Distribuzione di carica su una circonferenza

[Fab527]

"Sopra una circonferenza di centro $ O $ , raggio $ a $ e posta nel vuoto, determinare una possibile distribuzione di carica elettrica rappresentata da una funzione continua nei valori in modo che il vettore campo elettrico sull'asse sia perpendicolare all'asse stesso."

In pratica deve accadere che la risultante dei campi generati da tutte le cariche infinitesime si annulli sull'asse (che si può chiamare x) e non si annulli invece sulla sua perpendicolare (y). Come determino questa funzione?

Mi viene da pensare soltanto a una suddivisione della distribuzione sulla circonferenza con una metà carica negativamente e una positivamente (in modo che tra due cariche infinitesime di segno diverso poste agli estremi di un diametro la componente x si annulli e quella y si sommi) ma il fatto è che così la risultante di tutti i campi infinitesimi verrebbe nulla. Una mano

[DelCrossB]

A dire il vero il caso di un anello con distribuzione di carica $\lambda$ per metà della sua lunghezza e $-\lambda$ per la restante è ben noto ed in tale situazione il campo elettrico risultante non è assolutamente nullo. (Prova a fare i calcoli e te ne accorgerai ).

Il motivo per cui quella soluzione non è valida risiede nella richiesta che la distribuzione di carica sia "rappresentata da una funzione continua nei valori". In tal caso avremmo infatti una distribuzione di carica del tipo:

\[ \lambda(\theta) = \left\{ \begin{array}{ll}
\lambda_0 & \mbox{per }0 < \theta< \pi\\
-\lambda_0 & \mbox{per }\pi< \theta<2\pi
\end{array} \right.
\]

Quella sopra è una funzione regolare a tratti che presenta due discontinuità nei punti $\theta = 0$ e $\theta = \pi$.


Hint per la soluzione: hai provato ad utilizzare una funzione periodica?