Distribuzione spaziale gas in rotazione
Salve,
mi trovo in difficoltà con il seguente esercizio.
Un gas ideale, composto da N particelle uguali di massa m, è contenuto in un recipiente cilindrico di volume V e raggio r, in rotazione intorno al suo asse con velocità angolare costante $\omega$. Il gas è in condizioni di equilibrio ed alla temperatura T; si calcoli, usando un modello idrostatico e trascurando l'effetto della forza peso, come varia il numero $n(\rho)$ di particelle per unità di volume in funzione della distanza dall'asse del cilindro.
Ho provato a ragionare così:
Poniamoci nel sistema rotante con velocità angolare ω e consideriamo lo strado di gas sotteso da un
piccolo angolo $d\theta$ , compreso tra i raggi $r + dr$ e di altezza L. Sulla superficie interna agisce la
pressione P(r) e quindi una forza $F_i = P(r) L d\theta r u_r$ ,
mentre sulla superficie esterna agisce la forza
$F_(ext) = – P (r+dr) L d\theta (r+dr) u_r$,
inoltre la forza centrifuga è
data da $F_c = ω^2 ρ(r) dV r u_r$
$\rho(r)$ è la densità di particelle per unità di volume
e $dV$ è l'elemento di volume
$dV = L (r + (r+dr)) d\theta dr / 2$ e quindi $ F_c = ω^2 ρ(r) L (2r+dr) d\theta(dr/2) r u_r$
Ora all'equilibrio si deve avere $F_i + F_(ext) + F_c = 0$
e sostituendo le espressioni delle tre forze
$P(r) r L d\theta + ω^2 r ρ(r) L (2r+dr) d\theta ((dr)/2) = (P(r) + P’(r) dr) L d\theta (r+dr)$
semplificando e trascurando i termini $dr^2$ rispetto a quelli dr si ottiene l'equazione
$r^2 ω^2 \rho(r) = P(r) + r P’(r)$
Che è una bella equazione a variabili separabili come si risolve??
r è il raggio generico di integrazione che andrebbe integrato fra 0 ed R (raggio del cilindro)
mentre la densità di particelle ρ(r) andrebbe integrata fra $N_0$ e $N(R)$ (con N numero totale di particelle presenti dentro il cilindro) ed $N_0$ la densità delle particelle per r=0
mi trovo in difficoltà con il seguente esercizio.
Un gas ideale, composto da N particelle uguali di massa m, è contenuto in un recipiente cilindrico di volume V e raggio r, in rotazione intorno al suo asse con velocità angolare costante $\omega$. Il gas è in condizioni di equilibrio ed alla temperatura T; si calcoli, usando un modello idrostatico e trascurando l'effetto della forza peso, come varia il numero $n(\rho)$ di particelle per unità di volume in funzione della distanza dall'asse del cilindro.
Ho provato a ragionare così:
Poniamoci nel sistema rotante con velocità angolare ω e consideriamo lo strado di gas sotteso da un
piccolo angolo $d\theta$ , compreso tra i raggi $r + dr$ e di altezza L. Sulla superficie interna agisce la
pressione P(r) e quindi una forza $F_i = P(r) L d\theta r u_r$ ,
mentre sulla superficie esterna agisce la forza
$F_(ext) = – P (r+dr) L d\theta (r+dr) u_r$,
inoltre la forza centrifuga è
data da $F_c = ω^2 ρ(r) dV r u_r$
$\rho(r)$ è la densità di particelle per unità di volume
e $dV$ è l'elemento di volume
$dV = L (r + (r+dr)) d\theta dr / 2$ e quindi $ F_c = ω^2 ρ(r) L (2r+dr) d\theta(dr/2) r u_r$
Ora all'equilibrio si deve avere $F_i + F_(ext) + F_c = 0$
e sostituendo le espressioni delle tre forze
$P(r) r L d\theta + ω^2 r ρ(r) L (2r+dr) d\theta ((dr)/2) = (P(r) + P’(r) dr) L d\theta (r+dr)$
semplificando e trascurando i termini $dr^2$ rispetto a quelli dr si ottiene l'equazione
$r^2 ω^2 \rho(r) = P(r) + r P’(r)$
Che è una bella equazione a variabili separabili come si risolve??
r è il raggio generico di integrazione che andrebbe integrato fra 0 ed R (raggio del cilindro)
mentre la densità di particelle ρ(r) andrebbe integrata fra $N_0$ e $N(R)$ (con N numero totale di particelle presenti dentro il cilindro) ed $N_0$ la densità delle particelle per r=0
Risposte
Ciao,
esercizio molto interessante, sono interessato anche io alla sua soluzione. Però non saprei come risolvere l'equazione differenziale. Attendo qualcuno di esperto ;o)
esercizio molto interessante, sono interessato anche io alla sua soluzione. Però non saprei come risolvere l'equazione differenziale. Attendo qualcuno di esperto ;o)
C'è qualcosa di sbagliato nella equazione, perché non vedo citati né V, né m, né n, né T, né N. Mi sembra che nel testo del problema con $\rho $ si intenda la distanza dall'asse (quella che tu chiami r). Mentre con n si intende il numero di particelle per unità di volume, funzione di $\rho $, e ciascuna particella ha massa m.
Ti suggerirei di non usare un angolo infinitesimo, ma un elemento di cilindro alto come il cilindro, circolare, di raggio r (o $\rho $) e spesso dr (o $d\rho $). E poi usa l'equazione generale dei gas perfetti, altrimenti a che serve il dato di temperatura?
Ti suggerirei di non usare un angolo infinitesimo, ma un elemento di cilindro alto come il cilindro, circolare, di raggio r (o $\rho $) e spesso dr (o $d\rho $). E poi usa l'equazione generale dei gas perfetti, altrimenti a che serve il dato di temperatura?
Impostando il discorso considerando un cilindretto elentare di raggi r e r+dr si perviene alla stessa eq. differenziale.
come si risolve questa eq. differenziale??
come si risolve questa eq. differenziale??
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