Divergenza Campo Elettrico - Esercizio

[cande95]

Salve a tutti! Ho questo esercizio:

Sia dato un campo elettrico \( \vec{E} = Ar^2 \hat{r} \ \) nella regione di spazio \( | \vec {r}| \leq R \) con A costante. Assumendo che vi sia il vuoto nella regione \( | \vec {r}| > R \) determinare :
1) la densità di carica \( \rho (\vec{r}) \) in tutto lo spazio.

Ragiono così: per \( |\vec{r}|>R \) non essendoci carica abbiamo che

\( \rho (\vec{r}) = 0\)

Per \( | \vec {r}| \leq R \) sappiamo che vale la seguente:

\( div \vec{E}= \frac{\rho(\vec{r})}{\epsilon_0} \)

Ora, calcolo la \( div \vec{E}\) in coordinate polari, dato che ho solo componente radiale:

\( div \vec{E}=\frac{\partial (r^2A_r)}{\partial r} \frac{1}{r^2} \), \(A_r=Ar^2\)

Naturalmente il risultato è che

\(\rho(\vec{r}) = 4A\epsilon_0r\)

Tuttavia il risultato numerico dato come soluzione è

\(\rho(\vec{r})=5\epsilon_0Ar^2\)

Dato che sono nuovo a coordinate polari, divergenze et simila, volevo capire se avessi sbagliato qualcosa a livello concettuale!

Grazie in anticipo

EDIT: ho notato che, se il mio ragionamento fosse corretto, forse l' errore è nel testo, perché se ci fosse un \(r^3\) al posto di un \(r^2\) tornerebbe il risultato. Mi confermate il ragionamento?

[RenzoDF]

"cande95":... volevo capire se avessi sbagliato qualcosa a livello concettuale!

Non hai sbagliato, che il tuo sia un risultato accettabile, mentre quello fornito dalla soluzione non lo sia, lo puoi verificare anche via semplice analisi dimensionale in pochi secondi.