Distanza variabile Condensatore
Salve ragazzi , ho tentato di svolgere questo problema , all'apparenza facile, ma non riesco ad arrivare alla soluzione corretta. Ecco il problema :
Un condensatore piano è costituito da due armature di superficie $S$ disposte orizzontalmente : l'armatura inferiore è fissa , quella superiore è appesa a una molla di costante $K$ . Il condensatore viene caricato con un generatore avente tensione $V$ , che poi viene disinserito . In condizioni di equilibrio la distanza risulta $d$ . Si calcoli trascurando la forza peso la distanza $d'$ di equilibrio fra le armature nelle condizioni :
a) l'armatura inferiore viene ricoperta da uno strato di materiale con costante dielettrica $\epsilon_r$ e spessore $\delta$ ;
b) il condensatore è riempito completamente con tale materiale .
Ho provato ad imporre che l'energia potenziale iniziale deve essere uguale a quella finale $frac{Kd'^2}{2}=\frac{QC}{2}$ calcolando la capacità del condensatore ( visto come due condensatore posti in serie ) e da li ricavato $d'$ . Il testo afferma $d=d'$ io ottengo un espressione abnorme...
Ho provato lo stesso ragionamento in b , ovviamente la capacità è diversa . Ottengo qualcosa di simile ma non il risultato..
Sbaglio ad impostare il problema o c'è altro? Consigli?
Un condensatore piano è costituito da due armature di superficie $S$ disposte orizzontalmente : l'armatura inferiore è fissa , quella superiore è appesa a una molla di costante $K$ . Il condensatore viene caricato con un generatore avente tensione $V$ , che poi viene disinserito . In condizioni di equilibrio la distanza risulta $d$ . Si calcoli trascurando la forza peso la distanza $d'$ di equilibrio fra le armature nelle condizioni :
a) l'armatura inferiore viene ricoperta da uno strato di materiale con costante dielettrica $\epsilon_r$ e spessore $\delta$ ;
b) il condensatore è riempito completamente con tale materiale .
Ho provato ad imporre che l'energia potenziale iniziale deve essere uguale a quella finale $frac{Kd'^2}{2}=\frac{QC}{2}$ calcolando la capacità del condensatore ( visto come due condensatore posti in serie ) e da li ricavato $d'$ . Il testo afferma $d=d'$ io ottengo un espressione abnorme...
Ho provato lo stesso ragionamento in b , ovviamente la capacità è diversa . Ottengo qualcosa di simile ma non il risultato..
Sbaglio ad impostare il problema o c'è altro? Consigli?
Risposte
Non è detto che l'energia rimanga inalterata perché non sappiamo niente sul lavoro necessario a introdurre la lastra di materiale dielettrico, che non è necessariamente nullo, anzi.
Allora io credo che convenga fare delle considerazioni sul potenziale, e poi da questo dedurre la forza passando per il campo elettrico, che è il gradiente del potenziale.
Occorre però fare qui la premessa che il calcolo della capacità di un condensatore piano è una approssimazione che presuppone che le armature siano molto vicine tra loro, in modo che il campo elettrico possa essere assimilato a quello di lastre infinite. In tale approssimazione il campo è costante e non dipende dalla distanza, mentre il potenziale è lineare con la distanza. Nel caso dell'esercizio in esame, dunque, la forza che attira le due armature è indipendente dalla distanza che le separa d (se d è molto piccola rispetto alla dimensione delle armature). La distanza d viene invece determinata dalla costante elastica della molla, nel senso che d sarà quella distanza per la quale la forza della molla equilibra la forza (costante) di attrazione delle armature.
Ciò premesso veniamo all'esercizio.
Calcoliamo prima di tutto la forza di attrazione in aria (o meglio nel vuoto):
$$\eqalign{
& V = \frac{Q}
{C} = \frac{Q}
{{{\varepsilon _0}S}}x \cr
& F = Q\frac{{dV}}
{{dx}} = \frac{{{Q^2}}}
{{{\varepsilon _0}S}} \cr} $$
Ho scritto x al posto di d per evitare confusione col simbolo di derivata.
Ho trascurato i segni, ma la forza si intende di attrazione tra le armature.
