Distribuzione di carica lungo un arco di circonferenza
Una distribuzione lineare di carica è distribuita lungo un arco di circonferenza con legge \(\displaystyle λ = -150\cdot 10^{-9} \cosθ \)
Calcolare:
1) La carica complessiva posseduta dall’arco
2) Il potenziale elettrostatico (rispetto all’infinito) nel centro della circonferenza
3) Le componenti del campo elettrostatico nel centro della circonferenza (scrivere l’integrale anche senza risolverlo)
Primo punto
Ho innanzitutto trovato la lunghezza di quell'arco di circonferenza
\(\displaystyle L = r\cdot \frac{\pi}{2} = 0.15m \)
Poi ho calcolato la carica complessiva sfruttando la densità:
\(\displaystyle Q = \lambda L = -22.5\cdot10^{-9}\cosθ \)
Secondo punto
\(\displaystyle V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\int \frac{dq}{r} = \frac{1}{r4\pi \varepsilon_0}\int dq = \frac{Q}{r4\pi \varepsilon_0} = -2025\cosθ \)
Il terzo punto non saprei come farlo... (ammesso che i primi due siano corretti)
Idee?
Grazie in anticipo!
Calcolare:
1) La carica complessiva posseduta dall’arco
2) Il potenziale elettrostatico (rispetto all’infinito) nel centro della circonferenza
3) Le componenti del campo elettrostatico nel centro della circonferenza (scrivere l’integrale anche senza risolverlo)
Primo punto
Ho innanzitutto trovato la lunghezza di quell'arco di circonferenza
\(\displaystyle L = r\cdot \frac{\pi}{2} = 0.15m \)
Poi ho calcolato la carica complessiva sfruttando la densità:
\(\displaystyle Q = \lambda L = -22.5\cdot10^{-9}\cosθ \)
Secondo punto
\(\displaystyle V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\int \frac{dq}{r} = \frac{1}{r4\pi \varepsilon_0}\int dq = \frac{Q}{r4\pi \varepsilon_0} = -2025\cosθ \)
Il terzo punto non saprei come farlo... (ammesso che i primi due siano corretti)
Idee?
Grazie in anticipo!
Risposte
No, sbagliato, la distribuzione delle cariche non e' uniforme. E' massima nella parte bassa della circonferenza e va via via diradandosi fino ad annullarsi nell'estremita in alto, poiche dipende dal coseno dell'angolo.
Il coseno non puo' apparirti in soluzione.
Riprova ora
Il coseno non puo' apparirti in soluzione.
Riprova ora
"professorkappa":
No, sbagliato, la distribuzione delle cariche non e' uniforme.
\(\displaystyle
Q = \lambda L = L \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \lambda d\theta \)
così intendi?
no, intendo
$dq=lambda*dL$, con $dL=Rd theta$ e quindi
$ int_(0)^(pi/2) dq= int_(0)^(pi/2) lambdadL=int_(0)^(pi/2) 1.5*10^(-9)costheta*R*d theta $
$dq=lambda*dL$, con $dL=Rd theta$ e quindi
$ int_(0)^(pi/2) dq= int_(0)^(pi/2) lambdadL=int_(0)^(pi/2) 1.5*10^(-9)costheta*R*d theta $
"professorkappa":
no, intendo
Grazie mille per la dritta.
Dunque una volta ricavato \(\displaystyle Q_{tot} \) (valore finito) ora dovrei calcolarmi il potenziale, il cui procedimento suppongo sia lo stesso di come ho proposto nel primo messaggio, ma ora con un valore diverso che non dipende dall'angolo.
Per il terzo punto, essendo il campo elettrico pari all'opposto del gradiente di V, non dovrebbe essere nullo dato che V è costante?
"DeltaEpsilon":
Per il terzo punto, essendo il campo elettrico pari all'opposto del gradiente di V, non dovrebbe essere nullo dato che V è costante?
Come ti salta in mente che V sia costante?
"mgrau":
Come ti salta in mente che V sia costante?
\(\displaystyle Q = -1.5\cdot 10^{-8}\cdot [\sin \theta]^{\pi /2}_{0} = -1.5\cdot 10^{-8} C \)
\(\displaystyle V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int \frac{dq}{r} =
\frac{1}{4\pi \epsilon_0 r}\int dq =
\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r} \)
dove V è il potenziale in O
... cosa non va?
Ma cosa vuol dire "costante"?
"mgrau":
Ma cosa vuol dire "costante"?
che non varia, nel tempo in genere ma intendevo dire nello spazio qualche messaggio fa
Mi esce fuori un valore finito di V perchè lo sto calcolando in O, no?
Ma a me serve l'andamento nello spazio di V così da poterne fare il gradiente e trovare il campo.
Ma come si fa? Non ho più idee...
"mgrau":
Ma cosa vuol dire "costante"?
che non varia, nel tempo in genere ma intendevo dire nello spazio qualche messaggio fa
Che V non vari nel tempo è ovvio, ma, appunto, per concludere che E è zero dovrebbe essere costante nello spazio, e non c'è ragione che lo sia.
Mi esce fuori un valore finito di V perchè lo sto calcolando in O, no?
Veramente, ti viene un valore finito per qualsiasi punto lo calcoli...
Ma a me serve l'andamento nello spazio di V così da poterne fare il gradiente e trovare il campo.
Mica devi per forza fare il gradiente del potenziale. Puoi anche trovare direttamente E (le due componenti separatamente) con la legge di Coulomb
.
"mgrau":vabbè certo ovvio, in questo caso era il punto O
Veramente, ti viene un valore finito per qualsiasi punto lo calcoli...
"mgrau":
Mica devi per forza fare il gradiente del potenziale. Puoi anche trovare direttamente E (le due componenti separatamente) con la legge di Coulomb
Questo si, però il docente è solito richiedere di calcolare il campo a partire dal potenziale e viceversa. Anzi, mi meraviglio che non lo abbia specificato in questo testo d'esame qui.
In tal caso, se dovessi utilizzare V per ricavare E, come trovo l'andamento di V nello spazio?
E' praticabile come cosa, o mi conviene usare direttamente Coulomb?
"DeltaEpsilon":
..., o mi conviene usare direttamente Coulomb?
Mi sembra decisamente più semplice. Se invece vuoi cimentarti in virtuosismi matematici...
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