Distribuzione uniforme di carica su un supporto rettilineo (esempio Mencuccini)
Buonasera, sto avendo dei problemi con un esempio tratto dal Mencuccini sull'Elettromagnetismo. In particolare io possiedo la seconda versione e si tratta dell'esempio E.I.4.
Ne riporto di seguito il testo:
Consideriamo una distribuzione uniforme di carica su un supporto rettilineo $\Gamma$ molto lungo (infinito) e di dimensioni trasverse trascurabili. Sia $\lambda$ la densità lineare di carica uniforme e nota. Calcolare il campo elettrico $\vec{E}$ in un punto $P$ a distanza $R$ dal supporto
Il testo inizia dicendo che il campo elettrico può essere calcolato come somma (integrale) dei campi elettrici elementari $d\vec{E}$ generati in $P$ da trattini elementari $dl$ della distribuzione lineare $\Gamma$. Ognuno degli elementi d$\vec{E}$ giace nel piano individuato da $\vec{l}$ e da $P$ e in tale piano giacerò dunque anche il campo risultante $\vec{E} = \int d\vec{E}$
Fino a qui mi sembra che io abbia tutto chiaro.
Poi continua dicendo:
Notiamo inoltre che per ogni elemento $d\vec{l_1}$ esiste un secondo elemento $d\vec{l_2}$ simmetrico ad esso rispetto ad O: questi due elementi generano due contributi elementari $d\vec{E_1}$ e $d\vec{E_2}$ al campo che hanno componente parallela a $\vec{l}$ uguale e opposta per cui la loro somma $d\vec{E}$ è ortogonale a $\vec{l}$.
Non capisco perché la somma dei due contributi con componenti parallele è ortogonale a $\vec{l}$
Inoltre:
$d\vec{E} = d\vec{E_1} + d\vec{E_2} = (|dE_1| + |dE_2|) \cos \theta \ \hat{n} = \frac{2 \cos \theta \ \hat{n}}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda dl}{r^2}$
Anche quest'ultimo calcolo non mi è chiarissimo.
Mi scuso se la domanda è sciocca, ma sono un'autodidatta e non so a chi altro chiedere. Grazie della disponibilià.
Ne riporto di seguito il testo:
Consideriamo una distribuzione uniforme di carica su un supporto rettilineo $\Gamma$ molto lungo (infinito) e di dimensioni trasverse trascurabili. Sia $\lambda$ la densità lineare di carica uniforme e nota. Calcolare il campo elettrico $\vec{E}$ in un punto $P$ a distanza $R$ dal supporto
Il testo inizia dicendo che il campo elettrico può essere calcolato come somma (integrale) dei campi elettrici elementari $d\vec{E}$ generati in $P$ da trattini elementari $dl$ della distribuzione lineare $\Gamma$. Ognuno degli elementi d$\vec{E}$ giace nel piano individuato da $\vec{l}$ e da $P$ e in tale piano giacerò dunque anche il campo risultante $\vec{E} = \int d\vec{E}$
Fino a qui mi sembra che io abbia tutto chiaro.
Poi continua dicendo:
Notiamo inoltre che per ogni elemento $d\vec{l_1}$ esiste un secondo elemento $d\vec{l_2}$ simmetrico ad esso rispetto ad O: questi due elementi generano due contributi elementari $d\vec{E_1}$ e $d\vec{E_2}$ al campo che hanno componente parallela a $\vec{l}$ uguale e opposta per cui la loro somma $d\vec{E}$ è ortogonale a $\vec{l}$.
Non capisco perché la somma dei due contributi con componenti parallele è ortogonale a $\vec{l}$
Inoltre:
$d\vec{E} = d\vec{E_1} + d\vec{E_2} = (|dE_1| + |dE_2|) \cos \theta \ \hat{n} = \frac{2 \cos \theta \ \hat{n}}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda dl}{r^2}$
Anche quest'ultimo calcolo non mi è chiarissimo.
Mi scuso se la domanda è sciocca, ma sono un'autodidatta e non so a chi altro chiedere. Grazie della disponibilià.
Risposte
"francyiato":
Notiamo inoltre che per ogni elemento $d\vec{l_1}$ esiste un secondo elemento $d\vec{l_2}$ simmetrico ad esso rispetto ad O: questi due elementi generano due contributi elementari $d\vec{E_1}$ e $d\vec{E_2}$ al campo che hanno componente parallela a $\vec{l}$ uguale e opposta per cui la loro somma $d\vec{E}$ è ortogonale a $\vec{l}$.
Non capisco perché la somma dei due contributi con componenti parallele è ortogonale a $\vec{l}$
Le componenti parallele al filo sono uguali e opposte, e si annullano. Quindi rimane solo la parte perpendicolare al filo
"francyiato":
Inoltre:
$d\vec{E} = d\vec{E_1} + d\vec{E_2} = (|dE_1| + |dE_2|) \cos \theta \ \hat{n} = \frac{2 \cos \theta \ \hat{n}}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda dl}{r^2}$
Anche quest'ultimo calcolo non mi è chiarissimo.
I termini $(|dE_1| + |dE_2|) \cos \theta $ rappresentano le componenti perpendicolari al filo, e sono uguali.
L'ultimo passaggio scrive $|dE| = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda dl}{r^2}$
che è la legge di Coulomb
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