La carica Q è costante poiché il generatore viene disinserito ed equivale a:
$$Q = EC = E\frac{{{\varepsilon _0}S}}
{x}$$
Ho scritto E al posto della V iniziale per evitare confusione con la funzione potenziale dopo che il generatore è stato disinserito.
Dopo l'inserimento della lastra di materiale dielettrico il potenziale diventa:
$${V_1} = Q\left( {\frac{1}
{{{C_1}}} + \frac{1}
{{{C_2}}}} \right) = Q\left( {\frac{\delta }
{{{\varepsilon _0}{\varepsilon _r}S}} + \frac{{x - \delta }}
{{{\varepsilon _0}S}}} \right) = \frac{Q}
{{{\varepsilon _0}S}}x + \frac{Q}
{{{\varepsilon _0}S}}\delta \frac{{1 - {\varepsilon _r}}}
{{{\varepsilon _r}}}$$
La nuova forza di attrazione è dunque:
$${F_1} = Q\frac{{d{V_1}}}
{{dx}} = \frac{{{Q^2}}}
{{{\varepsilon _0}S}} = F$$
il che significa che essendo la forza uguale a prima, la molla deve rimanere nella stessa posizione di prima, dunque la distanza tra le armature non cambia.
Allora io credo che convenga fare delle considerazioni sul potenziale, e poi da questo dedurre la forza passando per il campo elettrico, che è il gradiente del potenziale.
Occorre però fare qui la premessa che il calcolo della capacità di un condensatore piano è una approssimazione che presuppone che le armature siano molto vicine tra loro, in modo che il campo elettrico possa essere assimilato a quello di lastre infinite. In tale approssimazione il campo è costante e non dipende dalla distanza, mentre il potenziale è lineare con la distanza. Nel caso dell'esercizio in esame, dunque, la forza che attira le due armature è indipendente dalla distanza che le separa d (se d è molto piccola rispetto alla dimensione delle armature). La distanza d viene invece determinata dalla costante elastica della molla, nel senso che d sarà quella distanza per la quale la forza della molla equilibra la forza (costante) di attrazione delle armature.
Ciò premesso veniamo all'esercizio.
Calcoliamo prima di tutto la forza di attrazione in aria (o meglio nel vuoto):
$$\eqalign{
& V = \frac{Q}
{C} = \frac{Q}
{{{\varepsilon _0}S}}x \cr
& F = Q\frac{{dV}}
{{dx}} = \frac{{{Q^2}}}
{{{\varepsilon _0}S}} \cr} $$
Ho scritto x al posto di d per evitare confusione col simbolo di derivata.
Ho trascurato i segni, ma la forza si intende di attrazione tra le armature.
La carica Q è costante poiché il generatore viene disinserito ed equivale a:
$$Q = EC = E\frac{{{\varepsilon _0}S}}
{x}$$
Ho scritto E al posto della V iniziale per evitare confusione con la funzione potenziale dopo che il generatore è stato disinserito.
Dopo l'inserimento della lastra di materiale dielettrico il potenziale diventa:
$${V_1} = Q\left( {\frac{1}
{{{C_1}}} + \frac{1}
{{{C_2}}}} \right) = Q\left( {\frac{\delta }
{{{\varepsilon _0}{\varepsilon _r}S}} + \frac{{x - \delta }}
{{{\varepsilon _0}S}}} \right) = \frac{Q}
{{{\varepsilon _0}S}}x + \frac{Q}
{{{\varepsilon _0}S}}\delta \frac{{1 - {\varepsilon _r}}}
{{{\varepsilon _r}}}$$
La nuova forza di attrazione è dunque:
$${F_1} = Q\frac{{d{V_1}}}
{{dx}} = \frac{{{Q^2}}}
{{{\varepsilon _0}S}} = F$$
il che significa che essendo la forza uguale a prima, la molla deve rimanere nella stessa posizione di prima, dunque la distanza tra le armature non cambia.
Fantastico! Grazie mille della spiegazione , mi ero fissato che l'energia rimanesse costante,ma come hai ben spiegato , non posso affermarlo per assenza di ulteriori dati..
Ora proverò a fare la parte b)
Ora proverò a fare la parte b)
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