$ si ha che,
$rot vec B= \mu_0 rot vec M$.
Ma se al di fuori del magnete il vettore $vec M$ fosse nullo, allora dovrebbe risultare $rot vec B=0$ e ciò significherebbe che un magnete genera nello spazio circostante (in assenza di correnti e di campi elettrici variabili) un campo magnetico conservativo, il che mi sembra assurdo.
In forma differenziale le equazioni di Maxwell sono:
$text{div}vec D=\rho$
$text{div}vec B=0$
$rot vec E=-(\partial vecB)/(\partial t)$
$rot vec H=vec J+(\partial vec D)/(\partial t)$
Dalla quarta equazione segue subito che al di fuori di un magnete, in assenza di correnti e in assenza di campi elettrici variabili, deve risultare punto per punto $rot vec H=0$, da cui utilizzando la formula $(*)$ si ha che,
$rot vec B= \mu_0 rot vec M$.
Ma se al di fuori del magnete il vettore $vec M$ fosse nullo, allora dovrebbe risultare $rot vec B=0$ e ciò significherebbe che un magnete genera nello spazio circostante (in assenza di correnti e di campi elettrici variabili) un campo magnetico conservativo, il che mi sembra assurdo.
partiamo dal principio: abbiamo un magnete e le correnti di conduzione sono nulle.
$oint = i_c = 0
al di fuori del magnete M è nullo, quindi puoi rompere l'integrale:
$oint = int_(gamma_(i)) + int_(gamma_(ext)) = 0
ora, chiamare una cosa H o come ti pare, è solo un problema di notazioni. il campo magnetico B all'esterno c'è, e se vuoi pure il campo magnetizzante H: all'esterno del magnete, le correnti di magnetizzazione sono viste come correnti di conduzione, inoltre bisogna in qualche modo tenere presente il contributo del campo magnetico all'interno del materiale
$int_(gamma_(i)) = - int_(gamma_(ext))
chiamando
$int_(gamma_(i)) = int_(gamma_(i)) + int_(gamma_(ext)) 0 = oint = - i'_c$
analogamente per il membro di sinistra si può sempre costruire un integrale su un circuito chiuso, quindi si ottiene
$ i'_c = oint = oint
quindi il problema si risolve anche dal punto di vista formale
$oint = i_c = 0
al di fuori del magnete M è nullo, quindi puoi rompere l'integrale:
$oint = int_(gamma_(i)) + int_(gamma_(ext)) = 0
ora, chiamare una cosa H o come ti pare, è solo un problema di notazioni. il campo magnetico B all'esterno c'è, e se vuoi pure il campo magnetizzante H: all'esterno del magnete, le correnti di magnetizzazione sono viste come correnti di conduzione, inoltre bisogna in qualche modo tenere presente il contributo del campo magnetico all'interno del materiale
$int_(gamma_(i)) = - int_(gamma_(ext))
chiamando
$int_(gamma_(i)) = int_(gamma_(i)) + int_(gamma_(ext)) 0 = oint = - i'_c$
analogamente per il membro di sinistra si può sempre costruire un integrale su un circuito chiuso, quindi si ottiene
$ i'_c = oint = oint
quindi il problema si risolve anche dal punto di vista formale
La magnetizzazione [tex]\vec{M}[/tex] in approssimazione lineare si considera proporzionale al campo magnetico [tex]\vec{M} = k \vec{B}[/tex] dove [tex]k[/tex] dipende chiaramente dal punto.
[tex]\text{div} \vec{H} = - \text{div} \vec{M} = - \vec{B} \cdot \text{grad} k[/tex] che può facilmente essere non nullo per esempio nel passare da un materiale al vuoto, in cui [tex]k=0[/tex].
[tex]\text{div} \vec{H} = - \text{div} \vec{M} = - \vec{B} \cdot \text{grad} k[/tex] che può facilmente essere non nullo per esempio nel passare da un materiale al vuoto, in cui [tex]k=0[/tex].
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